供需關(guān)系在圓周運(yùn)動(dòng)的運(yùn)用

陳巧玲

【摘要】圓周運(yùn)動(dòng)是高中物理中重點(diǎn)討論的一個(gè)運(yùn)動(dòng)模型。因?yàn)樗毡榇嬖谟谖覀兊纳詈蜕a(chǎn)中。學(xué)生在討論這種運(yùn)動(dòng)時(shí)，常常用他們熟悉的直線運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，但是圓周運(yùn)動(dòng)作為一種曲線運(yùn)動(dòng)，是比直線運(yùn)動(dòng)更復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)。它更適合用供需關(guān)系去解析。

【關(guān)鍵詞】供需關(guān)系 臨界條件 圓周運(yùn)動(dòng) 模型 狀態(tài)

【中圖分類(lèi)號(hào)】G633.7 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2016）04-0238-02

一、什么叫供需關(guān)系

我們都知道公式：其中，左邊所表達(dá)的是通過(guò)受力

分析得到的半徑方向上的合外力，它是外界物體提供給運(yùn)動(dòng)物體的向心力。我們把他設(shè)為“供”。而方程右邊是與物體本身的質(zhì)量、速度、軌道半徑相關(guān)的向心力。我們認(rèn)為它表示的是質(zhì)量為m的物體以速度v在半徑為R的軌道上做圓周運(yùn)動(dòng)所需要的向心力，所以我把它稱(chēng)為“需”。

如果外界給物體提供的向心力剛好等于物體所需的向心力，即供需關(guān)系滿(mǎn)足，物體將沿該軌道做圓周運(yùn)動(dòng)

如果外界給物體提供的向心力大于物體所需的向心力，即供大于需，物體將做向心運(yùn)動(dòng)。

如果外界給物體提供的向心力小于物體所需的向心力，即供小于需，物體將做離心運(yùn)動(dòng)。

二、用供需關(guān)系解釋臨界狀態(tài)

1.用供需關(guān)系解釋繩子模型的臨界態(tài)

我們都知道，用一條不可伸長(zhǎng)的繩子系著一個(gè)小球，要使小球完成在豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)，則小球過(guò)最高點(diǎn)的最小速度應(yīng)該滿(mǎn)足。這是為什么呢？我們不妨用供需關(guān)系來(lái)分析一下小球在最高點(diǎn)時(shí)的情況。

重力并不需要全部用于提供給小球做向心力，它還有部分作用是使小球沿重力方向運(yùn)動(dòng)。正是這個(gè)力的作用使小球不可能上到最高點(diǎn)。所以就成為了小球能夠通過(guò)豎直圓最高點(diǎn)的最小速度。

2.用供需關(guān)系解析靜摩擦力的臨界態(tài)

例1：如圖所示，用細(xì)繩一端系著的質(zhì)量為M=0.1kg的物體A靜止在水平轉(zhuǎn)盤(pán)上，細(xì)繩另一端通過(guò)轉(zhuǎn)盤(pán)中心的光滑小孔O吊著質(zhì)量為m=0.3kg的小球B，A的重心到O點(diǎn)的距離為0.2m，若A與轉(zhuǎn)盤(pán)間的最大靜摩擦力為f=2N，為使小球B保持靜止，求轉(zhuǎn)盤(pán)繞中心O旋轉(zhuǎn)的角速度ω的取值范圍

解：因?yàn)锽靜止，所以T=mBg

盤(pán)以ω轉(zhuǎn)動(dòng)，則隨盤(pán)一起轉(zhuǎn)動(dòng)的物體所需要的向心力為mω2R

如果繩子的拉力mBg

如果繩子的拉力mBg>mω2R，有外界給物體提供的向心力大于物體所需的向心力.拉力的部分效果將會(huì)使物體做向心運(yùn)動(dòng)。為了阻礙物體相對(duì)自己向圓心運(yùn)動(dòng)，轉(zhuǎn)盤(pán)會(huì)給物體一個(gè)沿半徑向外的靜摩擦力，這個(gè)摩擦力將拉力的部分效果抵消使得供需關(guān)系再次平衡。其關(guān)系式是mBg-f=mω2R，當(dāng)ω不斷減少，靜摩擦力就不斷增大。當(dāng)f取最大時(shí)就是小球保持靜止的最小角速度。

3.對(duì)復(fù)合場(chǎng)臨界速度的解釋

如果空間中存在一個(gè)水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)和不可以忽略的重力場(chǎng)，帶正電的粒子在該場(chǎng)中的一條豎直軌道上做圓周運(yùn)動(dòng)。我們?cè)鯓咏忉屧摿Ｗ右瓿稍诖塑壍乐械膱A周運(yùn)動(dòng)需要什么樣的條件呢？

我們不妨設(shè)情景如右圖，

由于粒子受到的兩個(gè)力均為恒力，我們不難得到：

這兩個(gè)力的合外力也是恒力。這個(gè)力的方向是斜向右下的。如果粒子在該場(chǎng)中是靜止的，該力會(huì)使粒子向右下方運(yùn)動(dòng)。要讓粒子沿軌道做圓周運(yùn)動(dòng)，而不至于向右下方掉下。粒子要過(guò)的臨界點(diǎn)就是復(fù)合場(chǎng)的等效最高點(diǎn)，該點(diǎn)的確定是沿圓心開(kāi)始，沿合力的反方向與軌道的交點(diǎn)。

在這個(gè)點(diǎn)，粒子所受到的復(fù)合場(chǎng)的合力是指向圓心方向的。粒子過(guò)該點(diǎn)的供需關(guān)系應(yīng)該滿(mǎn)足

如果出現(xiàn)的情況，則合力的部分效果

將會(huì)使粒子在圓心方向獲得速度，這導(dǎo)致粒子不能沿原來(lái)軌道做圓周運(yùn)動(dòng)。

三、供需關(guān)系對(duì)輕桿模型的解釋

我們知道，輕桿模型與繩子模型不一樣.一個(gè)球固定在輕桿上，可以以很小的速度通過(guò)豎直圓周的最高點(diǎn).并不像繩子模型中的小球一樣需要一個(gè)最小速度的限制。為什么會(huì)這樣呢？我們來(lái)設(shè)小球到達(dá)圓周的最高點(diǎn)時(shí)速度為VO，桿的長(zhǎng)度為R，小球

這意味著桿對(duì)小球并沒(méi)有作用力。如果小球的速度V1滿(mǎn)足V1>V0，小球所需要的向心力將會(huì)大于重力，由于重力不足以提供小球所需的向心力。小球?qū)⒆鲭x心運(yùn)動(dòng)，向外拉桿子，被拉的桿就會(huì)對(duì)小球產(chǎn)生一個(gè)向心方向的拉力。使得供需關(guān)系滿(mǎn)足

度V2滿(mǎn)足V2

的效果，供需關(guān)系滿(mǎn)足。小球仍然可以在桿上做圓周運(yùn)動(dòng)。

我們說(shuō)一個(gè)固定在輕桿上的小球可以以任何小的速度通過(guò)豎直圓的最高點(diǎn)。判別桿對(duì)小球的力是拉力還是支持力，其臨界點(diǎn)就是速度。

四、用供需關(guān)系解析衛(wèi)星變軌問(wèn)題

我們?cè)O(shè)想一個(gè)衛(wèi)星在離地心為R的高空上繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)。如果衛(wèi)星的質(zhì)量為m，速度為V0，地球的質(zhì)量為M，G為

力，系統(tǒng)出現(xiàn)供不應(yīng)求的情況，在沒(méi)有其它力補(bǔ)充給衛(wèi)星做向心力的情況下，衛(wèi)星將會(huì)做離心運(yùn)動(dòng)，從而出現(xiàn)了衛(wèi)星的軌道半徑變大的情況。從另一個(gè)方面講，如果衛(wèi)星的速度變?yōu)閂2，而且V2

五、用供需關(guān)系討論運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的變化問(wèn)題

例2：如圖所示，物塊在水平圓盤(pán)上，與圓盤(pán)一起繞固定軸飛速轉(zhuǎn)動(dòng)，下列說(shuō)法正確的是：

A、物體處于平衡態(tài)

B、物體受三個(gè)力的作用

C、在角速度一定時(shí)，物塊到轉(zhuǎn)軸的距離越遠(yuǎn)，物塊越不容易脫離圓盤(pán)

D、在物塊到轉(zhuǎn)盤(pán)轉(zhuǎn)軸的距離一定時(shí)，物塊運(yùn)動(dòng)周期越小，越不容易脫離圓盤(pán)

在分析這道題時(shí)，學(xué)生的難點(diǎn)在C選項(xiàng)的分析。學(xué)生認(rèn)為，物塊的向心力就是mω2R，如果ω一定，R越大，向心力就越大，物塊就是越不可能做離心運(yùn)動(dòng)，也就是越不容易脫離圓盤(pán)。這種分析的錯(cuò)誤就在于沒(méi)有將供、需分開(kāi)而造成的。在題設(shè)中mω2R是物體所需要的向心力，在角速度一定時(shí)，物塊到轉(zhuǎn)軸的距離越遠(yuǎn)，物塊所需的向心力就越大。外界給物體提供的向心力來(lái)自盤(pán)與物塊之間的靜摩擦力。對(duì)于盤(pán)面與物體而言，無(wú)論物體放在盤(pán)面的什么位置，盤(pán)面能夠給物體提供的最大靜摩擦力是一樣的。隨著ω的增大， R大的物體所需要的向心力增加得更快。它會(huì)首先達(dá)到最大靜摩擦力提供向心力的情況，如果ω繼續(xù)增大，它首先向外發(fā)生滑動(dòng)。

六、通過(guò)供需關(guān)系理解物體的受力情況

例3：乘坐游樂(lè)園的翻滾過(guò)山車(chē)時(shí)，質(zhì)量為m的人隨車(chē)一起在豎直面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，下列說(shuō)法正確的是

A、車(chē)在最高點(diǎn)時(shí)，人處于倒立狀態(tài)，全靠保險(xiǎn)帶拉住，沒(méi)有保險(xiǎn)帶人就會(huì)掉下來(lái)

B、人在最高點(diǎn)時(shí)，對(duì)座位可能產(chǎn)生壓力，但是，壓力一定小于mg

C、人在最低點(diǎn)時(shí)，對(duì)座位的壓力大于mg

D、人在最低點(diǎn)時(shí)，對(duì)座位的壓力等于mg

在這道題中，學(xué)生的難點(diǎn)普遍在于A。對(duì)A的錯(cuò)解是因?yàn)閷W(xué)生不理解力的效果以及供需關(guān)系。事實(shí)上，人雖然在最高點(diǎn)，也處于倒立狀態(tài)，但是，只要人在最高點(diǎn)有一定的速度，而且這

個(gè)速度滿(mǎn)足，人便不需要保險(xiǎn)帶的幫忙了。在關(guān)系式

取等號(hào)時(shí)，重力剛好全部用于給人提供向心力，重力再?zèng)]有效果使人產(chǎn)生豎直向下的運(yùn)動(dòng)，所以人不會(huì)掉下來(lái)，也就不需要保險(xiǎn)帶了。在關(guān)系式取小于號(hào)時(shí)，意味著重力并不足以提供人所需的向心力，所以人會(huì)向外運(yùn)動(dòng)，擠壓軌道，在種情況下，人就更不可能掉下來(lái)了，所以保險(xiǎn)帶也是沒(méi)有的。

圓周運(yùn)動(dòng)是我們常考的模型。學(xué)生的難點(diǎn)在于臨界點(diǎn)的討論和軌道變化的歸因。供需關(guān)系剛好可以很好地解釋這一系列的難點(diǎn)。所以掌握供需關(guān)系是學(xué)生學(xué)好該部分知識(shí)的一個(gè)鑰匙。endprint