揚線段圖形之帆啟應用模型之航

徐玉宇

揚線段圖形之帆啟應用模型之航

徐玉宇

課標提出：結合具體的教學內容采用“問題情境—建立模型—解釋、應用與拓展”的過程來進行教學，讓學生經歷數學建模的全過程，提高數學的應用意識和應用數學知識解決實際問題的能力。由此可見，數學應用首先要建立數學模型，將紛繁的現實情境用簡約的數學語言表示出來，表示能力是培養應用能力的關鍵之一。在這里，線段圖即為簡約的數學語言，它能把紛繁復雜的文字轉化成簡單易懂的圖形，借助線段圖，可以使學生進行形象的思考、有條理的分析，更加容易建立基本應用模型。

一、借助線段圖析關系

解決問題的數量關系各式各樣，如果要記住類型紛繁復雜的數量關系，容易造成學生解決問題時，套用公式，不利于學生靈活性思維的培養。而有了線段圖這樣的工具，能將復雜抽象的問題，借助線段圖理解、分析數量關系，不至于簡單機械地利用數量關系解決問題。只有在理解的基礎上，分析數量關系，學生才會明白解決問題的真諦，同時經常利用線段圖解決問題，學生遇到復雜的問題時，自然而然就借助線段圖幫助解決問題。

例如：四年級下冊第一單元中有這樣的問題：書架上有兩層書，共144本。如果從下層取出8本放到上層去，兩層書的本數就相同。書架上、下層各有多少本書？

對于這樣的問題，很多學生束手無策，如果借助線段圖分析數量關系，絕大多數學生都能解決這道問題。

借助線段圖分析，學生可以列出先求上層（144-8×2）÷2= 64（本），再求下層144-64=80（本）；也可以列出先求下層（144+8×2）÷2=80（本），再求上層144-80=64（本）；還可以列出先求兩層同樣多的本數：144÷2=72（本），再求下層72+8= 80（本），那么72-8=64（本）為上層。結合線段圖不難理解各種數量之間的關系，又有利于拓展學生的思維。

如果經常應用線段圖分析類似問題的數量關系，可以為學生在腦中構建基本應用模型奠定基礎，有了這種依托，在構建某種模型時，教師稍作引導，學生更容易將這類復雜的問題在腦中形成基本的應用模型，以后遇到相似的問題，就可以運用這種基本應用模型解決問題。

二、借助線段圖明結構

解決問題不再按類型教學后，學生對“解決問題”的基本結構也很模糊。明確“解決問題”的結構，有助于學生建構基本應用模型，也更有利于學生更好地解決問題。線段圖就是一種很好的媒介，借助它可以明確“解決問題”的基本結構，也更易于學生洞察結構之間的變化，根據變化就可以對解題方案作出適當調整，從而更順利解決問題。

例如：像行程問題中的相遇問題就有很多類型。

（1）甲乙兩車從A、B兩地相向而行，甲車的速度為每小時80千米，乙車的速度為每小時70千米，3小時后兩車相遇。A、B兩地相距多少千米？

（2）甲乙兩車從某地出發，相背而行，甲車的速度為每小時80千米，乙車的速度為每小時70千米，3小時后兩車相距多少千米？

（3）甲乙兩車從某地出發，同向而行，甲車的速度為每小時80千米，乙車的速度為每小時70千米，3小時后兩車相距多少千米？

（4）甲乙兩車從A、B兩地相向而行，甲車的速度為每小時80千米，乙車的速度為每小時70千米，3小時后兩車還相差100千米才相遇。A、B兩地相距多少千米？

（5）甲乙兩車從A、B兩地相向而行，甲車的速度為每小時80千米，乙車的速度為每小時70千米，行了3小時，兩車相遇之后相差100千米。A、B兩地相距多少千米？

……

借助線段圖，學生不需要記憶這么多的“相遇問題”，只要畫出線段圖，就可以明確變化多端的相遇問題的結構，借助線段圖解決這些問題。

有了線段圖的介入，對于其他變換多端的“解決問題”的結構，學生也不用機械記憶了，只要借助線段圖，就可以明確它們的結構，多次熟悉這些結構之后，學生會形成自己對基本結構的認識，有利于基本應用模型的建立，也更有助于解決問題。

三、借助線段圖建模型

學生要解決內容和形式各式各樣的問題，可對一些基本和常態的問題建立模型，依照模型解決問題，更有益于學生判斷和分析基于基本應用模型之上的各式各樣的“解決問題”。借助線段圖，可以將各種類型的“解決問題”進行溝通，建立基本的模型。

例如：

方方有12本故事書，8本科技書。她共有幾本書？

方方原有12本故事書，又買來8本。她共有幾本書？

方方共有20本書，其中12本故事書。她有幾本科技書？

方方共有20本書，捐了12本，還剩幾本書？

方方共有20本書，捐了一些后，還剩12本書，她捐了幾本？

當用線段圖表示這些問題時，可以發現都能用這樣的線段圖表示這些原型“解決問題”：

又可以從線段圖中，清楚地將這些數量關系的問題歸結為兩類，求總數和求部分數，使學生能將各種紛繁復雜的數量關系歸成兩類基本模型，抓住了問題的本質，有利于學生解決好問題。

在建構的這兩類基本模型之上，可以對基本模型進行適當的拓展，拓展到分數、小數的“解決問題”；也可以通過條件的間接化，對“解決問題”進行拓展，拓展到多步的“解決問題”。

例如對“方方有12本故事書，8本科技書。她共有幾本書？”拓展到：“方方有8本科技書，她又買了3次故事書，每次買了4本。她共有幾本書？”借助下面的線段圖分析：

可以知道求共有幾本書，就是把故事書與科技書合并，而故事書沒有直接說幾本，那么首先要求出故事書的本數，基本模型還是把兩個部分數進行合并。對于這樣的求總數的基本模型，還可以進行其他的拓展，借助線段圖，可以將各類“解決問題”收于基本模型之下。對于其他的基本應用模型也可以借鑒求總數，求部分的解決問題方式進行建構。

雖然教材中線段圖出現的次數并不多，但作為一線教師卻要重視和加強線段圖輔助解決問題的有關教學。在教學過程中，要注意循序漸進，適當運用，把線段圖作為一種解決問題的輔助策略教學，作為學生解決問題的基本能力來培養，真正揚起線段圖之帆，啟應用模型之航，使線段圖真正成為學生解決問題的好助手。

（作者單位：浙江省玉環縣古順學校 317604）

責任編輯：金錫萍