半線性橢圓最優控制問題插值系數混合有限元解的先驗誤差估計

曹龍舟，魯祖亮，2，李林

（1.重慶三峽學院非線性科學與系統重點實驗室，重慶404100；2.天津財經大學數學與經濟研究中心，天津300222）

半線性橢圓最優控制問題插值系數混合有限元解的先驗誤差估計

曹龍舟1，魯祖亮1，2，李林1

（1.重慶三峽學院非線性科學與系統重點實驗室，重慶404100；2.天津財經大學數學與經濟研究中心，天津300222）

利用插值系數混合有限元方法求解半線性最優控制問題，采用插值系數的思想去處理方程中的非線性項，建立了半線性橢圓最優控制問題插值系數混合有限元的離散格式，將狀態方程和對偶狀態方程利用低階的Raviart-Thomas混合有限元空間離散，控制變量利用分片常函數逼近，最后獲得狀態變量和控制變量的L2范數和H（div）范數的最優階先驗誤差估計.

半線性橢圓；最優控制問題；插值系數混合有限元解；先驗誤差估計

1 引言

最優控制問題的數值模擬是科學與工程計算中一個重要的研究領域.最早是Falk[1]和Geveci[2]研究了橢圓最優控制問題的有限元方法.接下來有很多專家學者研究了最優控制問題的各種有限元離散格式.插值系數混合有限元方法是經濟有效的方法，Zlamal[3]最先分析半線性拋物問題插值系數混合有限元方法.接著，Larsson，Tomee[4]研究了非線性熱方程的半離散插值系數混合有限元方法.國內學者陳艷萍和熊之光[5，6]研究了半線性橢圓問題有限元的超收斂.本文，我們主要研究一般的半線性橢圓最優控制問題插值系數混合有限元方法，獲得狀態和控制變量的L2范數和H（div）范數的先驗誤差估計.

我們考慮如下半線性橢圓問題：

其狀態方程為

邊值條件為

這里Ω是一個矩形區域，pd和yd是目標函數，p和y是狀態變量，u是控制變量，α是正常數.假設f∈L2（Ω），B是L2（Ω）→L2（Ω）上的連續線性算子.控制變量的約束集Uad定義如下：

下面我們給出系數矩陣A（x）和函數φ的假設.

2 插值系數混合有限元方法

這一節，通過插值系數算子Ih代替非線性項φ（yh），利用插值系數混合有限元方法求解半線性橢圓最優控制問題.現在我們討論最優控制問題（1.1）-（1.4）的插值系數混合有限元離散格式.令W=L2（Ω），

其范數為：

這時最優控制問題（1.1）-（1.4）的弱形式為：尋找（p，y，u）∈V×W×U使得

眾所周知，問題（2.1）-（2.3）至少有一個解（p，y，u），而且（p，y，u）∈V×W×U是問題（2.1）-（2.3）的解的充分必要條件是存在（q，z）∈V×W使得（p，y，q，z，u）滿足如下的最優性條件：

這里B*是B的共軛算子.

且存在一個正常數c，使得

為了逼近控制變量，我們定義Uad為分片常函數有限元子空間：

問題（2.1）-（2.3）的混合有限元逼近形式為：尋找（ph，yh，uh）∈Vh×Wh×Uh使得

定義插值算子Ih：C（Ω）→Wh使得

并且有如下插值誤差估計[4]：當0≤m≤r，1≤p≤∞時，有

這里對于所有的T∈τh有v∈C（Ω）∩Wr，p（τh）.在式子（2.11）里用Ihφ（yh）代替φ（yh），則最優控制問題（2.9）-（2.11）至少存在一個解（ph，yh，uh），并且如果（ph，yh，uh）是（2.9）-（2.11）的解，那么總存在一個對偶狀態變量（qh，zh）∈Vh×Wh使得（ph，yh，qh，zh，uh）滿足如下最優性條件：

令Qh∶U→Uh是一個標準L2（Ω）-正交投影，且滿足對于任意的u~∈U，有

對于φ∈Wh，我們可以寫成

這里

是Ω上的有界函數[10].

3 先驗誤差估計

這一節，我們將討論半線性橢圓最優控制問題插值系數混合有限元逼近解的先驗誤差估計.首先引入中間變量，對于任意控制函數u~∈Uad，定義狀態方程的離散解（ph（u~），yh（u~），qh（u~），zh（u~））使得

定義中間誤差：

為了估計中間變量的誤差，利用公式（2.21），結合（2.4）-（2.7）和（3.1）-（3.4），并選擇u~=u得到：

這里vh∈Vh，wh∈Wh.

類似于文獻[11]的證明思路，結合（3.7）-（3.10），我們可以得到如下引理.

引理3.1假設（A1）-（A2）均滿足，則存在一個與h無關的正常數C使得

引入中間誤差變量，我們能夠將誤差分解為：

利用混合有限元方法的穩定性結論，我們可以得到如下結果.

定理3.1假設（A1）-（A2）均滿足，則存在一個與無關的正常數使得

證明：根據（2.14）-（2.17），（3.1）-（3.4）和（2.21），我們有如下誤差方程：

令

對于插值算子Ih通過使用插值誤差估計（2.13），我們有

利用（3.25）和連續的線性算子B的性質，有

從（3.23）和（3.26）-（3.27）可以得到

證明完畢.

令（p（u），y（u））和（ph（u），yh（u））分別為（2.2）-（2.3）和（3.1）-（3.2）的解，再令J（·）∶U→R2是一個G微分凸泛函的近似解u滿足如下形式：

假設有如下凸泛函序列Jh∶U→R2滿足

容易得到

接下來，我們來估計‖u-uh‖.假設目標函數J在解u的某個小鄰域內是嚴格一致凸泛函，即對于解u存在一個小鄰域使得J在該鄰域上是凸函數，也就是說存在一個獨立于h的正常數c使得

定理3.2假設（A1）-（A2）都滿足，令（p，y，q，z，u）∈（V×W）2×U以及（ph，yh，qh，zh，uh）∈（Vh×Wh）2×Uh分別為（2.14）-（2.18）和（2.14）-（2.18）的解，假設（αu+B*z）∈H1（Ω），這時有

和

注意到在（3.37）中Qhu-uh=Qhu-u+u-uh，結合（3.36）-（3.37），有

由（3.38）可以得到

應用（3.32）和（3.39），有

現在我們估計（3.40）的右端項，由算子B的連續性和定義（3.1）可以得到

因為j′是局部Lipschitz連續，利用δ-Caunchy不等式和（2.20）中投影算子Qh的逼近性質，容易得到

對于任意的δ＞0成立.由（2.20），（3.11）和算子B的連續性，我們有

和

然后利用定理3.2的假設和（2.20）的逼近性質，有

利用（3.41）-（3.45）和（3.40），可以證明（3.33）.再結合引理3.1和定理3.1，我們得到（3.34）-（3.35）.

[1]F.S.Falk.Approximation ofa class ofoptimal control problems with order ofconvergence estimates[J].J.Math.Anal.Appl.，44（1973）：28-47.

[2]T.Geveci.On the approximation ofthe solution ofan optimal control problemgoverned byan elliptic equation[J].R.A.I.R.O.Numer.Anal.，1979（13）：313-328.

[3]M.Zlamal.Afinite element solution ofthe nonlinear heat equation[J].R.A.I.R.O.Numer.Anal.，1980（14）：203-216.

[4]S.Larsson，V.Tomee.Interpolation ofcoefficients and transformation ofdependent variable in Element methods for the nonlinear heat equation [J].Math.Methods Appl.Sci.，1989（11）：105-124.

[5]Z.Xiong，Y.Chen.Arectangular finite volume element for a semilinear elliptic equation[J].J.Sci.comp.，2008（36）：177-179.

[6]Z.Xiong，Y.Chen.Finite volume element method with interpolation cofficients for two-point boundaryvalue problemofsemilinear differential equation[J].Comput.MethodsAppl.Mech.Engrg.，2007（196）：3798-3804.

[7]張宏偉，劉衍瓊.對流占優擴散微分方程的最小二乘特性有限元方法[J].懷化學院學報，2008，27（11）：1-4.

[8]張宏偉，何敬偉.一類對流擴散方程的耦合解法[J].懷化學院學報，2010，29（2）：1-5.

[9]P.A.Raviart，J.M.Thomas.Amixed finite element method for 2nd order elliptic problems，Math.Aspects ofthe Finite Elment method[J]. Lecture Notes in Math，2012（2）：292-315.

[10]Y.Kwon，F.A.Milner.-error estimates for mixed methods for semilinear second-order elliptic equation[J].SIAMJ.Control Numer.Anal.，1988（25）：46-53.

[11]Z.Lu，Y.Chen.-error estimates oftriangular mixed finite element methods for optimal control problemgovern bysemilinear elliptic equation [J].Numer.Anal.Appl.，2009（12）：77-86.

[12]F.Brezzi，M.Fortin.Mixed and hybrid finite element methods[J].Springer，Berlin，1991.

Interpolation Coefficients Mixed Finite Element Solutions For Semilinear Elliptic Optimal Control Problems Priori Error Estimates

CAO Long-zhou1，LU Zu-liang1，2，LI Lin1
（1.Key Laboratory for Nonlinear Science and System Structure，Chongqing Three Gorges University，Chongqing 404000；2.Research Center for Mathematics and Economics，Tianjin University of Finance and Economics，Tianjin 300222）

In this paper，the authors extend the excellent idea of interpolation coefficients for semilinear optimal control problems to the mixed finite element methods.By using the interpolation coefficients thought to process the nonlinear term of equations，we present the mixed finite element approximation with interpolation coefficients for general optimal control problems governed by semilinear elliptic equations.The state and the co-state are discretized by the lowest order Raviart-Thomas mixed finite element space and the control is discretized by piecewise constant elements.We derive a priori error estimates in L2norm and H（div）norm for the coupled state and control variables with optimal convergence order h2.

semilinear elliptic；optimal control problems；interpolation coefficients mixed finite element solutions；priori error estimates

O241.82

A

1671－9743（2016）11－0021－06

2016-06-18

國家自然科學基金（11201510，11171251）；中國博士后科學基金（2015M580197）；重慶市科委項目（cstc 2015 jcyjA20001）；教育部春暉計劃（Z2015139）.

曹龍舟，1994年生，男，重慶開縣人，碩士研究生，研究方向：偏微分方程數值解；魯祖亮，1980年生，男，湖南常德人，教授，博士，碩士生導師，研究方向：偏微分方程數值解；李林，1992年生，男，重慶萬州人，碩士研究生，研究方向：偏微分方程數值解.