少學時《線性代數》課程教學的研究與實踐

趙偉舟+王惠珍

【摘 要】文科學員和專科學員開設《線性代數》課程，常因授課學時較少和學員基礎薄弱導致課堂教學的諸多問題。為解決這些問題，本文從教學內容、教學法和教學手段、教學模式和實驗教學等四個方面，進行了整合內容、創新教學法、改革傳統教學模式以及組織實驗教學的思考與實踐。結果表明，針對少學時《線性代數》課程的相關做法，不僅能在有限學時內高效完成教學任務，而且符合新時期大學教育的人才培養要求。

【關鍵詞】線性代數 教學法 教學模式 實驗教學

【中圖分類號】G42 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2016）14-0033-02

1.引言

《線性代數》課程是工科院校的重要基礎課，主要以矩陣為工具研究線性空間。考慮到矩陣的實際應用以及人才培養需要，不少院校在文科專業或專科學員中也開設了這一課程。但是，文科學員、專科學員與理工類專業的本科生具有一定差別，主要體現在兩個方面：專科學員在校時間短導致教學時間不可能太長；文科學員常因數學課程開設較少而導致基礎不夠扎實。因此在這些學員中開設《線性代數》課程，必須“以少學時、弱基礎為前提，初步理解并掌握矩陣這一工具”為基本教學目標。鑒于上述特點，《線性代數》課程無論是教學內容、教學法和教學手段、教學模式和實驗教學等方面都需作相應調整。

2.研究與實踐

目前使用的多數《線性代數》教材共五章[1-3]，分別是行列式、矩陣、線性方程組、向量組和二次型。以筆者曾承擔的本科課程為例，規定36學時完成《線性代數》教學任務，具體分配如上面表1所示。但是對專科學員、文科學員以及其它層次的培訓，仍以筆者所在單位的專科學員為例，規定授課僅20學時，顯然很難完成所有教學內容。因此需要對教學內容重新整合。另一方面，考慮到專科學員、文科學員的數學基礎以及課程設置的具體目標，還需從教學法和教學手段、教學模式和實驗教學等方面重新組織以改善少學時的授課效果。

2.1教學內容

為突出矩陣這一工具，可將理論授課內容分為矩陣、向量組和實際應用三個模塊，其中向量組實質上是特殊形式的矩陣（列矩陣、行矩陣）形成的集合。在矩陣這一模塊，主要包括矩陣的引入、乘積運算、逆矩陣和矩陣的秩。考慮到矩陣的線性運算（加、數乘）較為簡單，因此對矩陣的這些運算可簡單講解；考慮到逆矩陣的實際應用，重點講解定義和計算方法；考慮到矩陣的秩的后續應用，因此要求熟練掌握秩的定義及求法。在向量組教學中，主要講解向量組的概念、線性相關性和向量組的秩。具體到線性相關性教學，考慮到向量組和其最大無關組的實用性，有針對性地對部分理論進行補充講解。具體到向量組的秩的教學，可以只討論最大無關組的定義和求法。在應用模塊，主要討論線性方程組解的判定和求法。考慮到行列式求解線性方程組的局限性，可將Cramer法則略去。剩余學時主要用于線性代數實驗教學，主要包括矩陣的輸入、常見命令的使用方法、線性方程組的求解等。通過對教學內容的整合處理，可以有效縮短授課學時，其具體時間分配如表2所示。

2.2教學法和教學手段

教學法對授課效果起著至關重要的作用，根據內容特點選取合適的教學法通常可以突出重點、突破難點，但是傳統教學法過分依賴于說教講授、重知識輕能力，不利于培養學員的創新精神。改革傳統的教學方法，調動學習的主動性和積極性，注重能力和素質培養，是當前高校教育教學改革的重要課題之一[4]。

對文科學員和專科學員，枯燥的數學推導很難激發這些學員的學習興趣，因此《線性代數》課程在教學法上應更顯靈活，并鼓勵使用各種特色教學法。例如盡量采用案例法、類比法、問題牽引法教會學員應用矩陣的具體方法，避免借助嚴格的邏輯推導組織課堂教學。采用靈活的教學法，主要是培養學員的分析興趣，使學員在解決實際問題時能形成一定的數學思維習慣，以達到條理清楚、思維明晰的目標。例如矩陣的運算這一知識點，傳統教學方法直接給出運算規則，一方面學員無法理解引入運算的必要性，另一方面對運算的實際應用知之甚少，其教學可能使多數學員掌握了運算方法，但從推廣應用角度并不理想。因此在教學實施時采取案例式教學，引導學員思考如何將兩幅圖像通過線性運算生成質量更好的圖像。理論講授矩陣運算的同時，借助計算機編程實現圖像的運算，用圖像信息直觀反映運算結果，讓學員體會數學的實用性；在矩陣的初等變換教學上，傳統教學直接給出初等變換的定義，學員很難意識到這一變換的必要性和重要性，通過對消元和矩陣變換進行類比式教學，學員從線性方程組的廣泛應用能體會出初等變換的重要性，自然能引起對知識的重視程度。在向量組的秩的教學中，最大無關組是非常抽象的數學概念，采用問題牽引法，從如何獲得精簡數據到最大無關組，逐步引導學員理解基本概念和具體方法。

在教學手段上主要采取多媒體和板書相結合，盡可能直觀地展示各種數據、資料等素材，從視覺上激發學員的學習興趣和數學思維。

2.3教學模式

傳統教學主要以知識傳承為目標，形式上以“教員理論講授、學員被動接受”為主，其問題根源在于教學對象人數較多，教員難以開展以學員為主體的教學嘗試，有時即使開展了相應的嘗試，但常因時間、地點無法獲得客觀的檢測效果導致了理論研究難于在實踐中進行改進和深化。

考慮到專科學員和文科學員通常是小班教學，因此在教學模式上可以打破傳統的教學模式。教學中鼓勵學員談想法、談體會，鼓勵學員上臺試講，從學員角度談對線性代數知識的理解情況，鼓勵學員形成小組協作完成課程教學各種類型的設計題目。不僅是《線性代數》課程，其它任一課程都不可能在有限時間內完成某一領域所有問題的研究，實際中碰到的新問題，最終還是需要學員通過一系列自覺行為，自主式尋找解決方案。合適的教學模式不僅能改善課堂效果，更重要地是在發現知識的過程中可以培養學員的各種能力。正如前面所言，《線性代數》中的矩陣是研究線性空間的重要工具，因此在教學模式的選擇上，應當以授之學員“矩陣”這一工具為目標，同時輔以培養學員的綜合能力。結合該課程的特點，可以采用“四聯交互式”這一教學模式[5-6]。通過這一教學模式的實施，逐漸培養學員的觀察、探索、整合和實踐能力。因此在小班《線性代數》課程教學中，盡量體現學員的主動行為，整個過程以“教員引導、學員操作”的互動形式推進教學。

2.4實驗教學

與其它課程例如物理、化學的實驗教學不同，《線性代數》課程的實驗教學主要是教員引導學員，使用計算機培養其操作能力，學員根據實際問題的需要將其轉化為數學問題，并通過設計算法、編寫代碼、運行調試等過程解決問題。結合該課程的教學目標要求，這里的實驗內容主要是針對應用模塊進行的，學時安排為4個學時。為提高學員對該課程基本知識的綜合應用能力，實驗教學通常設置在學期末進行，按實驗內容可分為兩個部分：Matlab基礎知識和相關知識點的Matlab實現。通過實驗教學，要求學員能對課程內容借助Matlab命令或編寫程序進行實現，包括基本命令調用、m文件編寫以及GUI界面編程等。在具體組織實驗教學時，教員可根據學員的掌握情況進行實例方面的知識補充。另一方面，在進行理論教學時，也可由學員或小組攜帶計算機配合教學，而學期末的實驗教學可在實驗室或計算機房組織。針對專科學員、文科學員的實際情況，結合《線性代數》的課程內容，其實驗教學如表3所示。

3.結論

專科學員和文科學員進行《線性代數》課程教學，需要打破傳統意義上的理論講授，重新組織各個教學環節。只有對學員的情況充分了解，對人才培養的目標足夠認識，對開放教學深入思考，才能在有限學時內順利開展《線性代數》課程教學，有效改善少學時《線性代數》課程教學的課堂效果。筆者在所承擔教學的班級里，按照上面整合的內容、改革的教學模式、設計的實驗教學等進行了兩個學年的教學實踐，不僅在有限時間內順利完成了教學任務，而且多數學員在學習過程中對矩陣的應用有了更深的理解。單純從整合內容來看，同樣適用于各教育機構對《線性代數》課程的短期培訓教學。尤為重要的是，通過實驗教學，學員除了能借助計算機對所學知識進行驗證性實驗，能在一定程度上解決與矩陣有關的實際問題，更與學校課程標準要求的“文科學員和專科學員能夠掌握應用線性空間理論的基本方法”和人才培養目標高度一致。

參考文獻：

[1]同濟大學數學系. 工程數學：線性代數（第5版）[M]. 北京：高等教育出版社，2007.

[2]吳贛昌.線性代數[M]. 北京：中國人民大學出版社，2011.

[3]李炯聲，查建國，王新茂. 線性代數[M].北京：中國科學技術大學出版社， 2010.

[4]藺永誠，劉箴. 參與式教學法----高校課堂教學中值得推行的教學方法[J]. 長沙鐵道學院學報（社會科學版），Vol.10，No.1，2009.03：107-108.

[5]趙偉舟，張輝，景慧麗. 淺談“四聯交互式”教學[J]. 南昌教育學院學報，2014.2：：80-82.

[6]趙偉舟，屈娜. 四聯交互式教學應用于大學數學類課程的探索與實踐[J]. 數學理論與應用，2013.12：115-119.

學校教學成果獎培育項目

作者簡介：

趙偉舟（1977-），男，陜西長安人，第二炮兵工程大學理學院，講師。（陜西 西安 710025）

王惠珍（1965-），女，山西永濟人，第二炮兵工程大學理學院，副教授。（陜西 西安 710025）