如何將物理問題轉化為數學問題

何夢秋

【摘要】鑒于最近幾年的高考試題中，命題者對“應用數學處理物理問題的能力”的考查在逐漸加強，在中學物理教學中，要指導學生如何將物理問題轉化為數學問題。

【關鍵詞】轉化 方程（組） 數學方法

【中圖分類號】G633.7 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2016）04-0177-02

從最近幾年的高考試題不難看出，命題者對“應用數學處理物理問題的能力”的考查在逐漸加強。雖然高考物理所涉及的數學知識不超過中學數學的范圍（不涉及高數），但從學生答題來看，因不能將物理問題轉化為數學問題而導致的丟分仍然十分嚴重，甚至因代數運算錯誤而導致的丟分也很普遍。有鑒于此，我們在中學物理教學中，一方面應加強代數運算的訓練，增加運算量，對高考物理中常用的數學知識進行簡要復習。如：三角函數、一次函數、二次函數，基本不等式，簡單數列（等差、等比數列）等。

另一方面，要指導學生如何將物理問題轉化為數學問題。我認為：關鍵要在轉化上下功夫。首先要讀懂題目所涉及的物理問題和情景；其次是根據物理情景選擇恰當的物理規律建立方程（組）；最后解方程（組），有時還需將方程（組）變形，根據數學知識得到需要的結果。下面舉例說明。

案例1：兩個可視為質點的小球a和b，用質量可忽略的剛性細桿相連，放置在一個光滑的半球面內，如圖所示。已知小球a和b的質量之比為，細桿長度是球面半徑的倍。兩球處于平衡狀態時，細桿與水平面的夾角是：

A.45° B.30°

C.22.5° D.15°

分析：通過對a、b受力分析知：本題的物理情景是兩物體分別受三力而平衡。對a、b由拉密定理得：

式中F為細桿對a、b的彈力.

兩式相除得：……③，將答案代入③

式知B答案正確。本題若為計算題，還須解三角方程③，求解如下：

兩邊平方再由倍角公式得：

案例2：半徑為r 的絕緣光滑圓環固定在豎直平面內，環上套有一質量為m，帶正電的珠子，空間存在水平向右的勻強電場，如下圖所示，珠子所受靜電力是其重力的3/4，將珠子從環上最低位置A點由靜止釋放，則珠子能獲得的最大動能是多少？

分析：設珠子運動到與環心的連線為時珠子的動能最大，由動能定理得：

須求三角函數的極值。

，其中。當

時，y有最大值。

所以①式中動能的最大值為。

這僅是本題的一種基本解法，其它解法略。

案例3：甲同學設計了如圖所示的電路 測電源電動勢E及電阻R1和R2阻值。實驗器材有：待測電源E（不計內阻），待測電阻R1，待測電阻R2，電壓表V（量程為1.5V，內阻很大），電阻箱R（0-99.99Ω），單刀單擲開關S1，單刀雙擲開關S2，導線若干。

①先測電阻R1的阻值。請將甲同學的操作補充完整：閉合S1，將S2切換到a，調節電阻箱，讀出其示數r和對應的電壓表示數Ul，保持電阻箱示 數不變，_______，讀出電壓表的示數U2。 則電阻R1的表達式為R1=_______。

②甲同學已經測得電阻Rl= 4.8Ω，繼續測電源電動勢E和電阻R2的阻值。該同學的做法是：閉合S1，將S2切換到a，多次調節電阻箱，讀出多組電阻箱示數R和對應的電壓表示數U，由測得的數據，繪出了如圖所示的圖線，則電源電動勢E=_____V，電阻R2=_____Ω。

分析②：許多同學碰到這樣的圖像問題往往不知從何下手。其實圖像問題本質就是函數問題。本實驗是伏—伏法測電源的電動勢和內阻，實驗原理是全電路歐姆定律，這樣也就找到了問題的突破口。由歐姆定律得

，變形得到，此為一次函

數的截距式.（）

截距，解得；

斜率，解得

案例4：如圖，一半徑為R的光滑絕緣半球面開口向下，固定在水平面上。整個空間存在勻強磁場，磁感應強度方向豎直向下。一電荷量為q（q>0）、質量為m的小球P在球面上做水平的勻速圓周運動，圓心為O/。球心O到該圓周上任一點的連線與豎直方向的夾角為

θ（0<θ<）。為了使小球能夠在該圓

周上運動，求磁感應強度大小的最小值及小球P相應的速率。重力加速度為g。

分析：據題意，小球P在球面上做水平面內的勻速圓周運動，該圓周的圓心為O/。P受到向下的重力mg、球面對它沿OP方向的支持力N和磁場的洛侖茲力f=qvB

豎直方向受力平衡水平方向的合理提供向心力本題的物理方程就這些了，接下來只能用數學方法求出磁感應強度大小的最小值，考慮到已知條件和所求結果均未涉及支持力N，因此可由①②式消去N，得到關于v的二次方程，再由判別式可求得磁感應強度大小的最小值。

由①②式消去N得

由此得：，磁感應強度大小的最小值為

此時，，由二次方程的求根公式得帶電小

球做勻速圓周運動的速率為：

案例5：一傾角為θ=45°的斜面固定于地面，斜面頂端離地面的高度h0=1 m，斜面底端有一垂直于斜面的固定擋板。在斜面頂端自由釋放一質量m=0.09 kg的小物塊（視為質點）。小物塊與斜面之間的動摩擦因數μ=0.2。當小物塊與擋板碰撞后，將以原速返回。重力加速度g=10 m/s2。在小物塊與擋板的前4次碰撞過程中，擋板給予小物塊的總沖量是多少？（小物塊與擋板碰撞的時間極短）

分析：設小物塊從高為h處由靜止開始沿斜面向下運動，到達斜面底端時速度為v。由功能關系得

以沿斜面向上為動量的正方向。由動量定理，碰撞過程中擋板給小物塊的沖量

設碰撞后小物塊所能達到的最大高度為h，則

式中，v/為小物塊再次到達斜面底端時的速度，I/為再次碰撞過程中擋板給小物塊的沖量。

解得：；式中

由此可知，小物塊前4次與擋板碰撞所獲得的沖量成等比級數，首項為

總沖量為：

代入數據得

本題的物理情景并不復雜，涉及到的物理規律也僅有動能定理和動量定理。難點是數學運算及等比數列的求和。

通過以上案例可以看出：只有讀懂物理情景，正確選擇物理規律建立方程（組），并有意識地利用數學方法和技巧才能得出正確結果。也唯有如此，“應用數學處理物理問題的能力”才能有質的提高。