表示論在本科抽象代數教學中的應用

楊涌 馮良貴 文軍 劉春林

【摘要】本文通過大量實例說明在本科抽象代數的教學過程中如何自然和較為容易的向初學者傳授群表示的思想和方法.這些實例是筆者在實際教學過程中系統總結和應用過的，收到了良好的教學效果.這些內容完全可以系統化的在一個學期的授課過程中講授完畢，使得學生可以在第一時間接受更為系統的現代代數學思想和方法.

【關鍵詞】Sylow定理；群的表示；正規群

本文受到國防科學技術大學校預研基金“代數矢量叢的Euler類群研究”項目資助

本文受到國防科學技術大學理學院教學改革“數學專業高水平專業課程內容建設可行性研究”項目資助

《近世代數》是現代數學的代數學基礎，其之于現代數學相當于線性代數之于高等數學.對于大學數學專業本科生而言，這門課程無疑是非常重要的.然而作為現代代數學所包含的最主要的兩大思想：“表示的思想”和“同調的思想”，卻很少被包括在本科抽象代數教學之中.特別是表示的思想，其將抽象問題具體化的作用可以第一時間降低初學者對抽象概念的畏懼，增強對現代代數學方法的感性認識.然而長久以來，這一內容卻很少在數學專業本科代數學核心課程中有所體現.實際上，表示的思想最初已經蘊含在數學專業本科生近世代數課程內容：Sylow定理的證明中了.但是教學內容在此戛然而止，沒有上升到表示的方法和應用層面，從而使學生感覺到Sylow定理雖然有著強有力的應用但是沒能體會到該定理成立的本質，更不能繼續發展這一定理的深刻內涵，應用也僅能局限在對一些特殊群的計算上.本文將介紹針對大學數學專業本科《近世代數》教學內容中體現表示的思想及基本方法的點滴認識，以及本人在教學中滲透和介紹表示思想方法的一些嘗試.

一、Sylow定理和群的表示

Sylow定理和群的表示

Sylow定理是有限群的置換表示的基礎，同時也是群表示理論最原始的體現.實際上，在本科近世代數有關Sylow定理的證明中就已經引入了“表示”的思想和方法，只是這種表示是局限于群對特定集合的作用.具體的，我們看一下該定理的證明：

Sylow定理

第一定理：設G為群，|G|=mpn，其中p為素數，p和m互素，則群G一定有pn階子群H.

第二定理：設G為群，則群G的Sylowp-子群皆共軛，即在內自同構作用下屬于同一軌道.

第三定理： 設G為群，|G|=mpn，其中p為素數，p和m互素，設G的Sylowp-子群的個數為r，則有

r|mr≡1（mod p）

Sylow定理的一種較為簡單的證明是利用群G作用在一定的集合上，（定理一是作用在集合S={s|sG，|s|=pn}上；定理二和定理三第一部分是作用在全體Sylow子群的集合上；定理三的第二部分是作用在Sylow子群的陪集組成的集合上），然后通過計算這些作用后的軌道及穩定子群指標并結合集合本身的指標信息從而得出關于Sylow子群存在和個數的信息.這一證明中實際上已經體現了群表示的思想：給定一個抽象的群G，由于其抽象的“不可見性”，對于其子群等性質很難把握.所以我們令其作用在一個集合上，通過計算和分析作用后的軌道等信息反過來得到關于抽象群G的信息.簡單地說就是通過將抽象群G表示為一個在集合上的作用，使得“不可見”的抽象群G的信息通過“可見的”集合軌道等表現出來.

一方面，一般情況下我們當然趨于使用具有一定群結構的“表示元”來表示抽象的群G.

另一方面，我們自然應當取相對已知群N對未知群G進行“表示”.相對來說，最一般已知的群有兩個：置換群Sn和一般線性群GLn.

如此，當我們構造了一個群G在有限集合S上的作用：g∈G，φ（g）s∈S以后.一種方法是我們可以把這種作用當成是S上的元素的置換，從而上面的作用就等價于一個群的同態φ：G→Sn，其中n=|S|.另一種方法是首先以S中元素為基構造一個復的（或實的）線性空間Cn.這時，任意g的作用自然誘導出Cn上的一個可逆線性變換，這顯然還是一個一一對應.于是上面的群作用等價于一個群同態φ：G→GLn（C）（或GLn（R））其中GLn（C）（或GLn（R））為C（或R）上一般線性群.

由此我們有了群表示的概念：

群的表示：

給定群G和置換群N（或一般線性群），任意群同態φ：G→N稱為一個群G的一個置換表示（或線性表示）.

進一步地，由于置換群本身是有限群所以針對一般的無限群（即便是對按拓撲有限的緊群這一觀點顯然也是站得住腳的）可想而知其“表現”能力也是“有限”的，所以關于群表示理論更一般的是線性表示理論（當然，這里面還有一個原因是相對一般線性群GLn而言，一般置換群Sn則明顯還不夠“已知”.要知道，如果把所有有限群都自然的看作一般置換群的子群的話，對于一般置換群的完全的“已知”也就蘊含了對于所有有限群的“已知”，這一點對當今數學來說還是個巨大的未知數.要知道僅僅是有限單群的完全分類還是上世紀末才剛剛完成，況且這種分類本身很大一部分還是基于一般線性群來實現的.而相對地，一般線性群則有更加豐富的“已知”理論可以使用，例如：線性代數！）.

二、置換表示的應用——小Sylow子群的計算

（一）S4的所以Sylow子群

借助于表示的思想和方法，我們就可以分析一些看似抽象的有限群的性質.例如我們可以利用置換表示求出4階置換群的所有Sylow子群：

基本思路是利用一個4階置換群S4的3階置換群S3表示，從而由比較簡單的3階置換群S3的信息來實現計算.具體地

對4階置換群S4我們有：

H={（1），（12）（34），（13）（24），（14）（23）}S4是4階置換群S4的正規子群；

H是S4的所有Sylow 2-子群的交；

首先，根據Sylow定理和置換群的基本性質我們知道S3有一個正規的Sylow 2-子群.給定4階置換群S4，由Sylow第一定理我們知道其總存在Sylow 2-子群（階數為2×4=8），取為G.由于G的指數為3，故其左陪集全體構成一個3元集合S={G，a1G，a2G}，當然，這里我們可以取a1為一個3階元.令S4通過左乘作用在這個3元集上，由此得到一個S4的S3表示，即一個群同態φ：S4→S3.

分析這個表示有：

1.由于φ（a1）是三階的，得到該同態是非平凡的且像φ（G）至少是3階群；

另一方面，如果像φ（G）確實是3階的，則同態φ的核H為S4的一個8階子群，且H正規.取S4的唯一的正規Sylow3-子群P，則顯然HP為一個24階群，且由H，P都正規得到HP是直和.故HP=S4中至少有一個6階元，但是我們知道這個是不存在的，即像φ（G）是2×3=6階群.故我們有：

2.該同態為非平凡滿的，核HG是一個S4的4階正規子群；

設h∈H，則由于φ（h）為恒等置換，故對于任意G的共軛類gGg-1，有φ（h）gG=gG，即存在g′∈G，使得h=gg′g-1.故H包含在G的全體共軛類的交之中；

反過來，若有h′屬于G的任意共軛類，則對于任意aiG，由于h′∈aiGa-1i，φ（h′）aiG=aiG，即h′屬于核H.綜上，我們有：

3.這個同態的核是Sylow 2-子群G的所有共軛類的交（根據Sylow第二定理，這也是S4的所有Sylow 2-子群的交）；

若H中有4階元h，即H為4階循環群，取S4得唯一的正規Sylow3-子群P，則顯然HP為一個12階循環群.但是我們知道S4中是沒有12階元的.由此我們有：

4.H中任意非平凡元都是2階的；

進一步地，若H中包含一個對換，則由對換之間的共軛性有H包含所有的對換，共6個.但這與|H|=4矛盾.由此我們得到

5.S4中如下的4個元{（1），（12）（34），（14）（23），（13）（24）}必構成一個子群，即為S4的正規子群H.

6.進一步地，我們可以計算出S4的所有Sylow 2-子群；

取S4的所有兌換{（12），（13），（14），（23），（24），（34）}，我們知道相交的兌換不能同時屬于同一個Sylow 2-子群中（否則將有3階元）.故（12），（13），（14）屬于不同的Sylow2-子群.另一方面，由上分析有任意Sylow 2-子群都包含正規子群H，由此得到S4的所有Sylow2-子群為：

G1=<（12）>H=<（12）>（（1），（12）（34），（14）（23），（13）（24））

G2=<（13）>H=<（12）>（（1），（12）（34），（14）（23），（13）（24））

G3=<（14）>H=<（12）>（（1），（12）（34），（14）（23），（13）（24））

綜上，我們利用一個相對已知的群S3來表示未知的置換群S4，從而得到S4的所有Sylow子群等信息.

（二）S5的所有Sylow子群

進一步地，我們可以做的更復雜一點兒，求出5階置換群S5的所有Sylow子群.

考慮到求解過程中真正用到置換表示的只有Sylow3子群的求解，所以這里我們只講一下Sylow 3子群的求解（Sylow 2子群的求解是利用4階置換群S4在S5中的5個天然的嵌入，每個有3個Sylow 2子群，共計15個Sylow 2子群）

由Sylow定理知道Sylow3子群的個數可能的情況有1、4、10、40個.

1.若只有1個，即Sylow3子群HS5正規，則可以用這個正規子群乘任意Sylow5子群，得到一個15階的循環群，但是這在S5中顯然是不可能的.

2.同時，直接計算有S5中最多有20個不同的3排列，故S5中不可能有40個不同的Sylow3子群

3.若有4個Sylow3子群H1，H2，H3，H4，由Sylow定理知道它們是共軛的.令S5通過共軛作用在集合S={H1，H2，H3，H4}上，得到一個S5的S4表示，即群同態φ：S5→S4.注意到這個同態的核KS5是所有4個Sylow 3子群的正規化子的交，且必有5K.令H1的正規化子為N，則有5||N|，|N||5！，故N中必包含Sylow5子群T，且H1在N中正規.取子群H1T，知其為|H1T|=15階群，必為循環群.但是這是不可能的.

故S5中有10個Sylow3子群，恰好是C35，即3組合的個數.當然這個觀察也幫助我們寫出這10個不同的Sylow3子群.

最后，看一個更為直接的例子：

（三）255階群G一定是循環群

由于有255=5×3×17，則根據Sylow定理，只有一個正規的Sylow17-子群，令其為H17，故當G中元素通過共軛作用到H17上時，實際上定義了一個群G到H17的自同構群的表示.另一方面，我們知道H17的自同構群Aut（H17）共有16個元|Aut（H17）|=16.于是，表示φ：G→Aut（H17）的像的階數整除16，|φ（H17）||16.但是，我們有256與16互素，故只能有φ是一個平凡表示.即G的任意元素都與H17的元素相交換.于是H17包含在群G的中心中.另一方面，商群GH17因為是15階群，一定是循環群.所以群G模中心的商群是循環群，得到群G必然是交換群，故而是循環群.

這個例子中我們利用已知的置換群S3，S5的信息，通過構造一定的表示得到關于階數為255的抽象群（考慮到這個群除了滿足群的基本定義以及階數為255以外我們對其一無所知，可以說的確是足夠抽象的了）的具體結構.

實際上，群的表示適用于非常廣泛的抽象群的計算和論證，有興趣的讀者可以嘗試利用置換表示證明如下關于抽象群的性質.同時上面第二個例子也可以推廣到更為廣泛的群上而不是僅限于255這個具體的數據.關于這一點可以參考文獻[1][2].

三、置換表示的應用——抽象群的計算

以下是Sylow子群定理，我們借助群的置換表示給出一個初等的證明.

設群G的階數為G=∏ni=1Pi為有限個素數的乘積，且這些素數滿足∏ni=1Pi與∏ni=1（Pi-1）互素.則群G為循環群.

證明：

對n做歸納假設

易知，n=1或2時命題成立，假設n≤k-1時命題成立，往證n=k時成立.

取G的換位子群G′，則有三種情況

故矛盾.

四、小 結

通過以上一些例子我們看到，在加入群的表示的思想和方法后，原來零散的、構造性的證明被系統的理論方法取代.同時，這樣也有利于學生第一時間感受和學習現代代數學的思想和方法.

【參考文獻】

[1]抽象代數；李超，謝端強，馮良貴；國防科技大學出版社；2008.9.

[2]代數學I；B.L.范德瓦爾登；科學出版社；2006.8.