針對臨近空間目標跟蹤的自適應AMCKF算法

聶曉華，張夫鳴

(南昌大學 信息工程學院，　南昌 330031)

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·數據處理·

針對臨近空間目標跟蹤的自適應AMCKF算法

聶曉華，張夫鳴

(南昌大學 信息工程學院，南昌 330031)

摘要：臨近空間飛行器具有機動特性復雜、運動軌跡多階段性等特點，在目標跟蹤的過程中，易出現由于系統模型誤差較大導致跟蹤精度降低、濾波發散的問題。針對該問題，在容積卡爾曼濾波的過程中加入衰減因子，通過衰減記憶的方法補償模型誤差；同時，提出了一種實時辨識容積卡爾曼濾波衰減因子的方法，達到自適應跟蹤的目的。仿真結果表明：衰減記憶容積卡爾曼濾波算法能夠很好地解決模型失配問題，自適應算法實時對衰減因子賦值，避免了衰減因子取值的困難，可以達到更好的跟蹤效果。

關鍵詞：臨近空間；容積卡爾曼濾波；衰減記憶；自適應算法

0引言

臨近空間一般泛指距離海平面高度10 km到100 km的高空區域，臨近空間飛行器逐漸成為該領域的研究熱點。此類飛行器的機動速度、加速度均非常大，如近幾年出現的X-51A高超聲速飛行器[1]，有著機動特性強、運動軌跡變化快等顯著特點。如何良好地對臨近空間目標進行跟蹤成為一個備受關注的問題，對相關跟蹤算法的研究也具有重要的軍事戰略意義。

眾所周知，卡爾曼濾波算法在線性高斯條件下可以獲得狀態估計的最優輸出，該理論建立在已知系統模型、觀測模型和噪聲統計分布的基礎上，當不滿足這些條件時，估計誤差將會增大。Singer模型[2]將機動加速度建模為時間相關過程，更符合實際物理意義，通過調節機動頻率系數達到更好的跟蹤效果，得到了廣泛的應用。隨之出現了自適應跟蹤算法中的典型代表，即文獻[3]提出的當前“統計”模型，該模型在Singer模型實現的過程中，將加速度噪聲假設為瑞利分布，通過加速度均值實時地更新狀態噪聲的分布。

文獻[4]分析了臨近空間飛行器的滑躍式機動，將加速度建模為正弦自相關過程，取得了較好的跟蹤精度。

當所使用的系統模型誤差較大時，通常采用加入虛擬噪聲的方法讓濾波器對系統模型的信任程度降低，但很難確定需要加入多大的虛擬噪聲，此時則應該考慮舍棄之前的觀測數據，更側重于新產生的觀測值，讓濾波器具有更好的穩定性。

本文將衰減記憶算法與容積卡爾曼濾波(CKF)[5]相結合，形成衰減記憶容積卡爾曼濾波(AMCKF)，即利用衰減因子對狀態估計的預測協方差陣加以權重，使得濾波器最終的輸出值更趨近于新的觀測數據，同時描述了衰減因子的自適應方法。

1容積卡爾曼濾波

對于一般的非線性機動目標跟蹤，常用的非線性濾波方法主要有擴展卡爾曼濾波(EKF)、無味卡爾曼濾波(UKF)[6]以及通過高斯厄米特求積準則近似的求積分卡爾曼濾波(QKF)[7]。

當系統的非線性比較嚴重時，通過線性化方法的EKF估計效果很不理想，該濾波方法依靠對模型作線性化處理來傳遞均值，與真實的狀態均值僅匹配到一階項，存在較大的誤差。UKF算法通過無味變換(UT)經過非線性函數傳遞之后的狀態均值可以達到真實均值的前三階精度[8]；但由于濾波初始參數的選擇問題，在三維以上的高維空間中作UT變換會出現濾波發散的可能，穩定性有所下降[9]。而QKF的采樣點數會隨著空間維數呈指數級增長，一般不適用于高維情況。

CKF算法在三階容積準則的基礎上作積分近似，有嚴謹的理論推導，可以達到和UT變換相同的近似精度；同時，在高維空間中濾波的穩定性良好。有關CKF算法與其他濾波算法的性能對比，可參考文獻[10]。

在高斯分布的假設下，考慮以下積分

(1)

將多維空間的積分區域由直角坐標系轉換到球面徑向坐標系，令x=ry，其中，yTy=1，xTx=r2，則該積分可表示為

(2)

可將其改寫為

(3)

采用高斯求積準則和容積準則可得

(4)

即

(5)

取ma=1，mb=2n，n為x的維數?？傻脴藴收龖B分布的積分近似為

(6)

其中

(7)

對于卡爾曼濾波系統來說，有

(8)

式中：S為對協方差矩陣P進行Cholesky分解所得到的上三角矩陣。

可得

(9)

非線性濾波使用的數學模型可用狀態空間中的動態系統模型表示

(10)

式中：xk為k時刻的狀態向量；zk為k時刻的觀測值；wk和vk分別為相互獨立的狀態噪聲與觀測噪聲，且滿足wk～N(0，Qk)，vk～N(0，Rk)。

根據式(9)中的積分近似結果，對n維狀態向量x選取m個采樣點，m=2n，可得

(11)

經過系統的狀態函數傳遞有

(12)

再次選取m個采樣點

(13)

經過系統的觀測函數傳遞有

(14)

可計算狀態向量與觀測值的互協方差陣

(15)

由式(11)～式(15)得到CKF算法的狀態更新方程為[11]

(16)

經過一個時刻的濾波循環后，得到k時刻的狀態估計值及其協方差陣與觀測值一起作為k+1時刻的濾波輸入量。

2自適應衰減記憶方法

2.1衰減記憶濾波算法

在系統模型不準確，或者發生模型失配的情況下，當前觀測值對估計值僅起到很小的修正作用，而相對時間較久遠的觀測值是引起跟蹤誤差增大、濾波發散的一個重要原因。衰減記憶算法就是重新分配當前觀測數據的作用，提高濾波器的魯棒性。

已知離散系統模型如式(10)所示，卡爾曼濾波器通過最小化E(J)得到狀態向量的輸出序列[12]，J可寫作

(17)

為了讓濾波器更依靠此時刻的觀測數據，應使得當前數據的權重更大，重新定義上式

(18)

式中：β為衰減因子，且β≥1。

由此可將CKF算法中式(12)中的協方差陣改寫為

βP*+Qk-1

(19)

若有β=1，衰減記憶算法等價于標準容積卡爾曼濾波。其中，P*可以看作理想情況下系統模型完全匹配目標運動方式時的協方差陣，即Q=0。此時衰減因子則變為根據當前觀測數據改變濾波器協方差陣的系數，當系統模型與真實系統狀態的偏離程度越大時，該系數取值則越大。

在衰減記憶算法中，衰減因子的取值尤為重要。當濾波過程中發生模型失配的情況，為了補償模型失配帶來的估計誤差，必須對觀測數據給予更高的信任度，即β不能取值過小；當β非常大時，最終導致濾波器的輸出值收斂于觀測值，造成狀態估計的精度損失。

對比線性卡爾曼強跟蹤濾波器[13]，引入漸消因子λ與遺忘因子ρ，其中，ρ為一個先驗性的系數，λ的計算方法如下

(20)

(21)

其中

(22)

(23)

有些文獻會對觀測噪聲協方差陣R加入弱化因子。強跟蹤濾波器有效地提升了線性卡爾曼濾波性能，但將其應用在非線性容積卡爾曼濾波中，需要對狀態轉移函數和觀測函數求一階偏導計算雅可比矩陣，同時，需對遺忘因子和弱化因子作一定的先驗性分析，增加了濾波過程中的不確定性。

2.2衰減因子的自適應方法

在濾波算法實現的過程中，可以將式(14)中的協方差陣Pzz作為評判狀態預測不確定性的一個標準；同時，預測殘差dk是一個只能由觀測數據得到的誤差，對應著狀態估計的誤差信息。定義下式

(24)

可知，通過S的值可以判斷濾波器是否發散。當S>1時，說明了狀態估計的實時誤差比狀態預測的協方差要大，此時則需要對系統模型做一定的調整。若在衰減記憶算法中，可以提高當前觀測值所占的權重，即增大衰減因子。

根據S值所對應的性質描述，可以建立一個針對AMCKF算法衰減因子可行的自適應方法

Qk-1

(25)

(26)

這樣確保了當由于模型失配引起的估計誤差增大時，衰減因子β可以自適應地增大，提高對觀測值的信任度，使得濾波器有更好的穩定性；在實際誤差較小的時候，β自動置為1，變成標準容積卡爾曼濾波，保證了估計精度。

3仿真分析

參考已公布的有關臨近空間飛行器的一些資料[14-15]，近似地模擬其運動特性和實際環境參數，擬合出飛行軌跡，如圖1所示。使用該飛行軌跡進行仿真分析，初始參數如下：水平方向的初始位置為10 000 m，初始速度為1 000 m/s；縱軸方向的初始位置為10 000 m，初始速度為0 m/s。

圖1　臨近空間目標擬合軌跡圖

仿真分別將標準CKF算法和自適應AMCKF算法進行對比，并將無自適應AMCKF和加入自適應過程的算法進行對比。系統模型均采用勻加速運動模型，即CA模型

(27)

狀態噪聲的協方差矩陣為

(28)

式中：T為采樣時間間隔；q為加速度方差。

觀測模型如下

(29)

式中：xk和yk分別為目標的水平距離和縱向高度；vr和vt分別為觀測數據的徑向距離誤差和方位角誤差。

本文在仿真中設置T為1 s，q取值為100；使用的觀測噪聲設置徑向距離標準差為92.5 m，方位角標準差為0.022 4°[16]。

標準CKF算法與自適應AMCKF算法的跟蹤軌跡對比如圖2所示，衰減因子的自適應變化過程見圖3。

圖2　跟蹤軌跡比較圖

圖3　衰減因子變化圖

由于使用的系統模型為CA模型，而擬合出的目標飛行軌跡比較復雜，使用標準CKF濾波算法的跟蹤效果并不理想。從圖2中可知，CKF跟蹤軌跡在目標轉彎突變時發生了較大的偏離，自適應AMCKF算法的跟蹤精度更好。圖3中衰減因子變化驗證了該自適應濾波算法在實際運用中的可行性，β值隨著模型誤差的變化可以達到實時辨識的效果。

為了定量地分析跟蹤誤差，進行100次蒙特卡洛仿真得到的均方根誤差(RMSE)曲線如圖4所示。

圖4　位置RMSE曲線圖

從圖4中的RMSE曲線可以看出：AMCKF算法的跟蹤效果明顯好于標準CKF算法。在時刻100 s附近，標準CKF算法的跟蹤誤差非常大，這時系統模型嚴重偏離了目標的運動方式，對比圖3中的衰減因子，β值在此時刻變化也很劇烈，取值較大，對觀測數據給予了更大的權重，很好地彌補了濾波模型造成的誤差。

對比AMCKF算法加入自適應與無自適應過程的跟蹤效果，無自適應AMCKF算法的衰減因子β取值為1.5。對其進行100次蒙特卡洛仿真得到的均方根誤差曲線如圖5所示。

圖5　位置RMSE曲線圖

分析圖5，結果與圖4類似，帶有自適應的AMCKF算法跟蹤誤差較小，無自適應的算法因為無法確定目標運動過程中的各種突發情況，導致無法選定一個較合適的衰減因子，自適應算法有效避免了該問題。

4結束語

本文簡單地描述了面對臨近空間目標復雜運動特性的濾波模型失配問題，為了解決此問題，提出了一種可行的自適應衰減記憶容積卡爾曼濾波算法。在CKF算法中加入衰減因子的作用與文獻[13]在強跟蹤濾波器中所提到的漸消因子作用相似，當系統狀態噪聲的參數變化較大時，也能讓濾波器得到比較精確的狀態估計值，屬于強跟蹤濾波器的一種。但本文算法從預測誤差與實際估計誤差的角度說明了衰減因子取值的可行方法，避免了非線性強跟蹤理論雅可比矩陣的計算及由于一階線性化帶來的偏差問題。對該算法做出蒙特卡洛仿真分析，仿真結果說明了該算法的穩定性及魯棒性，是一種改善臨近空間目標跟蹤效果的有效手段。

參 考 文 獻

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聶曉華男，1969年生，博士，副教授。研究方向為狀態估計理論、電力電子等。

張夫鳴男，1993年生，碩士研究生。研究方向為最優狀態估計與目標跟蹤技術。

Adaptive AMCKF Algorithm for Near Space Target Tracking

NIE Xiaohua，ZHANG Fuming

(Information Engineering College, Nanchang University,Nanchang 330031, China)

Abstract：Near space vehicle has complex maneuvering and multi-phased trajectory characteristics. In the process of target tracking, lower tracking accuracy or filtering divergence problem is prone to happen due to the large model error. For this problem, added attenuation factor is introduced into the cubature Kalman filter to compensate the model error by attenuating memory method. Also a real-time identification method for cubature Kalman filter attenuation factor is proposed to achieve adaptive tracking purpose. The simulation results show that attenuation memory cubature Kalman filter can solve the model mismatch problem, adaptive algorithm will assign attenuation factor in real-time to avoid difficult issues for ranging attenuation factor so as to get a better tracking performance.

Key words：near space; cubature Kalman filter; attenuation memory; adaptive algorithm

DOI：10.16592/ j.cnki.1004-7859.2016.05.012

通信作者：張夫鳴Email：zfmdata@163.com

收稿日期：2016-01-13

修訂日期：2016-03-17

中圖分類號：TN957.52

文獻標志碼：A

文章編號：1004-7859(2016)05-0049-05