①　形如2rp1p2…pk(k≥2)的孤立數(shù)

溫建中

(阿壩師范學院數(shù)學與財經(jīng)系，四川汶川623000)

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①形如2rp1p2…pk(k≥2)的孤立數(shù)

溫建中

(阿壩師范學院數(shù)學與財經(jīng)系，四川汶川623000)

摘要：對于正整數(shù)n,設(shè)δ(n)是n的不同約數(shù)之和.對于給定的正整數(shù)a,如果不存在正整數(shù)b滿足δ(a)=δ(b)=a+b,則稱a是孤立數(shù).由于相親數(shù)和孤立數(shù)與完全數(shù)等著名數(shù)學難題有著直接的聯(lián)系,所以它們一直是數(shù)論中引人關(guān)注的研究課題.利用素數(shù)個數(shù)的估計的相關(guān)結(jié)論證明了對于任意給定正整數(shù)r或者k,均存在無窮多個形如的孤立數(shù),其中p1,p2,…,pk為相異的素數(shù).

關(guān)鍵詞：相親數(shù); 孤立數(shù); 存在性.

0引言

對于正整數(shù)n,設(shè)δ(n)和π(n)是n的不同約數(shù)之和以及不超過n的素數(shù)的個數(shù).如果正整數(shù)a和b滿足

δ(a)=δ(b)=a+b

(1)

則稱(a,b)是一對相親數(shù)(amicable pair).相反,對于給定的a如果不存在適合(1)的正整數(shù)b,則稱a是孤立數(shù)(anti-sociable number).近年來,人們對與各類孤立數(shù)的形式和存在性進行了大量的研究，[1-10]并得到了許多深刻的結(jié)果.在文獻[11]中,作者提出了是否存在無窮多個相異素因數(shù)大于3的無平方因子的孤立數(shù),對此文獻[12]作者證明了存在無窮多個相異素因數(shù)等于任意給定正整數(shù)k的無平方因子的孤立數(shù).

本文在文獻[11-12]的基礎(chǔ)上討論了一類形如2rp1p2…pk(k≥2)的更廣類型的孤立數(shù).利用素數(shù)個數(shù)的估計的相關(guān)結(jié)論,我們證明了以下結(jié)論.

定理對于任意給定正整數(shù)r或者k均存在無窮多個形如2rp1p2…pk(k≥2)的孤立數(shù),其中pi(i=1,2…k)為相異的素數(shù).

1一些引理

(2)

證參見文獻[13]的定理1.9.1.

引理2當素數(shù)p>24k,k≥2時,有

π(2p)-π(p)>k-1.

證由文獻[15]可知：

所以當p>59時,

由此本引理得證.

引理3當n≥1015時,有δ(n)/n<2loglogn.

證根據(jù)文獻[14]可知,當n≥3時

(3)

由于當n≥1015時,有2.6/loglogn<0.74<0.218loglogn,由(3)式即得本引理.

引理4當x≥2時,則必有2x-1>logx2.

證設(shè)h(x)=2x-1-logx2.則x≥2,h'(x)=(x-1)xx-2-2/x>0.所以當x≥2時,h(x)是增函數(shù).故h(x)>h(2)=2-2log2=0.61>0.由此得本引理.

引理5當正整數(shù)k>2,r≥0時,如果實數(shù)x適合x>24k+r,則必有

x>22k+1loglog(22k+r·xk-1)

證設(shè)f(x)=x-22k+1loglog(22k+r·xk-1).因為

(4)

所以從(4)式可知：當x>24k+r>22k+1(k-1)時,有f'(x)>0,f(x)是增函數(shù).由此可得f(x)>f(24k+r)=22k+1[22k+r-1-loglog2k(4k+r-2)]>22k+1[22k+r-1-logk(4k+r)]>22k+1[22k+r-1-logk(4k+r)]>22k+1[22k+r-1-log(2k+r)2].令(2k+r)為x,則由引理4即可得f(x)>f(24k+r)>22k+1[22k+r-1-log(2k+r)2]>0.本引理得證.

2定理的證明

定理的證明設(shè)k≥2,pi(i=1,2…k)是k個適合

max(1015,24k+r)

(5)

的素數(shù),又設(shè)

a=2rp1p2…pk.

(6)

根據(jù)δ(n)的定義由(2),(6)式可得

δ(a)=(2r+1-1)(p1+1)(p2+1)…(pk+1).

(7)

另外,由引理2可知當p1>24k+r>24k，(r≥0)時有

p1

(8)

故從(6)和(8)式可得

(9)

假設(shè)a不是孤立數(shù),則必有正整數(shù)b適合(1)式.又因為k≥2,所以由(5),(6),(7),(8)和(9)式可知

(10)

于是,由(1),(9)和(10)式可得

(11)

另一方面,由(10)式可知b>1015,所以由引理3可知

(12)

結(jié)合(11)和(12)式可得

p1<22k+1loglog(22k+r·p1k-1).

(13)

由引理5可知(13)式矛盾，則a必為孤立數(shù).又根據(jù)素數(shù)p1的無限性可知：滿足條件的正整數(shù)a有無窮多個，所以對于任意給定正整數(shù)r均存在無窮多個形如2rp1p2…pk(k≥2)的孤立數(shù),其中pi(i=1,2…k)為相異的素數(shù).證畢.

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[責任編輯范藻]

Anti-sociable Number With the Form 2rp1p2…pk(k≥2)

WEN Jianzhong

(Mathematics and Finance Department of Aba Teachers College,Wenchuan Sichuan 623000,China)

Abstract:For any positive integer n,let δ(n)to be the sum of all the different divisors of n.Suppose that a is a positive integer,then a is called an Anti-sociable number if only there is not the positive integer b:δ(a)=δ(B)=a+B.Because Amicable pair and Anti-sociable number with the Perfect number of famous mathematical problems has a direct connection,so they have been interesting research topic in number theory.Based on the estimate of prime number of related conclusions,we prove that for any positive integer r or k,there are infinity many anti-sociable number with the from 2rp1p2…pk(k≥2),wherepi(i=1,2…k)is the distinct primes.

Key words:amicable pair; anti-sociable number; existence.

收稿日期：①2015-11-10

基金項目：四川省應(yīng)用基礎(chǔ)研究項目(2013JYZ003)；阿壩師專重點科研課題項目(ASA14-09)

作者簡介：溫建中(1991—),男,四川儀隴人.助教,主要從事代數(shù)與數(shù)論研究.

中圖分類號：O156.1

文獻標志碼：A

文章編號：1674-5248(2016)02-0012-03