參考點隨機子空間模態參數識別方法的效率探討

邱勝華

（中鐵十二局集團第一工程有限公司，陜西西安 710038）

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參考點隨機子空間模態參數識別方法的效率探討

邱勝華

（中鐵十二局集團第一工程有限公司，陜西西安 710038）

摘要：結構模態參數的獲取對結構響應分析、狀態監測、振動控制有著非常重要的意義。在橋梁健康監測領域，基于環境激勵的隨機子空間方法是模態參數識別中最先進的方法之一。基于參考點的隨機子空間方法不僅能很好地適應大型工程結構測點分組測量的特點，而且較傳統的隨機子空間方法減少了識別過程中的計算量，但對于其識別精度還沒有詳細考證。文中在闡述該方法相關理論的同時，以一座梁橋的數值模擬算例進行分析，結果表明基于參考點的隨機子空間方法的識別結果準確可靠，并對選擇參考通道的方法提出了建議。

關鍵詞：橋梁；模態參數識別；隨機子空間；識別效率

準確的結構模態參數識別對于結構響應分析、狀態監測和結構控制等研究都有著非常重要的意義。但是傳統的模態參數識別要求同時測量輸入和輸出信號，這給大型工程結構的振動測試帶來不少困難，如難以施加有足夠能量的激勵或激勵昂貴、測試過程中影響結構的正常使用等。為此，研究者們提出了僅測量結構在正常使用時的環境激勵下的響應信號的模態參數識別思路，稱之為基于環境激勵的模態參數識別或工作模態分析（OMA）。該類方法不僅無需特意施加人工激勵和測試過程中不影響結構使用，并且識別出的模態參數反映了結構的真實邊界條件和工作時的動態特性，因而得到廣泛關注和研究。

基于環境激勵的方法主要分為頻域類方法和時域類方法。頻域類方法主要有峰值拾取法、頻率分解法等。時域類方法主要有：1）Ibrahim S.R.等提出的基于隨機減量技術的從白噪聲激勵下結構隨機響應中提取自由響應進而識別模態參數的ITD法；2）美國Sandia實驗室James G.H.等提出的自然激勵技術，他們認為白噪聲激勵下測量通道間的互相關函數和脈沖響應函數具有相同數學表達式，從而以其代替脈沖響應，再結合傳統的基于脈沖響應的識別方法完成環境激勵下的模態參數識別；3）隨機子空間方法，該方法的主要貢獻者如Akaike H.首先解決了狀態空間模型的隨機實現問題，Overschee P.V.等于1993年提出了直接基于數據的隨機子空間方法，1999年Peeters B.等提出基于參考點的隨機子空間方法。在這些方法中，隨機子空間方法因無需迭代、計算量小，識別結果精確可靠而得到廣泛關注。

在協方差驅動的參考點隨機子空間方法中，通過將識別方法中全部測試通道間的相關函數計算減少為全部通道僅和參考通道間的相關計算，顯著減少了該類方法的計算量。該方法在減少運算量的同時，是否會對模態參數識別精度帶來影響，則有待研究。該文將在闡述該方法的識別理論的基礎上，以一個數值算例探討參考點隨機子空間方法的識別效率，包括運算時間及結果的準確性，并對參考通道的選擇提出參考意見。

1　協方差驅動的參考點隨機子空間識別

1.1隨機狀態方程

一個連續彈性體結構可通過有限元方法離散為n個自由度的有限維結構，在動力荷載下的振動微分方程為：

式中：M、C2、K∈Rn×n分別為質量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣；F（t）、U（t）∈Rn×1分別為激勵力向量和位移響應向量；B2∈Rn×m為確定輸入位置的選擇矩陣；u（t）∈Rm×1為激勵力向量。

對式（1）進行狀態方程變換，即令狀態向量x（t）∈R2n×1、系統矩陣Ac∈R2n×2n和輸入矩陣Bc∈R2n×1分別為：

則式（1）可化為：

如果振動測量通道數為l個，測量物理量可以為加速度、速度或位移，即+CdU（t），其中Ca、Cv、Cd∈Rl×2n分別為對加速度、速度、位移的選擇矩陣，考慮狀態向量和響應間的關系，即可得到輸出方程為：

式中：C=［Cd-CaM-1K Cv-CaM-1C2］；D= CaM-1B2。

式（3）和式（4）便組成聯系系統的確定性狀態方程組。考慮離散采樣和不可避免地存在過程噪聲wk和測量噪聲vk，該方程組可化成如下離散隨機狀態方程組：

式中：A為離散系統矩陣，A=exp（AcΔt）；xk為離散時間狀態向量，xk=x（kΔt）；Δt為采樣時間間隔；B為離散輸入矩陣，；向量uk∈Rm×1和yk∈Rl×1分別為系統在k時刻的m個輸入、l個輸出測量值；C∈Rl×2n為輸出矩陣；D∈Rl×m為直接作用矩陣。

1.2模態參數識別

在基于環境激勵的模態參數識別中，激勵未測量，假定結構受到零均值平穩白噪聲激勵，則離散隨機狀態方程組化為：

式中：δpq為kronecker記號。

振動測試中，測量物理量通常為加速度信號，參考點隨機子空間方法的識別程序是首先構造全部l個測量通道加速度與m′個參考點通道間的相關函數的Toeplitz矩陣（非參考點協方差隨機子空間方法則為全部通道間的相關函數矩陣）：

式中：

由隨機狀態方程的性質可將Toeplitz矩陣表示為擴展觀測矩陣O和逆向隨機控制矩陣Γ的積，得到擴展觀測矩陣表達式為：

則離散系統矩陣A可由擴展觀測矩陣的移位結構關系得到：

C矩陣可直接取擴展觀測矩陣O的上2n行得到。模態頻率、阻尼及振型fk、ξk、φk可通過對離散系統矩陣A進行特征值分解A=ΨλΨT后由下式得到：

值得注意的是：在式（10）中，理論上系統真實階次可由不為零的奇異值數量決定，但在實際應用中，奇異值普遍不為零，甚至它們的值之間也不會出現顯著差異。這時根據虛擬模態（計算模態）將不會穩定出現的特點，可假定系統階次在一定范圍內變化，在各階次中穩定出現的總次數來判斷其是否是真實的物理模態，即穩定圖方法。

2　數值算例

應用MIDAS/Civil軟件建立一平面等截面簡支梁，計算跨徑32 m，斷面為GB-YB工字形，型號為I100×68×4.5/7.6，材料為Q235鋼材，彈性模量206 GPa，有限元離散劃分為16個平面梁單元，單元長度2.0 m（如圖1所示）。在橋梁半跨內的第2～9號節點豎向同時施加有限帶寬白噪聲動荷載模擬環境激勵。根據響應結果，對照非參考點隨機子空間方法研究參考點識別方法的識別精度，同時探討參考點的選擇方法。

圖1　簡支梁數值模型

2.1生成白噪聲激勵信號

采用的目標時域白噪聲激勵力信號的峰值為1 k N，采樣頻率fs為50 Hz，持續時間T為180 s。該信號采用MATLAB程序首先由白噪聲的已知功率譜密度函數推求頻譜函數，再疊加隨機相位譜后經傅里葉逆變換生成。有限帶寬白噪聲功率譜密度值指定在0.01～100 Hz區段為1.0，原始采樣頻率f?s為400 Hz，其他頻率區間為零，生成信號的功率譜密度如圖2所示。將該信號經1/8倍重采樣和峰值調整后便得到目標信號（如圖3所示）。連續執行8次得到所需的8個節點動荷載歷程。

圖2　生成信號的功率譜密度

圖3　節點動荷載時程

2.2模態參數識別

取各階振型阻尼比均為3%，應用MIDAS程序中振型疊加法進行時程分析，得到第2～16號節點180 s內的加速度響應歷程。如果將所有通道的響應都作為參考通道，即應用傳統的協方差驅動隨機子空間方法進行模態參數識別，得到10 Hz內的結構穩定圖和前5階頻率分別如圖4、表1所示。圖4中的穩定判別準則取頻率分辨Δf=2%，阻尼分辨率Δξ=10%，屬于相同階模態的模態保證準則最小值為0.95，即取ΔMAC=5%，數據Toeplitz矩陣塊行為30，即計算相關矩陣的最大時延為59Δt，狀態空間模型階次取80～160，判定為物理模態的穩定次數為≥20，計算時間為19.47 s（計算機CPU為Intel Core i3-2350M，主頻2.3 GHz，內存4 G。圖4中也顯示出了全部通道的平均功率譜密度函數圖形（縱坐標已和模型階次變化范圍匹配），可以清晰地得出系統物理模態位置區域，與隨機子空間識別結果一致。

圖4　非參考點隨機子空間識別的穩定圖

選取節點3、7～11、15共7個節點為參考點進行隨機子空間識別的穩定圖如圖5所示，計算時間為11.32 s，節約約40%的計算時間。識別的頻率、阻尼結果等如表1所示。由表1可見：參考點方法與非參考點方法相比，頻率及振型識別結果差別甚微，阻尼有一定差別，該算例中部分振型（如第1及第5階）阻尼比更趨于真值（3%）。

3　結論

基于環境激勵的模態參數識別方法是大型工程結構健康監測、振動控制等研究與應用的發展方向之一。近年提出的基于參考點的隨機子空間模態參數識別理論進一步提高了隨機子空間方法的計算效率，其中協方差驅動的參考點隨機子空間方法步驟簡練，在選取可觀測性好的自由度通道作為參考點時其識別結果準確可靠，值得推廣。

圖5　參考點隨機子空間識別的穩定圖

表1　參考點隨機子空間方法識別結果與非參考點方法對比

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中圖分類號：U441

文獻標志碼：A

文章編號：1671-2668（2016）03-0198-04

收稿日期：2016-03-07