高考試題中“新型題”的類型及解法

鄭杰

“創新是一個民族的靈魂”，創新是高考命題的生命力所在.高考數學命題的創新有利于進一步完善試題的選拔功能，促進中學數學素質教育的實施.因此，在近些年的高考試卷中，相繼出現了一些內容立意新、情景設置新、設問方式新或題型結構新的新型題.

二、圖表分析型

根據題目中所給圖形（圖像）、數表等信息，聯系所學的定義、定理、公式的幾何（物理）意義，采用排除法，直接推演法得出正確結論.

例2 （2010江西卷12題）如圖，一個正五角星薄片

（其對稱軸與水面垂直）勻速地升出水面，記

t時刻五角星露出水面部分面積為S（t）（S（0）=0）.

則導函數y=S′（t）的圖像大致為

解 由導數定義可知，函數f（x）在點x=x0處的導數值就是f（x）在點x=x0處的瞬時變化率.當第一個角逐漸露出水面時，S（t）在逐漸增大，且增長速度越來越快，故其瞬時變化率S′（t）也應逐漸增大，當第二部分開始露出水面時，此時的S（t）應突然增大，然后的增長速度越來越慢，但仍為增函數，故其瞬時變化率S′（t）也應突然增大，再逐漸變小，但S′（t）>0（故可排除B）；當五角星全部露出水面后，S（t）不在變化，故其導數值S′（t）最終應等于0.故正確選項為A.

三、學科綜合型

新課程標準要求加強數學的整體意識，注重數學各個不同分支間的聯系，注重數學與其他學科的聯系，注重數學與生產生活的聯系.高考試題中經常會在數學各個不同分支之間，不同學科之間相關節點的地方命題.

例3 （2014江西卷10題）如圖，長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=11，AD=7，AA1=12.一質點從頂點A射向點E（4，3，12），遇長方體的面反射（反射服從光的反射原理），將第i-1次到第i次反射點之間的距離記為Li（i=2，3，4），L1=AE，將線段L1，L2，L3，L4豎直放置在同一水平線上，則大致的圖形是

解 根據反射的對稱性，質點是在過A，E，A1作長方體的截面AA1NM如圖所示.

設點A關于平面A1B1C1D1的對稱點為A′，易知它在z軸上，且A′A1=AA1=12，連接A′E并延長交平面ABCD于點E1，因為A1E=5，所以AE1=10，且E1到AB，AD的距離分別為6，8，即E1（8，6，0），而它在線段AM上，從而知L1=AE=EE1=L2；事實上，只需要在AA1NM內，過E1作AE的平行線交MN于點E2，再過E2作E1E的平行線交A1N于點E3，可知EE1>E2E3=L4>E1E2=L3，故L1=L2>L4>L3，故選C.

四、條件（結論）開放型

新課程標準要求注重學生思維能力的培養，養成求實、說理、質疑、批判的思維習慣.高考試題中出現開放型（條件或結論不唯一）試題.

例4 （2007福建卷）中學數學中存在許多關系，如“相等關系”、“平行關系”等等.如果集合A中元素之間的一個關系“～ ”滿足以下三個條件：

（1）自反性：對于任意a∈A，都有a～a；

（2）對稱性：對于a，b∈A，若a～b，則有b～a；

（3）傳遞性：對于a，b，c∈A若a～b，b～c，則a～c；

則稱“～”是集合A的一個等價關系.例如“數的相等”是等價關系，而“直線平行”不是等價關系.（自反性不成立）

（理）請你再列出三個等價關系.

答案：“平面圖形的相似”； “平面圖形的全等”； “集合的相等”； “向量的相等”；“函數的相等”；“角的相等”；“平面圖形的面積的相等”；“幾何體的體積的相等”.

五、多選填空型

由于學生對定義、定理等理解上的失誤，對一些問題判斷不準，高考試題中出現多選填空題.

例6 （2013四川卷15題）設p1，p2，…，pn為平面α內的個點.在平面α內的所有點中，若點p到點p1，p2，…，pn的距離之和最小，則稱點p為點p1，p2，…，pn的一個“中位點”.例如，線段AB上的任意點都是端點A，B的中位點.現有下列命題：

①若三個點A，B，C共線，C在線段AB上，則C是A，B，C的中位點；

② 直角三角形斜邊的中點是該直角三角形三個頂點的中位點；

③若四個點A，B，C，D共線，則它們的中位點存在且唯一；

④梯形對角線的交點是該梯形四個頂點的唯一中位點.

解 對于①，不妨假設A，C，B三點在平面直角坐標系xOy中x的軸上由左至右排列，A（0，0），C（b，0），B（b，0），0

|MA|+|MB|+|MC|=x2+y2+（x-b）2+y2+（x-c）2+y2≥|x|+|x-b|+|x-c|，因為00，b>0，M（x，y），為平面內任意一點，AB中點坐標為a2，b2，則|MA|+|MB|+|MC|=

（x-a）2+y2+x2+（x-b）2+x2+y2，當x=a2，y=b2時，|MA|+|MB|+|MC|=

32a2+b2，而當x=0，y=0時，|MA|+|MB|+|MC|=a+b，因為94（a2+b2）-（a+b）2=

5a2+5b2-8ab4≥12ab>0，所以斜邊的中點不是該直角三角形三個頂點的中位點，故②錯；對于③，不妨假設A，B，C，D四點在平面直角坐標系xOy中的x軸上由左至右排列，A（0，0），B（b，0），C（c，0），D（d，0），0

|MA|+|MB|+|MC|+|MD|

=x2+y2+（x-b）2+y2+（x-c）2+y2+（x-d）2+y2

≥|x|+|x-b|+|x-c|+|x-d|，

因為0

由于新型題的設計思想新穎，題目形式新鮮，解答要求有新意，能有效地避免試題的格式化、模式化.能夠使考生在新的情境中實現知識的遷移，從而創造性的解決問題，真正考出考生的學習能力.所以，新型題成為高考試卷中一道靚麗的風景.