空間向量在立體幾何中的應用

賀新祿

【摘要】立體幾何在高中數學中的地位是舉足輕重的，幾何圖形能夠鍛煉學生的空間思維能力以及邏輯推理能力，面對幾何傳統的處理方式就是”以形到形“的辦法，這個方法對學生的空間想象能力提出了一定的要求，具有一定的難度，由于向量的引入，給立體幾何帶來了新的陽光，降低了幾何的難度，讓學生面對幾何輔助線時不再一籌莫展。

【關鍵詞】空間向量 立體幾何 應用

【中圖分類號】G633.63 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2016）04-0130-02

引言：在高中數學中，向量既有代數的抽象也有幾何的直觀，其中的“數”與“行”完美結合的特點使得我們可以運用向量解決立體幾何中某些復雜的問題。正因為有向量的知識，解決立體幾何一類的問題的時候就可以彌補部分同學在空間想象能力不足的缺陷，這在一定程度上降低了立體幾何的做題難度。

一、向量在立體幾何中的作用

空間向量是高中數學教材中后來添加的新內容，它的功效就在于能夠取代之前在傳統教材中的地位，從目前的效果可以看出，它的作用是多方面的，主要涉及到垂直問題，角度問題，以及法向量之間的計算應用問題等。

1.空間向量的作用

（1）證明垂直，面對線面垂直以及面面垂直的問題的時候，在算出法向量的基礎上，通過證明直線平行于法向量即可得出結論；還有想要證明面面垂直的結論，證明出兩平面的法向量是垂直的，即可得出最終的結論。

（2）計算角度，求二面角的精髓就在于轉換兩個法向量之間的角度來計算；立體幾何中的平行問題是通過向量的基本定理進行驗證的。

2.平面法向量

（1）法向量，指的是與已知平面垂直的向量值，這個是可以根據坐標位置的確定有多個的，就我們使用的經驗來講一般是選擇最為方便的那個來操作的。

（2）法向量的計算，根據一般情況建立適當的平面直角坐標軸，假設所知平面的法向量為m（a，b，c），在所在平面內找到兩個相交的直線S，T，同時運用法向量來定義他們。因為法向量垂直于所在平面，所以必定也垂直S，T，利用垂直向量點乘為零列出方程組。由于有三個未知數a，b，c，通常是假設其中一個是較特殊的值，再求出另外兩個的值。

二、向量在立體幾何中的實際運用

空間向量作為新鮮血液，解決幾何問題時更具優勢，解題者思維能清晰明了。這樣的方法不僅節省時間還能夠簡單地解決問題。

1.立體幾何的證明和計算問題

主要分成二大板塊：位置問題和度量問題。位置問題就是線線，線面之間的關系等；度量關系就是線線之間，線面之間的角度問題。

（1）證明問題

1）假設在一個空間里有任意的一點O點，以及和O點不共線的E，F，G三點，假如：（其中x+y+z=1），則四點M，E，F，G共面。

2）使用向量的代數運算證明M//N，M⊥N，運用向量的方法求出直線之間的夾角，實質就是兩條直線之間的向量運算問題，通過基本定理來得出結論。

3）求出需要證明線面垂直的有效法向量即可得出有效結論；同理可知，如果想要證明面與面之間的垂直，只需要證明所知的兩個平面的法向量垂直即可。

（2）平面法向量的計算問題

法向量是向量運算中最基本，也是最關鍵的單位元素，一般而言，需要權衡是否簡便地求出已知數據的向量值，然后再采用一系列類似坐標軸的方法展開計算。1）計算出基本的法向量之后，需要求出已知直線與所在平面之間的夾角，關鍵就在于求出直線和法向量之間的夾角；如要求二面角大小，只需求出兩個平面的法向量所成的角。例：二面角的棱上有A，B兩點，直線AC，BD分別在這二面角的兩個平面內，且都垂直于AB，已知AB=4，AC=6，BD=8，CD=二倍根號17，求二面角的大小？ 解：因為AC⊥AB，BD⊥AB，AB=4，AC=6，BD=8，CD=2√17， 過A作AE//BD，使AE=BD，連接CE，DE，所以AB⊥面ACE，∠CAE就是二面角的平面角，為CE=√（CD^2-DE^2）=√（68-16）=2√13 ，由余弦定理cos∠CAE=（AC^2+AE^2-CE^2）/（2AC·AE）=（36+64-52）/（2×6×8）=1/2，利用余弦定理計算出二面角60°。

2）計算線與面的關系，關鍵就在于建立合適的坐標系。要想正確設置已知點的坐標，首先盡量找到垂直與所在面的向量；假如找不到的話，那么就設n=（m，n，k）然后根據計算方便，取k（或m或n）等于一個數，然后就求出面的一個法向量；求點到平面的距離就是求出該面的法向量，然后在平面上任取一點，求出平面外那點和你所取的那點所構成的向量記為n1，點到平面的距離就是法向量與n1的數量積的絕對值除以法向量的模即得所求。

三、向量在立體幾何中應用的教學反思

利用向量法的主要方式有：（1）代數式（2）坐標式。一般來講，坐標式運算便于學習；當然我們也可以運用代數式來解決問題，但是代數式的要求比較高，更具備高技巧。坐標式更具實用性，簡要介紹一下解題步驟：

（1）坐標式向量法的解題步驟；

首先建合適的坐標軸，基本要求就是需要使用經過同一點的兩兩垂直的三條直線，從右邊開始建坐標系，坐標和坐標系的方向記得要嚴格保持一致。其次，仔細標記坐標點，準確標記需要的點的坐標。再接著寫出所需要的向量坐標，必須要終始點的坐標。然后按照熟記的計算公式計算問題得出結論，并且仔細檢查。

（2）向量法能解決立體幾何的所有問題嗎？

答案當然是否定的，在數學的世界里面，只有最合適的解決辦法，沒有絕對萬能的解決方案解決所有問題，我們要做到“擇優而選”，由此分成三步：

第一步，如果此步運用傳統的“以形到形”的方法更加簡單，那就不用考慮空間向量的辦法。

第二步，當使用傳統的辦法遇到問題的時候，看到當時的圖形又可以并且方便使用空間直角坐標系的話就可以考慮使用空間向量的辦法解決問題。

第三步，運用綜合法解決有困難，而圖形又不容易建立空間直角坐標系，那也可以用空間向量的代數式運算來解決問題，不過這個方法對于大部分的學生而言難度不亞于綜合法。

四、結束語

作為現代數學中的新鮮知識之一的空間向量法已經慢慢滲透到立體幾何的解題中了，成為立體幾何中不可或缺的重要工具之一。

參考文獻：

[1]劉八枝.向量在中學數學教學中的應用[J].鎮江高專學報：2003 年第二期.

[2]孫曉雄.向量在立體幾何中的應用[J].考試周刊，2008年第六期.

[3]李雪霞.空間向量在立體幾何中的應用[J].高中數學教與學，2002年第二期.