純對(duì)流流體數(shù)值仿真越界求解方法對(duì)比

王振業(yè)，李江飛，陳　鵬，馮　亮，王　劍，謝冬梅

(1．中國(guó)石油天然氣管道局 管道工程有限公司，河北　廊坊　065000；2．承德石油高等專科學(xué)校 熱能工程系，河北　承德　067000；3．中國(guó)石油西南管道公司，四川　成都　610041)

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純對(duì)流流體數(shù)值仿真越界求解方法對(duì)比

王振業(yè)1，李江飛2，陳鵬3，馮亮3，王劍1，謝冬梅2

(1．中國(guó)石油天然氣管道局 管道工程有限公司，河北廊坊065000；2．承德石油高等專科學(xué)校 熱能工程系，河北承德067000；3．中國(guó)石油西南管道公司，四川成都610041)

摘要：對(duì)于階梯形標(biāo)量場(chǎng)的純對(duì)流傳遞，采用有限容積法離散控制方程，采用Gauss-seidel法進(jìn)行迭代求解，采用延遲修正增加迭代過(guò)程的穩(wěn)定性。通過(guò)不同格式離散對(duì)流項(xiàng)得到的計(jì)算結(jié)果可以看到：一階迎風(fēng)格式計(jì)算結(jié)果精度太低，中心差分格式的結(jié)果發(fā)生振蕩，二階迎風(fēng)和QUICK格式精度較高，但會(huì)產(chǎn)生越界現(xiàn)象。高階有界組合格式計(jì)算精度高，且具有有界性。

關(guān)鍵詞：純對(duì)流；高階有界格式；數(shù)值仿真；有限容積法；離散

不同算法會(huì)造成不同的計(jì)算誤差，并在計(jì)算過(guò)程中出現(xiàn)誤差積累。對(duì)同一個(gè)數(shù)值求解問(wèn)題，不同的算法造成的計(jì)算誤差對(duì)最終結(jié)果的影響不同。數(shù)值穩(wěn)定性是算法對(duì)計(jì)算誤差的敏感性。誤差對(duì)最終結(jié)果的準(zhǔn)確性影響較小，則說(shuō)明該算法數(shù)值穩(wěn)定性較高；誤差對(duì)最終結(jié)果的準(zhǔn)確性影響較大，則說(shuō)明該算法數(shù)值穩(wěn)定性較差。造成數(shù)值穩(wěn)定性較差的原因：一是迭代能收斂，但是結(jié)果是振蕩的；二是迭代過(guò)程振蕩。階梯型標(biāo)量場(chǎng)的純對(duì)流傳遞的數(shù)值仿真容易出現(xiàn)振蕩的結(jié)果[1]。

1控制方程離散

將標(biāo)量場(chǎng)的長(zhǎng)和寬均等分100份來(lái)離散空間區(qū)域，即在x方向和y方向的空間步長(zhǎng)均為0.01，采用外節(jié)點(diǎn)法布置節(jié)點(diǎn)，節(jié)點(diǎn)編碼均為0～100。

控制方程為：

在控制區(qū)域內(nèi)對(duì)控制方程進(jìn)行積分：

(ueφe-uwφw)Δy+(vnφn-vsφs)Δx=0

其中：

將其帶入方程，并整理成aPφP=aEφE+aWφW+aNφN+aSφS+b形式，則有：

{([ue,0]+[-uw,0])Δy+([vn,0]+[-vs,0])Δx}φP

=[-ue,0]ΔyφE+[uw,0]ΔyφW+[-vn,0]ΔxφN+[vs,0]ΔxφS

即：

aP=([ue,0]+[-uw,0])Δy+([vn,0]+[-vs,0])Δx

aE=[-ue,0]Δy，aW=[uw,0]Δy，aN=[-vn,0]Δx，aS=[vs,0]Δx

由于是穩(wěn)定流動(dòng)，各個(gè)節(jié)點(diǎn)的東西界面和南北界面的速度分別相等。據(jù)此將公式化簡(jiǎn)：

式中，φP、φE、φW、φN、φS是控制體單元內(nèi)節(jié)點(diǎn)上的已知量；FUD、CD、SUD、QUICK、CLAM、EULER、MINMOD、MUSCL、OSHER、SMART、STOIC為不同離散方式；u—變量φ在水平x方向的流速；v—變量φ在垂直y方向的流速；μ—黏度；ρ—流體密度。

2求解步驟

求解基本步驟[1,6]：

1)定義變量；

2)離散空間，賦各節(jié)點(diǎn)初值以及左邊界和和下邊界的初值；

3)采用一階迎風(fēng)計(jì)算緊鄰左邊界和下邊界的內(nèi)點(diǎn)；

4)用Gauss-seidel迭代法按先行后列計(jì)算其余內(nèi)點(diǎn)，再將緊鄰右邊界和上邊界的內(nèi)點(diǎn)值分別賦給右邊界和上邊界，當(dāng)本次迭代與上一次迭代各節(jié)點(diǎn)的平均誤差小于設(shè)定精度時(shí)，迭代停止；

5)輸出最后一次迭代的各節(jié)點(diǎn)的值，以及y=0.5處的值；

內(nèi)點(diǎn)迭代計(jì)算時(shí)的差異[7]：

1)FUD、CD、SUD、MINMOD、MUSCL和QUICK格式，迭代計(jì)算內(nèi)點(diǎn)時(shí)，通過(guò)規(guī)正變量變換與反變換，推導(dǎo)出φf(shuō)與φC的直接關(guān)系。將φf(shuō)代入源項(xiàng)中，便可求出各節(jié)點(diǎn)的值；

3)OSHER、SMART和STOIC格式，其中迭代計(jì)算內(nèi)點(diǎn)時(shí)，首先判斷φD-φU的情況，當(dāng)φD-φU>0和φD-φU<0時(shí)，分別套用規(guī)正變量反變換出的公式，當(dāng)φD-φU=0時(shí)，采用一階迎風(fēng)。

3結(jié)果與結(jié)論

y=0.5時(shí)，F(xiàn)UD、CD、SUD、MINMOD、MUSCL和QUICK等格式下φ隨x的計(jì)算結(jié)果見(jiàn)圖1～圖2。

對(duì)同一個(gè)數(shù)值求解問(wèn)題，不同的算法造成的計(jì)算誤差對(duì)最終結(jié)果的影響不同。階梯型標(biāo)量場(chǎng)的純對(duì)流傳遞的數(shù)值仿真容易出現(xiàn)振蕩的結(jié)果。通過(guò)FUD、CD、SUD、QUICK、CLAM、EULER、MINMOD、MUSCL、OSHER、SMART、STOIC不同格式離散對(duì)流項(xiàng)得到的數(shù)據(jù)結(jié)果可以看到，一階迎風(fēng)格式計(jì)算結(jié)果精度太低，中心差分格式的結(jié)果發(fā)生振蕩，二階迎風(fēng)和QUICK格式精度較高，但會(huì)產(chǎn)生越界現(xiàn)象。高階有界組合格式克服上述缺點(diǎn)，計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確度較高，數(shù)值擴(kuò)散不大，并且具有有界性。數(shù)值計(jì)算在劇烈變化區(qū)域(y=0.5處)，采用SUD、CD、QUICK格式時(shí)，產(chǎn)生越界現(xiàn)象；STOIC格式計(jì)算效果最好。對(duì)流現(xiàn)象是具有方向性，其擾動(dòng)只能沿下游傳播。

參考文獻(xiàn)：

[1]陶文銓.數(shù)值傳熱學(xué)(第二版)[M].西安：西安交通大學(xué)出版社，2001.

[2]李江飛,石兆東,段興華,等. MAC算法計(jì)算二維方腔頂蓋流動(dòng)[J]. 宜賓學(xué)院學(xué)報(bào)，2015(6):28-31.

[3]Liu CH, Leung DYC.Development of a finite element solution for the unsteady Navier-Stokes equations using projection method and fractionalθ-format[J]. Computer methods in applied mechanics and engineering，2001(19)：4301-4317.

[4]M. Aydinl and R.T. Fenner. Boundary element analysis of driven cavity flow for low and moderate Reynolds numbers[J]. Int. J. Numer. Meth. Fluids，2001，37(1)：45-64.

[5]李江飛,李巖芳,謝冬梅,等. 渦量流函數(shù)法模擬方腔內(nèi)粘性不可壓流動(dòng)[J]. 宜賓學(xué)院學(xué)報(bào)，2015(12)：6-9.

[6]Wang Jian, Li Jiangfei, Cheng Wenxue, et al. Comparison of Finite Difference and Finite Volume Method for Numerical Simulation of the Incompressible Viscous Driven Cavity Flow[J].Advanced Materials Research, 2013(3)： 413-416.

[7]Brandt A. Multi-level adaptive technique (MLAT) for fast numerical solution to boundary value problems. Proceedings of the Third International Conference on Numerical Methods in Fluid Mechanics[J].Springer Berlin/Heidelberg，1973, 18(1)： 82-89.

Method Comparison of Over-bound Problem of Pure Convection Flow Numerical Simulation

WANG Zhen-ye1, LI Jiang-fei2, CHEN Peng3, FENG Liang3,WANG Jian1, XIE Dong-mei2

(1. China Petroleum Pipeline Engineering Corporation, Langfang 065000, Hebei, China;2. Department of Thermal Engineering, Chengde Petroleum College, Chengde 067000, Hebei, China;3.Southwest Pipeline Corporation, PetroChina, Chengdu 610041, Sichuan, China)

Abstract:For the pure convention of the step-shape scalar field, the finite volume method is adopted to disperse the governing equation, the Gauss-seidel is used for iteration to solve the equation and the delay correction is adopted to increase the stability of the iterative process. The calculation results show that: the accuracy of the upwind format calculation result of the first order is too low and the result of the central difference format vibrates. The accuracy of the upwind format calculation of the second order and the QUICK format calculation is high, but the cross-border phenomenon occurs. The higher-order bounded combination format has high accuracy with boundedness.

Key words:pure convection; higher-order bounded format; numerical simulation;finite volume; discrete

基金項(xiàng)目：河北省科技支撐計(jì)劃項(xiàng)目(采用電氣液壓調(diào)節(jié)的蒸汽透平機(jī)運(yùn)行特性和節(jié)能分析)：13211609

收稿日期：2015-12-02

作者簡(jiǎn)介：王振業(yè)(1985-)，男，河北廊坊人，中國(guó)石油天然氣管道局管道工程有限公司工程師，碩士，研究方向?yàn)橛蜌鈨?chǔ)運(yùn)工藝與技術(shù)。

中圖分類號(hào)：O35

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1008-9446(2016)02-0033-03