一類三維競爭系統(tǒng)的周期解軌道

姬文娟 李斌 崔明 張燁

【摘要】我們考慮HIV1病毒動力學(xué)模型的特殊情況，一類三維競爭系統(tǒng)，通過常微分方程中競爭系統(tǒng)和一致持續(xù)系統(tǒng)的性質(zhì)，證明了高維自治系統(tǒng)周期解的存在性和軌道漸近穩(wěn)定性.若R0<1，體內(nèi)病毒可以被清除，疾病最終消失；若R0>1，病毒在宿主體內(nèi)持續(xù)存在，模型解會趨于地方病平衡點或者一個周期解，后者只在一定條件下排除存在的可能性.同時，我們選擇合適的參數(shù)和閾值，針對幾類模型的理論分析進行數(shù)值模擬，得到了較為合理的模擬結(jié)果并且直觀反映了理論分析的合理性.

【關(guān)鍵詞】HIV；細胞間傳播；穩(wěn)定性；周期解；競爭系統(tǒng)

本文我們主要證明一類三維競爭系統(tǒng)周期解的存在性和穩(wěn)定性，同時在模型中不考慮宿主體內(nèi)的細胞直接接觸感染k2項，是為了利用三維競爭系統(tǒng)的性質(zhì)來得到結(jié)論.從而得到下面這個模型：

dTdt=s+pT（1-TTmax）-dTT-（1-ηRT）k1VTdT*dt=（1-ηRT）k1VT-δT*dVdt=NδT*-cV（1）

s表示宿主體內(nèi)產(chǎn)生健康T細胞的比例，當(dāng)然已有的T細胞也能夠產(chǎn)生健康T細胞，p表示最長生命周期率，Tmax表示T細胞在其生命周期內(nèi)產(chǎn)生的T細胞種群密度.假設(shè)健康細胞T的自然死亡率dT和被感染細胞T*的死亡率δ是恒定的，c表示自由病毒粒子V的死亡率.k1VT表示T細胞接觸病毒粒子V以后被感染的數(shù)量比，k1是恒定的感染率.N表示被感染細胞生命周期內(nèi)釋放的病毒粒子的總數(shù).記f（T）=s+pT（1-TTmax）-dTT.

1.周期解的存在性和軌道漸近穩(wěn)定性

定理5 假如系統(tǒng)（1）存在周期解，那么解軌道是漸近穩(wěn)定的.

證明.設(shè)這個周期解是p（t）=（p1（t），p2（t），p3（t））T，并且假定其最小正周期是ω>0.根據(jù)解的有界性，0≤p1（t）≤T0，對t∈[0，ω].

證明周期解的穩(wěn)定性需要利用第二次復(fù)合方程的方法，構(gòu)造下面這個系統(tǒng)：

z·=f[2]x（p（t））z，z=（z1（t），z2（t），z3（t））T.（4）

f[2]x=a11+a22a23-a13a32a11+a33a12-a31a21a22+a33

=f′（T）-（1-ηRT）k1V-δ（1-ηRT）k1T（1-ηRT）k1TNδf′（T）-（1-ηRT）k1V-c00（1-ηRT）k1V-δ-c

aij表示系統(tǒng)Jacobian矩陣中第i行第j列的值.（4）是原系統(tǒng)的線性變分方程，也被稱為第二次復(fù)合方程，f[2]x稱為f的Jacobian矩陣fx的第二次復(fù)合矩陣.假如系統(tǒng)（4）漸近穩(wěn)定，那么原系統(tǒng)的周期解p（t）也是漸近穩(wěn)定的.這是Poincaré關(guān)于平面自治系統(tǒng)存在周期解時解的軌道漸近穩(wěn)定性準則的推廣.建立系統(tǒng)的一個Lyapunov函數(shù)：

V（z1，z2，z3；p（t））：=sup{|z1|，p2（t）p3（t）（|z2|+|z3|）}，顯然上面建立的V函數(shù)是恒正的，但是并非處處可微.用V的右導(dǎo)數(shù)修正，表示為D+V（t）：

D+（|z1（t）|）≤（f′（p1）-（1-ηRT）k1p3（t）-δ）|z1（t）|+（1-ηRT）k1p1（t）p3（t）p2（t）p2（t）p3（t）（|z2（t）|+|z3（t）|）

D+（p2（t）p3（t）（|z2（t）|+|z3（t）|））=（p·2（t）p2（t）-p·3（t）p3（t））*p2（t）p3（t）（|z2（t）|+|z3（t）|）+p2（t）p3（t）D+（|z2（t）|+|z3（t）|）≤p2（t）p3（t）Nδ|z1（t）|+p2（t）p3（t）（|z2（t）|+|z3（t）|）（p·2（t）p2（t）-p·3（t）p3（t）-c）-p2（t）p3（t）（-f′（p1（t））|z2（t）|+δ|z3（t）|） ≤p2（t）p3（t）Nδ|z1（t）|+p2（t）p3（t）（|z2（t）|+|z3（t）|）（p·2（t）p2（t）-p·3（t）p3（t）-c-min（α*，δ））

0<α*=-maxT∈[0，T0]f′（T）.定義這樣一個函數(shù)：

g1（t）=f′（p1）-（1-ηRT）k1p3（t）-δ+（1-ηRT）k1p1（t）p3（t）/p2（t）=f′（p1）-（1-ηRT）k1p3（t）+p·2（t）/p2（t）.

這里

g2（t）=p2（t）p3（t）Nδ+p·2（t）p2（t）-p·3（t）p3（t）-c-min（α*，δ）

=p·2（t）p2（t）-min（α*，δ）.

根據(jù)上面兩個等式g1（t）和g2（t），以及p（t）滿足模型，我們易得：D+V（t）≤sup（g1（t），g2（t））V（t）.因為g1（t）≤-α*+p2（t）/p2（t）·，g1（t）≤g2（t），所以有D+V（t）≤g2（t）V（t）.為了證明D+V（t）<0，只須要有∫ω0g2（t）dt<0.

∫ω0g2（t）dt=∫ω0（p·2（t）p2（t）-min（α*，δ））dt<0，∫ω0p·2（t）p2（t）dt=∫ω0dp2（t）p2（t）=0

最終得到D+V（t）<0.因此我們證明了模型具有周期解時，解軌道的漸近穩(wěn)定性

定理6 當(dāng)R0>1，但模型（1）的地方病平衡點E1=（T1，T1*，V）不穩(wěn)定時，模型（1）在D內(nèi)部存在軌道漸近穩(wěn)定的周期解.

證明.利用RouthHurwitz準則，容易證得模型（1）在R0>1和f′（T1）<0的條件下地方病平衡點是局部漸近穩(wěn)定的（證明過程見定理4）.但如果E1不穩(wěn)定，對模型（1）作一個變換，令w=（X，Y，Z）=（-T，T*，-V），則（1）轉(zhuǎn)換為：

dXdt=-s+pX1+XTmax-dTX+（1-ηRT）k1XZdYdt=（1-ηRT）k1XZ-δYdVdt=-NδY-cZ（5）

模型（5）在w點處的Jacobian矩陣記為t>T（w0）>0（T（0），T*（0），V（0））=（800，500，1000）N=100k1=0.0003w（t，w0）∈R.

記集合W：={（X，Y，Z）：X，Z≤0，Y≥0}，在集合W中J（w）除對角線以外的元素均為非正，所以模型（5）在W中是三維競爭系統(tǒng).令w*=（X*，Y*，Z*），根據(jù)題設(shè)中的條件易得，w*是不穩(wěn)定的，并且det（J（w*））<0.另外，對于w0∈intW，W內(nèi)部都存在緊集R，使得當(dāng)t>T（w0）時，對w（t，w0）∈R，都有T（w0）>0.引用文獻[10]中的定理1.1和1.2，因為w*是不穩(wěn)定的，所以模型（7）至少存在一個軌道漸近穩(wěn)定的周期解.同時由于模型（5）是（1）的線性變換，所以模型（1）至少存在一個軌道漸近穩(wěn)定的周期解.

2.數(shù)值模擬

下圖反映了初值取（T（0），T*（0），V（0））=（800，500，1000）時，模型（1）存在一個軌道漸近穩(wěn)定的周期解.

T、T*和V隨時間的變化

圖中的參數(shù)取值為：s=5，dT=0.008，δ=0.3，Tmax=1500，N=100，c=2.5，ηRT=0.1，k1=0.0003.

本文小結(jié)

利用RouthHurwitz準則和構(gòu)造Lyapunov函數(shù)的方法可證明了模型（1）中無病平衡點和地方病平衡點的穩(wěn)定性.模型（1）是一個三維競爭系統(tǒng)，因此我們可以利用競爭系統(tǒng)的特性和論證周期解的軌道漸近穩(wěn)定性證明地方病平衡點的性質(zhì)，并且利用一些小技巧找到了滿足周期解存在的參數(shù)條件，模擬出了地方病平衡點不穩(wěn)定時的周期解軌道.