有限狀態多期模型下的最小κ熵等價鞅測度期權定價

翟迎新,讓光林

(武漢大學數學與統計學院，湖北 武漢，430072)

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有限狀態多期模型下的最小κ熵等價鞅測度期權定價

翟迎新,讓光林

(武漢大學數學與統計學院，湖北 武漢，430072)

本文用一個純跳的隨機過程來描述標的資產價格的動態性，稱為有限狀態多期模型。考慮只有一個標的資產的期權定價模型，給出其最小κ熵等價鞅測度，在此基礎上采用Monte Carlo模擬歐式期權定價MCMEM(κ)方法，分別以虛擬Black-Scholes世界中歐式期權價格和現實金融市場中的麥當勞股票期權價格為例，對MCMEM(κ)和Black-Scholes公式等其他定價方法進行比較，驗證了MCMEM(κ)的可行性。

最小熵；等價鞅測度；期權定價；有限狀態多期模型；歐式期權

Black-Scholes期權定價公式為包括股票、債券、貨幣、商品在內的新興衍生金融市場中各種根據市價變動定價的衍生金融工具的合理定價奠定了基礎。但Black-Scholes期權定價模型中有很多假設與現實市場不符，如股票價格行為服從對數正態分布模式、在期權有效期內無風險利率和金融資產收益恒定等。隨著金融理論的不斷完善，很多研究人員開始探討放松Black-Scholes模型中的某些條件以獲得新的期權定價模型。例如，用隨機變量替代Black-Scholes期權定價模型中的某些固定參數，得到隨機波動率模型[1]；在標的資產價格運動模型中引入跳-擴散過程或純跳過程[2]；用非參數方法對衍生產品進行定價，如正則定價法[3-4]。

本文擬采用一個純跳的隨機過程來描述標的資產價格，考慮只有一個標的資產的有限狀態多期模型，給出其最小κ熵等價鞅測度，并提出基于Monte Carlo模擬的歐式期權定價方法，然后分別以虛擬Black-Scholes世界中歐式期權和現實市場中的麥當勞股票期權價格為例，對最小κ熵等價鞅測度定價方法(MCMEM(κ))和Black-Scholes公式等其他定價方法進行比較，以驗證MCMEM(κ)的可行性。

1 最小κ熵等價鞅測度定價方法

1.1 有限狀態多期模型

本文采用文獻[5]建議的逐天記錄價格變化的模型作為股票價格運動模型。記當前時刻的股票價格為S0，T天以后的股票價格可以表示成

(1)

式中：Zj是從第j-1天到第j天股票價格的變化量，即Zj=Sj-Sj-1。

假定所有價格變化來自一個有限狀態空間Z={z1,z2,…,zn}，其中n是狀態的個數。關于股票價格逐日的變化量，作如下假定(APC)：

(1)Z中元素的個數是有限的, 可以由歷史數據估計出來；

(2)標的資產價格的逐日變化之間相互獨立；

將以上模型稱為有限狀態多期模型。這個模型中每天股票價格的可能變化超過2個，一般而言這樣的市場都是不完備市場。

在不完備市場下，等價鞅測度集合通常不是單點集合，需要從許多等價鞅測度中選取一個合適的定價測度。備選原則有多種，應用相對熵最小原則就可以得到最小κ熵等價鞅測度[6]，該測度誘導出來的定價泛函是一個正的泛函，從而是一個合適的定價測度。

1.2 最小κ熵等價鞅測度

記市場價格變化的自然測度為P，記它的等價鞅測度為Q。由無套利定價原理可知, 對于一個T天的價格過程, 等價鞅測度Q必須滿足:

(2)

在有限狀態多期模型中, 第j天價格變化的自然測度為

P的等價鞅測度Q必須滿足式(2)和下面的約束:

定義1 設(Ω,F,Ρ)為一個概率空間，Q為可測空間(Ω,F)上的另一概率測度，定義測度Q相對于測度P的相對κ熵[6]為

Hκ(Q|

對于有限狀態多期模型而言，Q關于P的相對κ熵為

下面研究一種最簡單的情形: 假定所考慮的期權寫在一種標的資產上，在T天以后到期，標的資產在所考慮時間段內沒有紅利支付，在到期日前銀行利率是一個常數，沒有交易費用，這正是文獻[3]中考慮的情形。

由式(2)以及關于股票價格變化的假設(APC)，有

可以改寫為

根據最小κ熵等價鞅測度的定義,有如下凸優化問題：

使用拉格朗日乘數法,取兩個拉格朗日乘子分別為λ和γ，則目標函數為

(3)

式中：Q=(q1,q2,…,qn)。

分別對目標函數式(3)關于Q、λ、γ求偏導后可得到以下方程組：

λ+γzi=0，i=1,2,…,n

(4)

(5)

(6)

=1，則

由式(4)可以得到

(7)

(8)

{[-(λ+γzi)-

i=1,2,…,n

(9)

其中，(λ，γ)∈R2為以下方程組的唯一解：

從命題1可以看出, 最小κ熵等價鞅測度是關于S0、r、T、Ρ的函數。用LINGO軟件可直接求得Q*，然后就能夠根據無套利定價原理給出T天后到期、敲定價格為K的歐式期權的風險中性價格:

(10)

1.3 Monte Carlo模擬計算風險中性價格

對于一個T天后到期的歐式看漲期權，標的資產的價格軌道中有T個價格變化需要模擬。這些價格變化被認為是從一個有限狀態集合中按照最小κ熵等價鞅測度Q*獨立抽取的樣本， 按如下方式記向量QC：QC(1)=0，QC(i)=QC(i-1)+Q*(i-1)，i=2,3,…,n。

為了模擬出一條軌道上的第j次價格變化Zj,首先隨機抽取一個區間 [0,1] 上的均勻分布隨機變量s，如果滿足QC(i)≤s

(1)空氣濾清器阻塞清洗空氣濾清器芯子或清除指質濾芯上的灰塵，必要時應更換，以及檢查機油平面是否正常。(2)排氣管阻塞或接管過長，轉彎半徑太小、彎頭過多清除排氣管內積碳，重新排氣接管，彎頭不能多余三個，并有足夠大的排氣截面。

其中，Zk,j為第k條價格軌道中j時刻的價格變動。

在下面的研究中, 每次估計期權價格都用 Monte Carlo 方法[7]產生N=1000條價格的樣本軌道，然后把樣本平均作為期權價格的估計值。本文將采用Monte Carlo模擬方法計算風險中性價格的最小κ熵等價鞅測度定價方法記為MCMEM(κ)，而將最小熵等價鞅測度定價方法[7]記為MCMEM(0)。

2 MCMEM(κ)與MCMEM(0)的比較

圖1 效用函數曲線的對比

表1 不同κ值所對應的u′與的偏差

以上分析說明，最小κ熵等價鞅測度更加貼近實際的金融市場，所以MCMEM(κ)定價方法理論上要優于MCMEM(0)定價方法。

3 MCMEM(κ)在虛擬Black-Scholes世界中的應用

在虛擬Black-Scholes世界中，本文采用如下改進的方法對歐式期權價格進行估計:生成一條長度為T的價格軌道, 然后從這些價格中估計出歷史波動率δ和市場狀態集合Z，計算出相應的基于歷史波動率的Black-Scholes值(HVBS)和MCMEM(κ)值，并與真實的Black-Scholes值(BS)進行比較。由于價格軌道產生的隨機性，實驗重復以上過程100次，取其平均值作為各種方法對歐式期權價格的估計。

在上述隨機模型中，設連續復利r=0.05，幾何布朗運動的漂移和波動率分別為μ=0.05,δ=0.2。計算出固定敲定價格K=100、到期日T=30、當前市場價格S0不同時的期權價格，結果如表2所示。

表2 采用不同方法的期權定價(K=100,T=30)

由表2可見，HVBS值與BS值的平方誤差和最小，而相比于MCMEM(0)，MCMEM(κ)(κ=0.1,0.25,0.5,0.75)值與BS值的平方誤差和較小，這也進一步說明MCMEM(κ)方法比MCMEM(0)方法在期權定價中的表現更好。HVBS值與BS值的平方誤差和很小是因為HVBS在估計期權價格的過程中用到了標的資產價格運動是幾何布朗運動的信息，而MCMEM(κ)方法卻可以在沒有利用任何有關標的資產價格運動過程分布特性的前提下得到如此準確的估計，說明其能夠有效地從標的資產的歷史價格數據中收集可用于期權定價的信息。因此,MCMEM(κ)方法是可行的且優于最小熵等價鞅測度定價方法 。

4 MCMEM(κ)在現實金融市場中的應用

一種期權定價方法在虛擬世界中表現得再好, 也不能保證它在現實市場中的適用性，所以下面以麥當勞股票為例分析MCMEM(κ)方法在實際金融市場中的表現。

以麥當勞股票(股票代碼MCD)為標的資產，選取其在2012年1月9日至2016年4月25日期間的1080個收盤價數據，初始值S0取股票歷史價格的最后一個值，即2016年4月25日的收盤價，故S0=127.46。取無風險利率為1%，分別對到期日T=5、20、40、105、195，執行價格K=115、120、125、130、135、140的期權價格進行分析。

采用R語言編程計算，由麥當勞股票的1080個收盤價數據和其他給定的參數，得到歐式看漲期權的HVBS值和MCMEM(κ)值 (κ=0,0.1,0.25,0.5,0.75)，結果見表3。表4為麥當勞股票真實期權價格與各定價方法下估計值的平方誤差和。

由表3可見，MCMEM(κ)定價的擬合效果比較好，更加驗證了該方法的適用性和可行性。MCMEM(κ)方法估計的期權價格在到期日較短時優于基于歷史波動率的Black-Scholes方法所得期權價格(HVBS)，但是在到期日較長時，MCMEM(κ)定價法得到的期權價格偏離真實價格較遠，這是因為歷史價格的數據有限，短期變化可以從歷史信息中表現出來，但是長期的變化則無法根據有限的歷史信息完全預測。

表3 采用不同方法的麥當勞股票期權定價

續表

K定價方法期權價格T=5T=20T=40T=105T=195125BS2．673．494．045．987．95HVBS2．73113．62984．49516．45538．4077MCMEM(0)2．63753．23463．75134．82046．7613MCMEM(0．1)2．63903．19924．10535．24846．9008MCMEM(0．25)2．64613．02623．85925．21446．8241MCMEM(0．5)2．50432．97453．49404．82857．0587MCMEM(0．75)2．52013．23023．84065．09286．5183130BS0．100．791．323．355．45HVBS0．25471．14712．01293．97985．9429MCMEM(0)0．10730．54251．21242．55453．7936MCMEM(0．1)0．13980．64031．22592．65553．9480MCMEM(0．25)0．06620．60341．25892．59773．8649MCMEM(0．5)0．07150．62991．15592．42164．0690MCMEM(0．75)0．09010．62341．19502．78063．9363135BS0．020．060．251．603．45HVBS0．00260．22280．71882．27414．0496MCMEM(0)0．00390．03370．27171．07762．0441MCMEM(0．1)0．00290．03940．26001．20962．2370MCMEM(0．25)0．00260．04530．29711．05372．2316MCMEM(0．5)0．00020．03520．26041．12812．4216MCMEM(0．75)00．05060．24371．13222．1007140BS0．050．010．050．552．05HVBS00．02570．20271．20412．6620MCMEM(0)00．00360．01270．40231．0534MCMEM(0．1)00．00500．03870．34611．1316MCMEM(0．25)00．00590．02740．46971．1813MCMEM(0．5)000．02200．29681．0822MCMEM(0．75)00．00070．03150．37581．1462

表4 麥當勞股票真實期權價格與各定價方法所得估計值的平方誤差和

從表4可以看出真實期權價格與MCMEM(κ)(κ=0.1,0.25,0.5,0.75)的平方誤差和要小于其與MCMEM(0)的平方誤差和，這為MCMEM(κ)定價方法的存在必要性進一步提供了依據。

5 結語

本文引入了一種新的期權定價方法——采用Monte Carlo模擬的最小κ熵等價鞅測度定價MCMEM(κ)，它是一種完全由數據驅動的定價方法，不依賴任何關于股票價格分布的假設，也可以嵌入隨機紅利或隨機利率的影響，因此應用比較靈活。

從虛擬Black-Scholes世界中歐式期權定價隨機模擬實驗結果和現實金融市場中麥當勞股票期權定價結果來看，MCMEM(κ)方法是可行的，且在一定程度上要優于MCMEM(0)。

[1] Hull J, White A. The pricing of options on assets with stochastic volatilities[J].The Journal of Finance, 1987,42:281-300.

[2] Merton R C. Option pricing when underlying stock returns are discontinuous[J].Journal of Financial Economics,1976,3:125-144.

[3] Stutzer M.A simple nonparametric approach to derivative security valuation[J].Journal of Finance,1996,51:1633-1652.

[4] 唐月涵.任意期權的正則定價[D].南京：南京理工大學，2014.

[5] Rydberg T H, Shephard N.A modeling framework for the prices and times of trades made on the New York Stock Exchange[EB/OL]. Nuffield College Working Paper W99-14.(1999-06-04)[2016-04-05].https://ssrn.com/abstract=164170.

[6] Trivellato B.The minimal κ-entropy martingale measure[J].International Journal of Theoretical and Applied Finance,2012,15(5):1250038.

[7] 黃光輝.有限狀態多期模型下的期權定價和市場風險研究[D].武漢：華中科技大學，2006.

[8] 湯思英，劉繼春，杜立金.最小對稱熵鞅測度和不完備市場中的定價問題[J].廈門大學學報：自然科學版，2004，43(4)：465-468.

[責任編輯 尚 晶]

Option pricing based on the minimalκ-entropy equivalent martingale measure for finite state multi-period model

ZhaiYingxin,RangGuanglin

(School of Mathematics and Statistics, Wuhan University, Wuhan 430072, China)

This paper uses a pure jump stochastic process called the finite state multi-period model to describe the dynamics of underlying asset prices. Option pricing model for only one underlying asset is considered and the minimumκ-entropy equivalent martingale measure is deduced. On this basis, a pricing method for European option using Monte Carlo simulation named as MCMEM(κ) is proposed. MCMEM(κ) and other pricing methods such as Black-Scholes formula are used to evaluate European option price in a virtual Black-Scholes world and the option price of McDonald’s stock in the real financial market. The comparison results verify the feasibility of MCMEM(κ).

minimal entropy; equivalent martingale measure; option pricing; finite state multi-period model; European option

2016-07-06

國家自然科學基金資助項目(11571272).

翟迎新(1992-)，女，武漢大學碩士生.E-mail：2014202010053@whu.edu.cn

讓光林(1970-)，男，武漢大學副教授，博士.E-mail：glrang.math@whu.edu.cn

F830.9；F224

A

1674-3644(2016)06-0472-06