線性代數(shù)中矩陣的秩的運(yùn)用及教學(xué)策略分析

周俊超

【摘要】線性代數(shù)是數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域中的一個(gè)重要學(xué)科分支，矩陣是線性代數(shù)中的一個(gè)重要的基本概念，是代數(shù)學(xué)的一個(gè)主要研究對(duì)象，也是數(shù)學(xué)研究的一個(gè)重要的工具。矩陣的秩幾乎貫穿矩陣?yán)碚摰氖冀K，它在線性代數(shù)中扮演了重要角色。本文根據(jù)線性代數(shù)中矩陣的秩的運(yùn)用特點(diǎn)展開(kāi)討論，提出幾點(diǎn)指導(dǎo)教學(xué)運(yùn)用的具體策略。

【關(guān)鍵詞】矩陣的秩 線性代數(shù) 方程組 教學(xué)策略

【中圖分類號(hào)】G642 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2016）04-0240-02

一、前言

設(shè)在矩陣A中有一個(gè)不等于0的r階子式D，且所有r+l階子式（若存在）全等于0，那么稱D為矩陣A的最高階非零子式，數(shù)r稱為矩陣A的秩，記作R（A）。并規(guī)定零矩陣的秩等于0。顯然矩陣A的秩R（A）就是A中不等于0的子式的最高階數(shù)。還可以從向量組的角度來(lái)定義矩陣的秩，矩陣的行向量組的秩等于矩陣的列向量組的秩，統(tǒng)稱為矩陣的秩。不管對(duì)于數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生學(xué)習(xí)高等代數(shù)或者非數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生學(xué)習(xí)線性代數(shù)來(lái)說(shuō)，學(xué)習(xí)和理解它的含義都是十分必要的。本文通過(guò)分析矩陣的秩在線性代數(shù)中的諸多作用， 逐步加深對(duì)這一概念本質(zhì)的理解， 進(jìn)而真正掌握矩陣的秩并能靈活地運(yùn)用它解決各種有關(guān)問(wèn)題。在開(kāi)展教學(xué)活動(dòng)時(shí)，教師需要立足于矩陣的秩的性質(zhì)，開(kāi)展結(jié)構(gòu)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖的建設(shè)工作，通過(guò)多種教學(xué)手段的使用，從而顯著提高教學(xué)效果。

二、秩與初等變換

教材中通常先引進(jìn)矩陣的初等變換，建立矩陣的秩的概念，并利用初等變換討論矩陣秩的性質(zhì)，然后利用秩討論線性方程組無(wú)解、有唯一解或有無(wú)無(wú)限多解的充分必要條件，并介紹用初等變換解方程組的方法。

初等變換不改變矩陣的秩。利用這一性質(zhì)，我們得到了求矩陣的秩的一般方法—初等變換法。要求矩陣的秩，可以對(duì)矩陣做初等變換，化為行階梯型，那么非零行的行數(shù)即為矩陣的秩。通過(guò)初等變換我們還可以得到矩陣秩的諸多優(yōu)良性質(zhì)。

用初等變換法我們還可以用來(lái)求向量組的秩，將向量組對(duì)應(yīng)成矩陣，初等變換法求出矩陣的秩，即為向量組的秩。更進(jìn)一步，我們還可以求出向量組中的最大線性無(wú)關(guān)組及向量組的線性相關(guān)性。用初等變換法將矩陣化成行階梯型矩陣，找出不為零的最高階非零子式，它所在的行即為矩陣行向量組的一個(gè)最大線性無(wú)關(guān)組，所在的列即為矩陣列向量組的一個(gè)最大線性無(wú)關(guān)組。如果向量組的秩等于向量個(gè)數(shù)，則向量組線性無(wú)關(guān)；小于向量個(gè)數(shù)，則線性相關(guān)。從而將向量組的線性相關(guān)性的判別這個(gè)讓學(xué)生感到棘手的問(wèn)題簡(jiǎn)單化為向量組構(gòu)成的矩陣秩與向量個(gè)數(shù)的大小比較問(wèn)題。

三、秩與線性方程組

為了探討線性方程組無(wú)解、有唯一解或有無(wú)無(wú)限多解的條件，我們需要將系數(shù)矩陣的秩、增廣矩陣的秩與未知量的個(gè)數(shù)進(jìn)行比較。

定理[1]：n元線性方程組 Ax = b

① 無(wú)解的充分必要條件是 R（A）

② 有唯一解的充分必要條件是 R（A） = R（A， b） = n ；

③ 有無(wú)限多解的充分必要條件是 R（A） = R（A， b）

例討論線性方程組解的情況，并在有無(wú)窮多解時(shí)求其解。

解：對(duì)方程組的增廣矩陣進(jìn)行如下初等行變換：

（1） 當(dāng)即系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩均為3，此時(shí)方程組有唯一解.

（2） 當(dāng)系數(shù)矩陣的秩為1，增廣矩陣的秩為2，此時(shí)方程組無(wú)解.

（3） 當(dāng)此時(shí)方程組有無(wú)窮多組解.

方程組的增廣矩陣進(jìn)行初等行變換可化為

故原方程組與下列方程組同解：

令可得上述非齊次線性方程組的一個(gè)特解；

元素，可得為該齊次線性方程組的一個(gè)解，它構(gòu)成該齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系.此時(shí)原方程組的通解為

此外，注意到此題中方程個(gè)數(shù)與未知數(shù)個(gè)數(shù)相同，還可以先計(jì)算系數(shù)行列式，運(yùn)用克萊默法則，易于確定參數(shù)的值，使問(wèn)題簡(jiǎn)單化。

從以下這個(gè)表中我們能更加清楚的認(rèn)識(shí)矩陣的秩與線性方程組的解的情況之間的關(guān)系。

四、矩陣的秩的教學(xué)策略探討

首先，要讓學(xué)生明白學(xué)習(xí)矩陣的秩的重要性。矩陣從來(lái)都是數(shù)學(xué)中的經(jīng)典內(nèi)容，是我們分析解決問(wèn)題的一個(gè)強(qiáng)有力的工具，當(dāng)然也是大學(xué)生必備的經(jīng)典知識(shí)。其次，在線性代數(shù)中，矩陣的秩是個(gè)比較抽象的概念，它是教師教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)。若不注重方法直接介紹，學(xué)生將難以接受，接受勉強(qiáng)接受，也不能深刻地理解其定義與定理的具體的內(nèi)涵，更談不上在具體題目中能靈活運(yùn)用這個(gè)數(shù)學(xué)概念。教師要幫助學(xué)生深刻理解矩陣秩的概念，從學(xué)生熟悉的背景引入，兼顧知識(shí)難點(diǎn)嚴(yán)密性和形象性，用大量實(shí)例將概念具體化，不管是從行列式的角度還是從向量組的角度，都能清晰把握概念內(nèi)涵。第三，在教學(xué)過(guò)程中要中深入剖向量組的線性相關(guān)性與矩陣的秩以及線性方程組解之間的內(nèi)在聯(lián)系，課堂教學(xué)過(guò)程中多選擇典型例題，例題就是抽象知識(shí)的具體化，通過(guò)典型的例題來(lái)解釋這些難懂的知識(shí)點(diǎn)。第四，讓學(xué)生多做練習(xí)，使學(xué)生在運(yùn)用中加深對(duì)難點(diǎn)的理解和把握，從中體會(huì)相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系與區(qū)別。比如，安排習(xí)題課讓學(xué)生進(jìn)行課內(nèi)練習(xí)，教師可利用習(xí)題課對(duì)矩陣的秩的運(yùn)用特點(diǎn)進(jìn)行梳理和總結(jié)，幫助學(xué)生從整體上把握。針對(duì)一些典型的習(xí)題，讓學(xué)生先認(rèn)真思考驗(yàn)算，再進(jìn)行講評(píng)，提高學(xué)生分析和解決問(wèn)題的能力。

五、結(jié)束語(yǔ)

對(duì)于數(shù)學(xué)問(wèn)題的認(rèn)知方面，學(xué)生應(yīng)該全身心的參與，不應(yīng)該僅僅局限在課本和例題這些固定的知識(shí)層面，還應(yīng)該在題目的變式中得到錘煉和提高。在線性代數(shù)講解活動(dòng)中，老師應(yīng)該循循善誘的幫助學(xué)生樹(shù)立起探索數(shù)學(xué)復(fù)雜題型的信心，在線性代數(shù)中矩陣秩的具體習(xí)題練習(xí)中得到思維發(fā)散與提高。

參考文獻(xiàn)：

[1] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.線性代數(shù)（下冊(cè)）[M].5版.北京：高等教育出版社，2007：57-109.

[2] 江蓉，王守中.矩陣的秩在線性代數(shù)中的應(yīng)用及其教學(xué)方法的探討[J].西南師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2012，37（8）：175-180.DOI：110.3969.

[3] 張建業(yè).線性代數(shù)中秩與線性方程組的關(guān)系[J].河北工程技術(shù)高等專科學(xué)校學(xué)報(bào)，2005，（3）：154-55，63.DOI：10.3969.

[4] 巴桑卓瑪.探討矩陣的秩在線性代數(shù)中的應(yīng)用[J].西藏大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2010，25（12）：1104-107.