線性空間表為象空間與核空間之和的充要條件

湯　傲，周　唯，胡付高

(湖北工程學院 數學與統計學院，湖北 孝感 432000)

線性空間表為象空間與核空間之和的充要條件

湯傲，周唯，胡付高*

(湖北工程學院 數學與統計學院，湖北 孝感 432000)

摘要：以象空間與核空間的性質為基礎，研究了線性空間表為象空間與核空間之和的充分必要條件，討論了它的若干用例。

關鍵詞：線性空間；線性變換；象空間；核空間；直和

設σ是n維線性空間的一個線性變換，文獻[1]中指出，雖然σ的值域σV與核σ-1(0)的維數之和為n，但是這兩個子空間之和σV+σ-1(0)并不一定是整個空間，這個結論可由下面的例子看出。

引例[1]在線性空間V=F[x]n中，定義微分變換

τ(f(x))=f'(x)

(1)

則由(1)確定的線性變換τ的值域是F[x]n-1，而τ的核是F，于是

τV+τ-1(0)=F[x]n-1≠V

另一方面， 對于有限維線性空間的線性變換σ而言，根據

dimσV+dimσ-1(0)=dimV

(2)

(3)

可得下面結論:

命題1設σ是有限維線性空間的線性變換，則

σV+σ-1(0)=V

(4)

成立的充分必要條件是

(5)

命題1表明，對于值域與核而言，(4)和(5)是等價的。換言之，線性空間能表為值域與核之和的充分必要條件是它們的和為直和。

文獻[2-4]研究了值域與核構成直和的某些條件，這些條件大多是充分條件，文獻[3]雖然給出了幾個充分必要條件，但都是較為繁瑣的，不方便檢驗與應用。另外，文獻[5-10]也討論了一些與值域和核的相關問題及性質。

本文給出了將研究線性空間表為值域與核之和的較為簡潔的充分必要條件，提供了一些應用實例。

1引理與基本結論

為討論的方便，這里先對矩陣的象空間與核空間進行研究。

定義2[2-3]設A∈Mn(F)，記Fn的兩個線性子空間

(6)

(7)

由(6)確定的子空間U稱為矩陣A的象空間，由(7)確定的子空間N稱為矩陣A的核空間。

易知dimU=rank(A)，dimN=n-rank(A)。

引入記號:

(8)

(9)

易知U=U1，N=N1。

首先，給出矩陣A的各次方冪Ai的核空間Ni及象空間Ui的包含關系。

引理3對任何i=1，2，3，…，都有

Ni?Ni+1

(10)

Ui?Ui+1

(11)

其中Ui，Ni由(8)與(9)所定義。

證明根據Ni與Ui的定義即知。

引理4對任何A∈Mn(F)，一定存在最小正整數k，使得

rank(Ak)=rank(Ak+1)=rank(Ak+2)=…

(12)

證明易知矩陣的秩rank(Ak)，rank(Ak+1)，rank(Ak+2)，…都是非負整數，且有下面的不等式

n≥rank(A)≥rank(A2)≥rank(A3)≥…≥0

故存在最小正整數k，使rank(Ak)=rank(Ak+1)，根據矩陣秩的Frobenius不等式，得

rank(Ak+2)=rank(A.Ak.A)

≥rank(A.Ak)+rank(Ak.A)-rank(Ak)

=rank(Ak)

又顯然有rank(Ak+2)≤rank(Ak)，故得rank(Ak+2)=rank(Ak)，用歸納法可證得

rank(Ak)=rank(Ak+1)=rank(Ak+2)=…即得(12)成立，引理4得證。

命題5若rank(Ai)=rank(Ai+1)，則

Ni=Ni+1，Ui=Ui+1

證明 若rank(Ai)=rank(Ai+1)=r，考察下面的兩個線性方程組

AiX=0

(13)

Ai+1X=0

(14)

由于方程組(13)的解空間一定是(14)的解空間的子空間，且它們的基礎解系中所含線性無關的解向量都是n-r個，故它們具有相同的基礎解系，因而Ni=Ni+1，類似可證Ui=Ui+1。

推論6若rank(Ai)=rank(Ai+1)，則

Ni=Ni+1=Ni+2=…

Ui=Ui+1=Ui+2=…

證明由引理4和命題5即得。

命題7設A∈Mn(F)，則下列條件等價:

(1)rank(Ai)=rank(Ai+1)；

(2) Ni=Ni+1；

(3) Ui=Ui+1。

2主要結果

對于A∈Mn(F)，分別由(6)和(7)確定的象空間U與核空間N都是Fn的子空間，則有

定理8設A∈Mn(F)，則A的象空間U與核空間N使得

Fn=U⊕N

(15)

成立的充分必要條件是

rank(A)=rank(A2)

(16)

證明 (充分性)若(16)成立，對于?β∈U∩N，則Aβ=0，且存在α∈Fn，使得β=Aα，于是A2α=0，由于rank(A)=rank(A2)，故線性方程組AX=0與A2X=0同解，于是

A2α=0?Aα=0

dim(U+N)=dimU+dimN

=rank(A)+n-rank(A)

=n

而U+N為Fn的子空間，且維數都是n，故Fn=U+N，于是(15)成立。

(必要性)若(15)成立，對?η∈U，根據矩陣象空間的定義，存在ξ∈Fn，使η=Aξ，又設ξ=α+β，α∈U，β∈N，則

η=Aξ=Aα+Aβ=Aα

由于α∈U，得η=Aα∈U2，即η在A2的象空間中，即U=U1?U2，由引理3知U2?U1， 故得U2=U1，因此

rank(A2)=dimU2=dimU1=rank(A)

于是(16)成立，定理得證。

該結論用線性變換的語言表述就是

推論9設σ是n維線性空間V的線性變換，則

V=σV+σ-1(0)

(17)

的充分必要條件是

rank(σ)=rank(σ2)

(18)

證明取線性空間V的一組基e1，e2，…，en，設線性變換σ在此基下的矩陣為A。在取定的這組基下，V中向量與它的坐標之間的映射f是V到Fn的一個同構映射，此時在f對應下，線性空間V的象為Fn，值域σV的象為矩陣A的象空間U，核σ-1(0)的象為矩陣A的核空間N。于是(17)式成立的充要條件是(15)式成立，而rank(σ)=rank(A)，rank(σ2)=rank(A2)。

故(17)式成立當且僅當(18)式成立，推論9得證。

根據定理8與推論9，即得下面的推論。

推論10設σ是n維線性空間V的線性變換，如果σ在V的一組基下的矩陣是A，則(17)成立的充分必要條件是

rank(A)=rank(A2)

(19)

推論11復數域上矩陣A的象空間與核空間為直和的充分必要條件是A的若當標準形中，特征值為零的若當塊都是一階的。

3應用舉例

把定理8、推論9及推論10應用于一些特定的矩陣或線性變換，可得到一些常見命題，參見以下例子。

例1對于冪等矩陣A，它的兩個特征子空間

(20)

(21)

有Fn=V1⊕V0。

例2對于對合矩陣A，它的兩個特征子空間

(22)

(23)

有Fn=V1⊕V-1。

證明因為A2=E，可以仿例1證明矩陣E-A的核空間就是V1，而E-A的象空間就是V-1，并且rank(E-A)=rank(E-A)2，故Fn=V1⊕V-1。

這兩個例子說明，冪等矩陣與對合矩陣的特征子空間的性質，可以用核空間與像空間理論進行一種新的解釋。

例3設A相似于對角矩陣，則Fn=U⊕N。證明設A相似于對角矩陣，故rank(A)=rank(A2)，根據定理8即得結論成立。

例4設A可逆， 此時rank(A)=rank(A2)=n， 核空間為零空間，而象空間就是，結論顯然成立，此結論是平凡的。

上述例子表明有相當多類型的矩陣，它們的核空間與象空間互為余子空間。

最后回到引言中的引例，該例子是幾乎所有代數教材中都引用的經典之例，可以用本文中的推論10給出一個很好的解釋，即

例5在線性空間V=F[x]n中，定義微分變換

τ(f(x))=f'(x)

取F[x]n的一組基1，x，x2，…，xn-1， 則τ關于該基的矩陣是

由于rank(A)=n-1，rank(A2)=n-2，故對于微分變換τ而言，有

τF[x]n+τ-1(0)≠F[x]n

4方冪的像空間與核空間

雖然對一般方陣或線性變換而言，它的象空間和核空間是直和，但一定有定理12。

定理12設A∈Mn(F)，則一定存在最小正整數k，使得

Fn=Uk⊕Nk

(24)

并且對任何i≥k，都有

Fn=Ui⊕Ni

(25)

證明根據引理4，一定存在最小正整數k，使得

rank(Ak)=rank(Ak+1)=rank(Ak+2)=…此時rank(Ak)=rank(A2k)，由定理8，得，

對任何i≥k，都有rank(Ai)=rank(A2i)， 故有Fn=Ui⊕Ni。

該結論用線性變換的語言表述就是

推論13設V是n維線性空間，σ∈L(V)，則一定存在最小正整數k，使得

V=σkV⊕(σk)-1(0)

(26)

并且對任何i≥k，都有

V=σiV⊕(σi)-1(0)

(27)

例6設有若當矩陣

易知rank(A)≠rank(A2)，但rank(A2)=rank(A3)，由定理8，得

Pn≠U+N

但是

Pn=U2⊕N2=U3⊕N3=…

上例表明，對于一般矩陣，可以通過求出它的若當標準形，就能得到定理12中的最小正整數k。同樣可以舉出線性變換之例，限于篇幅，這里不再贅述。

[參考文獻]

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(責任編輯：張凱兵)

Necessary and Sufficient Conditions of Linear Space Expressed by Direct Sum of Image and Kernel Space

Tang Ao，Zhou Wei，Hu Fugao

(SchoolofMathematicsandStatistics,HubeiEngineeringUniversity,Xiaogan,Hubei432000,China)

Abstract：According to the properties of image and kernel space, the necessary and sufficient conditions are discussed that the linear space can be expressed by the direct sum of image and kernel space. Moreover, several examples are cited by using these conditions.

Key Words：linear space; linear transformation; image space; kernel space; direct sum

收稿日期：2016-02-03

基金項目：湖北工程學院教研項目(2013028);湖北工程學院創新團隊項目(201501)

作者簡介：湯傲(1994-),男,湖北武漢人,湖北工程學院數學與統計學院學生。

中圖分類號：O151.21

文獻標志碼：A

文章編號：2095-4824(2016)03-0110-04

胡付高(1964-),男,湖北大悟人,湖北工程學院數學與統計學院教授，本文通信作者。