獨立學院未定式極限教學分析

彭乃馳 黨婷

【摘要】對學生中存在的未定式極限的錯誤理解與疑問及易與這類極限混淆的一些極限作了詳細的分析和比較，以期與從事獨立學院數學教學的同行作教學交流，并希望對學生在這一問題的理解上有一定幫助.

【關鍵詞】未定式極限；教學；理解；探討

【基金項目】

Symbol`@@ 云南省教育廳科學研究基金項目（2015Y507）

一、引 言

獨立學院是高等教育大眾化的重要承擔者，高等教育的大眾化使得獨立學院學生整體水平有所下移，數學基礎參差不齊，有些問題教師看來無需解釋但學生理解有難度；有些問題教師剛解釋過，轉眼學生就會忘記，因此，一些重要的知識即使簡單，也應反復強調.已發表的關于未定式極限的論文一般主要關注這類極限的解法，并沒有關注學生在理解這類極限時出現的問題.本文對獨立學院學生中存在的對這類極限的錯誤理解與疑問及易與這類極限混淆的一些極限作了詳細的分析和比較.

二、未定式極限教學分析

1∞型極限教學分析

（1）1∞型極限是指limf（x）g（x），（limf（x）=1，limg（x）=∞），1∞型極限結果不一定為1，重要極限limx→∞1+1xx=e即是一例.這與中學所學的1的任何次方都是1并不矛盾，因為1∞中的“1”一般是指極限為1，而不是常數為1.

（2）limx→∞1x為特殊的1∞型，該極限總為1，limx→∞1x=limx→∞1=1.該極限也可由極限的定義給出一個簡單而又嚴謹的證明如下：

證明：取X=N，易知不存在實數x0>N，使得1x0-1≥ε，即ε>0，X，當x≥X時，1x-1<ε，故limx→∞1x=1.

（3）極限limf（x）g（x），（limf（x）=1，limg（x）=A）（其中A為常數，下同）不是1∞型，該極限總為1.

解 limf（x）g（x）=elimg（x）lnf（x）=elimg（x）limlnf（x）=elimg（x）lnlimf（x）=eAln1=e0=1.

（4）1∞型極限常見的錯誤解法有兩種.

錯解一：limf（x）g（x）=lim1g（x）=1.

錯解二：limf（x）g（x）=elimg（x）lnf（x）=elimg（x）limlnf（x）=elimg（x）·ln1=e0=1.

錯解一，錯誤在于因為limg（x）=∞，求極限時不能先求局部的極限.錯解二，錯誤在于因為limg（x）=∞，不能使用極限的乘法運算法則，所以第二個等號不成立.

2.00型極限教學分析

（1）分母為0的式子無意義，但00型極限是指limf（x）g（x），（limf（x）=0，limg（x）=0）即分子、分母極限為0，而不是分母等于0，因此，該式是有意義的.

（2）limx→00x為特殊的00型，該極限總為0，limx→00x=limx→00=0.

（3）00型極限與limx→0Ax（A≠0），及limf（x）g（x），（limf（x）=A，limg（x）=B≠0）不同.一方面，limx→0Ax（A≠0）=∞，limf（x）g（x）=limf（x）limg（x）=AB，結果是確定的，而00型的結果是不確定的；另一方面，前兩個極限因為不滿足分母極限不為0的條件，所以不能使用除法運算法則，而最后一個極限是可以用該法則的.

3.∞∞型、∞-∞型極限教學分析

（1）∞∞型極限指limf（x）g（x），（limf（x）=∞，limg（x）=∞），該極限不滿足極限除法運算法則的使用條件，不能使用這一法則.

（2）∞-∞型極限指lim[f（x）-g（x）]，（limf（x）=∞，limg（x）=∞），它不同于limf（x）-g（x），（limf（x）=A，limg（x）=A）.后者根據減法的運算法則計算得0，而前者不滿足減法運算法則的使用條件，不能使用這一法則.

（3）無窮存在量級差別，同記為∞，并不一定相同，認為∞∞型極限結果總為1、∞-∞型極限結果總為0都是錯誤的.

4.0·∞型極限教學分析

（1）0·∞型極限指limf（x）·g（x），（limf（x）=0，limg（x）=∞），該極限不一定為0，如：limx→1（1-x2）tanπ2x=limx→11-x2cot（π2x）=limx→1-2x-π2sin2π2x=4π.

（2）limx→∞0·x為特殊的0·∞型，該極限總為0，limx→∞0·x=limx→∞0=0.

（3）0·∞型極限計算上不同于limf（x）·g（x），（limf（x）=0，limg（x）=A），后者使用乘法運算法則結果為0，而前者不滿足乘法運算法則的使用條件，不能使用該法則.

5.00型、∞0型極限教學分析

（1）在中學時，一般認為00無意義，因此，教學時應強調00型極限是指：limf（x）g（x），（limf（x）=0，limg（x）=0），f（x），g（x）極限為0，而不是f（x）=g（x）=0，

因此00型極限是有意義的.

（2）任何非零的數的零次方為1，不細心的同學會認為00，∞0都等于1，因此，教學時應強調00型、∞0型極限結果不一定為1，可舉例，如[1-2]：limx→0+x1ln（2x）（00型），limx→0+（cotx）1lnx（∞0型） .

解 limx→0+x1ln（2x）=elimx→0+lnxln2x=elimx→0+xx=e.

limx→0+（cotx）1lnx=elimx→0+lncotxlnx=elimx→0+-xcsc2xcotx=elimx→0+-xsinxcosx=e-1.

6.未定式極限類型的教學分析

未定式極限除了1∞型外，其他是由極限為0與極限為無窮的式子通過加、減、乘、除、冪五種運算構成的.極限為0與極限為無窮的式子通過加、減、乘、除、冪五種運算構成的的有0+0，0-0，0·0，00，00，∞+∞，∞-∞，∞·∞，∞∞，∞∞，0+∞，0-∞，0·∞，0∞，∞0，∞0，0∞共17種.其中，0+0，0-0，0·0，∞·∞，0+∞，0-∞，0∞，∞08種易知結果確定，不屬于未定式；1∞，00，∞∞，∞-∞（∞+∞），0·∞，00，∞0 8種上文已分析，屬于未定式.還有∞∞，0∞兩種屬于未定式極限嗎？可作為一個簡單的思考題留給學生們思考.

三、結 語

未定式極限對于剛步入大學的學生來說比較新奇，數學基礎差，理解能力不強的學生會將這類極限與他們中學已有的認知混淆，形成矛盾.教師應站在學生的角度強調對這一問題的理解，詳細分析、解釋，并舉一反三、觸類旁通，激發學生的思維，使其思考，進而逐漸形成靈活、嚴謹的思維方式，而不是讓學生照搬方法，只會做題，知其然不知其所以然.學生也應具體問題具體分析，不能盲目生搬亂套.

【參考文獻】

[1]龔誼誠，趙喜林.對教材中00型極限內容的建議.高等數學研究[J].2010（13）：9-10.

[2]王華.1∞、00及∞0型極限中的等價無窮小（大）代換.時代教育[J].2009（8）：79-80.