基于響應面法的轎車主減速齒輪可靠性靈敏度研究

梁明軒　 王曉林 　袁惠群 　于印鑫

1. 中國計量學院, 杭州, 310018　2. 東北大學, 沈陽, 110819 3.昆明理工大學， 昆明，650500

基于響應面法的轎車主減速齒輪可靠性靈敏度研究

梁明軒1王曉林1袁惠群2于印鑫3

1. 中國計量學院, 杭州, 3100182. 東北大學, 沈陽, 110819 3.昆明理工大學， 昆明，650500

摘要：為獲得某轎車主減速齒輪尺寸參數對其傳動可靠性的影響，提出采用改進拉丁超立方抽樣(LHS)獲取隨機尺寸樣本的方法；通過顯式有限元仿真構建齒面最大接觸應力完全二次響應面(RSM)，研究了可靠度對參數的靈敏度。結果表明主減速齒輪可靠度對壓力角和模數的均值與方差較為敏感，應合理控制其取值。

關鍵詞：主減速齒輪；改進拉丁超立方抽樣；完全二次響應面；可靠性靈敏度

0引言

汽車變速器是影響汽車性能的關鍵部件之一，其內部主減速齒輪副處于常嚙合狀態，承受著整車的全部驅動負載，且工況復雜多變，一旦出現故障不容易替換，該齒輪副的動力穩健性將會直接影響到整車的耐久性和可靠性等性能指標[1-3]。影響齒輪副接觸應力的因素有很多，采用蒙特卡羅(MonteCarlo)模擬齒輪接觸應力分布時，需將不確定因素作為隨機變量建立概率模型，此時樣本抽樣方法對于近似響應面模型的建立至關重要[4]。近20年來，拉丁超立方抽樣方法已廣泛應用于預測模式的參數不確定性分析中[5-7]。為了用較少的樣本有效地估計響應變量的均值，McKay等[5]提出了中值拉丁超立方抽樣(medianLatinhypercubesampling,MLHS)方法，它可以在抽取較少樣本的情況下，獲得較高的計算精度。Jirutitijaroen等[6]提出了含隨機排序法的拉丁超立方抽樣(LHSwithrandompermutation,LHSRP)方法，該方法需要準備足夠數量的素數并考慮素數的根逆轉換，以上方法均沒有考慮抽樣參數的概率分布尾部特征。

目前，機械零件可靠性靈敏度分析大多以單個一體化結構的振動響應量作為極限狀態函數[8-11]，對于含有齒輪耦合接觸非線性的可靠度靈敏性分析在文獻中鮮見。文獻[8]采用不含交叉項的純二次多項式響應面法對翼梁結構的強度可靠度進行計算，獲得了機翼腹板和上下緣線等基本變量參數對結構的可靠性靈敏度。文獻[9]將6σ可靠性方法與協同優化相結合研究了汽車車橋輕量化問題，表明協同優化方法得到的最優解提高了系統的可靠性。王新剛等[10]重點考慮零件可靠度和失效率受變載荷和強度退化的影響，分析了管形截面扭桿在時變載荷作用下的動態可靠性靈敏度。

事實上，由于設計公差、制造誤差和嚙合磨損等因素影響，汽車主減速齒輪副尺寸分布具有一定的隨機性，此時按確定性設計的齒輪副仍有可能發生疲勞失效。為體現參數分布的重要性，本文首先改進了LHS抽樣，利用顯式動態有限元程序仿真獲得了不同參數樣本下主減速齒輪副嚙合三維接觸應力，從而構建了齒面接觸極限狀態完全二次多項式顯式響應面，計算了主減速齒輪副在隨機尺寸參數影響下的可靠度，并對影響嚙合可靠性的基本隨機變量的靈敏度進行了分析，該方法和研究結果能較好地用于轎車主減速齒輪副結構優化。

1改進的拉丁超立方重要性抽樣

x1,in=Fi-1((n-0.5)/N)

(1)

采用子區間隨機抽樣的LHSRP法樣本點x2,in可表示為

x2,in=Fi-1(ri,n/N+(n-1)/N)

(2)

式中，ri,n為[0,1]內的獨立偽隨機數，n=1,2,…,N。

當采用LHIS法抽樣時，抽取概率密度曲線期望左邊子區間的右邊界點，抽取期望值右邊子區間的左邊界點，這樣就保證抽取更多的期望值附近樣本點，更接近實際樣本分布特征，其樣本點x3,in可以表示為

(3)

采用MLHS法、LHSRP法和LHIS法的抽樣過程如圖1a和圖1b所示，對于樣本Xi服從期望為4、標準差為2的正態分布的6次抽樣結果如圖1c和圖1d所示。可以看出MLHS法和LHSRP法抽樣更側重于在子區間內取點，體現了“分層”的思想，而LHIS法的關鍵在于選取子區間內趨近期望值的邊界頂點，兼顧了“分層”和“重要性”的思想，從而使抽樣結果能更好地體現樣本實際分布，具有較高的收斂性。

(a)MLHS、LHSRP法概率分布曲線

(b)LHIS法概率密度曲線

(c)MLHS、LHSRP法的抽樣結果(d)本文LHIS法的抽樣結果圖1　MLHS、LHSRP和LHIS方法的樣點比較圖

2主減速齒輪三維嚙合應力響應面

2.1響應面模型理論

響應面法(responsesurfacemethodology,RSM)是通過一系列確定性的試驗擬合一個響應面來模擬真實極限狀態曲面的方法。響應面法作為經典的代理模型方法包括線性響應面、加權非線性響應面、高精度響應面以及Kriging響應面等[11-12]，本文采用顯式完全二次多項式響應面擬合隱式極限狀態函數，便于通過求可靠度顯式表達式的偏導數獲得系統的可靠性靈敏度。假設n維隨機輸入變量x和響應向量y之間具有如下近似關系：

(4)

式中，a0、ai、aij(i=1,2，…,n; j=i,i+1,…,n)為待定系數。

對輸入變量x的k個樣本值(x1,x2,…,xk)進行仿真試驗，得到k個響應量(y1,y2,…,yk)，則樣本點試驗值與近似響應面值之間的誤差可以表示為

(5)

利用最小二乘法對式(5)進行回歸分析，使誤差項最小，則可以得到

(6)

通過對式(6)進行求解可以得到系統基本隨機變量和結構響應值的近似關系式中各系數的估計值，從而得到響應面函數的顯式表達式。

2.2基于顯式有限元法的齒輪嚙合仿真

某型國產變速器主減速器輸入齒輪齒數z1=15，輸出齒輪齒數z2=65，一擋工況輸入轉速w=95.993 rad/s，額定扭矩T=1545.818N·m。在主減速齒輪副的尺寸范圍內，假設齒寬、螺旋角、壓力角和模數服從正態分布，各變量的取值全部集中在[μ-3σ, μ+3σ]，樣本分布均滿足3σ準則，其均值和標準差如表1所示。

表1　主減速齒輪尺寸變量均值和標準差

齒面出現最大接觸應力是齒輪出現點蝕失效的直接原因，為了構建接觸應力響應面模型，首先利用LHIS法對主減速齒輪副尺寸隨機變量進行抽樣，得到仿真樣本點，利用ABAQUS/Explicit顯式動態有限元程序仿真得到每組樣本點齒面最大接觸應力值。

圖2為某型主減速齒輪副有限元模型，分別在兩齒輪軸心建立參考點RP-1與RP-2，建立如圖2所示坐標系，將齒輪內圈與參考點完全耦合，通過參考點施加邊界條件和載荷，約束參考點x、y、z方向位移以及繞x、y軸的旋轉，保留繞z軸旋轉自由度；在RP-1點上施加轉速ω，在RP-2上施加負載扭矩T，仿真時間為20 ms，取齒面最大應力作為響應真實值。

圖3為樣本初始取值時齒面最大接觸應力云圖，可以看出在動態嚙合過程中齒面最大接觸應力為947.62 MPa。

圖 2　ABAQUS/Explicit中主減速齒輪有限元模型

圖 3　初始樣本值下齒輪接觸應力云圖

利用式(4)～式(6)進行數據回歸分析可以得到主減速齒輪副接觸應力響應面模型，其系數如表2所示。

表2　響應面函數系數項

3主減速器齒輪嚙合可靠性及靈敏度分析

3.1可靠性分析及可靠度

假設Pmax為主減速器齒輪副齒面許用接觸應力強度因子，G(X)是接觸狀態響應面函數，齒輪接觸存在兩種狀態：G(X)≥Pmax失效狀態；G(X)

μG=E(G(X))=μG(μ1,μ2,…,μk,D1,D2,…,Dk)

(7)

DG=D(G(X))=DG(μ1,μ2,…,μk,D1,D2,…,Dk)

(8)

由此可以得到狀態函數的可靠性指標表達式為

(9)

對于任意分布的狀態函數可以采用蒙特卡羅法模擬得到其分布特征參數，若G(X)服從正態分布，則系統可靠度可表示為R=ψ(β)，其中ψ(·)為標準正態分布[10]。取設計要求的主減速齒輪嚙合極限接觸強度因子Pmax=985 MPa。圖4為利用蒙特卡羅法通過2000次模擬得到的主減速齒面最大接觸應力響應狀態函數G(X)概率直方圖和正態概率圖。從圖4可以看出G(X)服從正態分布，得到狀態函數均值和標準差為：μG=949.4799 MPa，σG=351.6672 MPa。通過式(9)計算得到β=2.70，從而得到其可靠度R=0.9965。

(a)狀態函數G(X)概率直方圖

(b)狀態函數G(X)正態概率圖圖 4　主減速齒輪副最大接觸應力函數概率分布圖

3.2主減速器接觸可靠性靈敏度分析

參數的靈敏度分析是確定各參數對模式預測結果的貢獻大小，均值靈敏度反映了樣本均值大小對可靠性的影響程度，方差靈敏度反映了樣本參數波動性對可靠性的影響程度，它有利于在進一步的研究過程中有效減小模式預測參數的不確定性程度。主減速齒輪接觸強度可靠度對基本隨機變量的均值和方差的靈敏度為

(10)

(11)

利用式(10)和式(11)將μG和DG對矩陣μ和D中各元素求偏導數，略去求解過程，得到

4結論

(1)利用改進的拉丁超立方抽樣對某型主減速齒輪副基本結構尺寸進行了抽樣，采用完全二次多項式顯式響應面法對其接觸可靠性進行了分析。

(2)在主減速齒輪副基本尺寸樣本服從正態分布的情況下，由蒙特卡羅法模擬得到的最大齒面接觸應力服從正態分布。主減速齒輪副模數分布是影響其可靠性的最主要因素；壓力角和模數均值的增大會降低其接觸可靠度，齒寬和螺旋角的增大會增大其可靠度；基本尺寸隨機波動對其接觸可靠性影響相對較小。該方法可為轎車主減速齒輪嚙合傳動優化設計提供參考。

參考文獻：

[1]Rao S S, Tjandra M .Reliability-based Design of Automotive Transmission Systems[J]. Reliability Engineering & System Safety, 1994, 46(2): 159-169.

[2]李昌, 韓興. 基于響應面法齒輪嚙合傳動可靠性靈敏度分析[J]. 航空動力學報, 2011, 26(3): 711-715.

Li Chang, Han Xing. Analysis of Reliability Sensitivity for Gear Engagement Based on Response Surface Methods[J]. Journal of Aerospace Power, 2011, 26(3): 711-715.

[3]尚蛟, 馮慧華, 魯守衛, 等. 轎車變速器主減速器齒輪副動態性能仿真[J]. 振動工程學報, 2010, 23(6): 665-669.

Shang Jiao, Feng Huihua, Lu Shouwei. et al. Simulation Research on Dynamic Performance for Gear Pair of Main Gear Box in Transmission of a Car[J]. Journal of Vibration Engineering, 2010, 23(6): 665-669.

[4]Hosseini S A A, Khadem S E. Vibration and Reliability of a Rotating Beam with Random Properties under Random Excitation[J]. International Journal of Mechanical Sciences, 2007, 49(12): 1377-1388.

[5]Mckay M D, Beckman R J, Conover W J. A Comparison of Three Methods for Selecting Values of Input Variables in the Analysis of Output from a Computer Code[J]. Technometrics, 1979, 21(2): 239-245.

[6]Jirutitijaroen P, Singh C. Comparison of Simulation Methods for Power System Reliability Indexes and Their Distributions[J]. IEEE Transactions on Power Systems, 2008, 23(2): 486-493.

[7]Echard B, Gayton N, Lemaire M. AK-MCS: an Active Learning Reliability Method Combing Kriging and Monte Carlo Simiulation[J]. Structural Safety, 2011, 33(2): 145-154.[8]高宗戰, 劉志群, 姜志峰, 等. 飛機翼梁結構強度可靠性靈敏度分析[J]. 機械工程學報, 2010, 46(14): 194-198.

Gao Zongzhan, Liu Zhiqun, Jiang Zhifeng, et al. Strength Reliability and Parameter Sensitivity Analysis for Airfoil Spar Structure[J]. Journal of Mechanical Engineering, 2010, 46(14): 194-198.

[9]姜武華, 王其東, 何煒, 等. 基于可靠性的車橋結構多學科優化[J]. 汽車工程, 2012, 34(12): 1136-1140.

Jiang Wuhua, Wang Qidong, He Wei, et al. Reliability-based Multidisciplinary Optimization of Vehicle Axle Structure[J]. Automotive Engineering, 2012, 34(12): 1136-1140.

[10]王新剛, 張義民, 王寶艷. 機械零部件的動態可靠性靈敏度分析[J]. 機械工程學報, 2010,46(10): 188-193.

Wang Xingang, Zhang Yimin, Wang Baoyan. Dynamic Reliability Sensitivity Analysis of Mechanical Components[J]. Journal of Mechanical Engineering, 2010,46(10): 188-193.

[11]呂震宙, 宋述芳, 李紅雙, 等. 結構機構可靠性及可靠性靈敏度分析[M]. 北京: 科學出版社, 2009.

[12]呂震宙, 趙潔, 岳珠峰. 機械可靠性分析的高精度響應面法[J]. 應用數學和力學, 2007, 28(1):16-24.

Lü Zhenzhou, Zhao Jie, Yue Zhufeng. Advanced Response Surface Method for Mechanical Reliability Analysis[J]. Applied Mathematics and Mechanics, 2007, 28(1):16-24.

(編輯王艷麗)

ReliabilitySensitivityforMainReductionGearsofaCarBasedonResponseSurfaceMethods

LiangMingxuan1WangXiaolin1YuanHuiqun2YuYinxin2

1.ChinaJiliangUniversity,Hangzhou， 3100182.NortheasternUniversity,Shenyang,1108193.KunmingUniversityofScienceandTechnology,Kunming,650500

Abstract：In order to obtain the effects of size parameters on reliability of the main reduction gears in a car, an improved LHS was presented to acquire the random size samples. The full quadratic RSM of the maximum contact stress on tooth surface was built through explicit finite element simulations to study reliability sensitivity to the key parameters. The results show that the mean and variance of pressure angle and modulus which are more sensitive to reliability of the gears must be selected reasonably in design stage.

Key words：main reduction gear; improved Latin hypercube sampling; full quadratic response surface model; reliability sensitivity

收稿日期：2015-05-04

基金項目：國家高技術研究發展計劃(863計劃)資助項目(2012AA040104);浙江省“儀器科學與技術”重中之重學科開放基金資助項目

中圖分類號：TK122

DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2016.04.023

作者簡介：梁明軒，男，1986年生。中國計量學院機電工程學院講師。研究方向為齒輪箱傳動系統動力學及其可靠性、轉子系統非線性動力學及振動控制。發表論文6篇。王曉林，男，1957年生。中國計量學院機電工程學院教授。袁惠群，男，1954年生。東北大學理學院教授、博士研究生導師。于印鑫，男，1983年生。昆明理工大學機電工程學院講師。