強α-弱對稱環

薛　嶺，王　堯，任艷麗

(1.南京信息工程大學數學與統計學院，江蘇 南京 210044；2.南京曉莊學院數學與信息技術學院，江蘇 南京 211171)

強α-弱對稱環

薛嶺1，王堯1，任艷麗2

(1.南京信息工程大學數學與統計學院，江蘇 南京 210044；2.南京曉莊學院數學與信息技術學院，江蘇 南京 211171)

[摘要]引進了強α-弱對稱環的概念并研究其基本性質，討論了強α-弱對稱環與弱對稱環、強α-弱半交換環等相關環的關系，給出強α-弱對稱環的一些擴張性質，得到了判定強α-弱對稱環的幾個充要條件.

[關鍵詞]強α-弱對稱環;強α-弱半交換環;弱α-相容環;NI環;斜多項式環

1預備知識

本文討論的環R都是有單位元的結合環，α是環R的一個非零自同態.稱一個環R為α-rigid環，是指對任意的r∈R，由rα(r)=0可以推出r=0；稱R為約化環，是指R沒有非零冪零元；稱R為對稱環，是指對任意的A，b，c∈R，由abc=0可以推出acb=0；稱R為可逆環，是指對任意的A，b∈R，由ab=0可以推出ba=0；稱R為半交換環，是指對任意的A，b∈R，由ab=0可以推出aRb=0.

α-rigid環是約化環，約化環是對稱環，對稱環是可逆環，可逆環是半交換環.如果將α-rigid環、對稱環、可逆環和半交換環的概念按某些方向進行推廣，可以得到一系列新的環.例如，稱一個環R是弱α-rigid環，如果對任意的A∈R，由aα(A)∈nil(R)可以推出A∈nil(R)；稱一個環R是弱對稱環，如果對任意的A，b，c∈R，由abc∈nil(R)可以推出acb∈nil(R)；[1]稱一個環R是詣零半交換環，如果對任意的A，b∈R，由ab∈nil(R)可以推出aRb?nil(R)；稱一個環R是α-相容的，如果對任意的A，b∈R，ab=0，當且僅當aα(b)=0；稱一個環R是弱α-相容環，如果對任意的A，b∈R，ab∈nil(R)，當且僅當aα(b)∈nil(R).此外，文獻[2-3]分別研究了具有弱對稱自同態的環和具有自反自同態的環.

近年來，許多文章討論具有其他自同態性質的環.Kwak[4]稱一個環R的自同態α是右(左)對稱的，如果對任意的A，b，c∈R，由abc=0可以推出acα(b)=0(α(b)ac=0);稱一個環R是右(左)α-對稱環，如果α是環R的右(左)對稱同態；如果環R既是右α-對稱環，也是左α-對稱環，則稱環R是α-對稱環.Baser，Hong和Kwak[5]稱環R的一個自同態α是右(左)可逆的，如果對任意的A，b∈R，由ab=0可以推出bα(A)=0(α(b)A=0);稱環R是右(左)α-可逆的，如果α是環R的右(左)可逆同態；如果環R既是右α-可逆環，也是左α-可逆環，則稱環R是α-可逆環.Baser和Kwak[6]稱一個環R是右(左)α-半交換環，如果對任何A，b∈R，由ab=0可以推出aRα(b)=0(α(A)Rb=0);如果環R既是右α-半交換環，也是左α-半交換環，則稱環R是α-半交換環.α-rigid環是α-對稱環，α-對稱環是α-可逆環，也易知α-對稱環是α-半交換環.[6]

同時，還有學者討論具有相反性質的自同態的環.Baser和Kwak[7]稱一個環R是強右(左)α-可逆環，如果對任意A，b∈R，由aα(b)=0(α(A)b=0)可以推出ba=0;如果一個環R既是強右α-可逆環，也是強左α-可逆環，則稱環R是強α-可逆環.強α-可逆環是α-可逆環，但α-可逆環未必是強α-可逆環，可逆環也未必是強α-可逆環.[7]文獻[8]稱環R是強右(左)α-對稱環，如果對任意A，b，c∈R，由abα(c)=0(α(A)bc=0)可以推出acb=0(bac=0);如果一個環R既是強右α-對稱環，也是強左α-對稱環，則稱環R是強α-對稱環.一個強右(左)α-對稱環一定是對稱環，而且強右α-對稱環和強左α-對稱環兩個概念是等價的.[8]

本文提出強α-弱對稱環的概念，研究它與相關環的關系，給出其若干性質.

2強α-弱對稱環和強α-弱半交換環

定義2.1設α是環R的一個自同態.稱α是強右(左)弱對稱的，如果對任意A，b，c∈R，由abα(c)∈nil(R)(α(A)bc∈nil(R))可以推出acb∈nil(R)(bac∈nil(R));稱環R是強右(左)α-弱對稱環，如果α是環R的強右(左)弱對稱的自同態;如果一個環R既是強右α-弱對稱環，也是強左α-弱對稱環，則稱環R是強α-弱對稱環.

命題2.1設α是環R的一個自同態，則R是強右α-弱對稱環當且僅當R是強左α-弱對稱環.

證明設R是強右α-弱對稱環.如果對A，b，c∈R，有α(A)bc∈nil(R)，則bcα(A)∈nil(R)，從而bac∈nil(R)，故R也是強左α-弱對稱環.同理可知，反之亦然.

命題2.1說明強左α-弱對稱環與強右α-弱對稱環是同一個概念，于是我們對這兩個概念不加區分，統稱為強α-弱對稱環.

易知強α-對稱環是強α-弱對稱環.因為弱對稱環未必是對稱環，所以強α-弱對稱環未必是強α-對稱環.

當α是恒等自同態時，強α-弱對稱環和弱對稱環是等價概念，但對于一般的自同態，弱對稱環未必是強α-弱對稱環.

定理2.1環R是一個強α-弱對稱環，當且僅當R是弱對稱環且是弱α-相容環.

證明必要性.先證環R是弱對稱環.設abc∈nil(R)，A，b，c∈R，則有cab∈nil(R)，α(c)α(A)α(b)=α(cab)∈nil(R).由環R是強α-弱對稱環，有α(c)bα(A)∈nil(R)，1·bα(ac)∈nil(R)，從而有acb∈nil(R).再證R是弱α-相容環.任取A，b∈R，設ab∈nil(R)，于是ba∈nil(R)，1·α(b)·α(A)=α(ba)∈nil(R).因為R是強α-弱對稱環，所以aα(b)∈nil(R).反過來，任取A，b∈R，設aα(b)∈nil(R).由環R是有1的強α-弱對稱環，得ba∈nil(R)，所以ab∈nil(R).這就證明了環R是弱α-相容環且R是弱對稱環.

充分性.設abα(c)∈nil(R)，A，b，c∈R.由R是一個弱α-相容環有abc∈nil(R).再由R是一個弱對稱環有acb∈nil(R).這就證明R是強α-弱對稱環.

定義2.2設α是環R的一個自同態.稱α是強右(左)弱半交換的，如果對任意的A，b∈R，由aα(b)∈nil(R)(α(A)b∈nil(R))可以推出aRb?nil(R)；稱環R是強右(左)α-弱半交換環，如果α是環R的強右(左)弱半交換的自同態；如果一個環R既是強右α-弱半交換環，也是強左α-弱半交換環，則稱環R是強α-弱半交換環.

命題2.2環R是強右α-弱半交換環，當且僅當R是強左α-弱半交換環.

證明如果R是強右α-弱半交換環，設aα(b)∈nil(R)，A，b∈R.則有bα(A)∈nil(R)，從而bRa?nil(R)，ba∈nil(R)，α(b)α(A)=α(ba)∈nil(R).因此α(b)Ra?nil(R)，α(b)A∈nil(R)，aα(b)∈nil(R).故aRb?nil(R).反之亦然.

由上述命題，我們對強右α-弱半交換環和強左α-弱半交換環不加區分，統稱為強α-弱半交換環.

命題2.3環R是強α-弱半交換環，當且僅當R是詣零半交換環，且R是弱α-相容環.

證明必要性.先證R是弱α-相容環.設ab∈nil(R)，A，b∈R，則α(A)α(b)∈nil(R)，于是aRα(b)?nil(R)，aα(b)∈nil(R).反過來，設aα(b)∈nil(R)，A，b∈R，從而aRb?nil(R)，ab∈nil(R).再證R是詣零半交換環.設ab∈nil(R)，A，b∈R，則aα(b)∈nil(R)，aRb?nil(R).

充分性.設aα(b)∈nil(R)，A，b∈R.則ab∈nil(R)，aRb?nil(R).

下面，我們探究強α-弱對稱環和強α-弱半交換環的關系.由定理2.1和命題2.3，我們首先考慮弱對稱環和詣零半交換環的關系.

稱一個環R是素環，如果對任意的A，b∈R，由aRb=0可以推出A=0或b=0.Marks[9]稱一個環R是NI環，如果nil(R)構成環R的一個理想.

引理2.1[1]設R是一個詣零半交換環.對任意的A1，A2，…，An∈R，如果A1A2…An∈nil(R)，則有A1r1A2r2…An-1rn-1An∈nil(R)，其中r1，r2，…，rn-1∈R，且n≥2.

命題2.4(1)如果一個環R是詣零半交換環，則R是弱對稱環；如果R是NI環且是弱對稱環，則R是詣零半交換環.

(2)如果一個環R是弱α-相容環，則R是弱α-rigid環；如果R是NI環且是弱α-rigid環，則R是弱α-相容環.

證明(1)如果R是詣零半交換環，設abc∈nil(R)，A，b，c∈R.因為R是有1的詣零半交換環，即abc·1∈nil(R)，從而acbacb·1∈nil(R)，acb∈nil(R).反過來，如果R是NI環且是弱對稱環，設ab∈nil(R)，A，b∈R.因為R是NI環，所以對任意的r∈R有abr∈nil(R).再利用弱對稱性推出arb∈nil(R)，即aRb?nil(R).

(2)如果一個環R是弱α-相容環，設aα(A)∈nil(R)，A∈R，則A2∈nil(R)，A∈nil(R).如果R是NI環且是弱α-rigid環，設ab∈nil(R)，A，b∈R，則α(ab)∈nil(R)，α(α(b)A)α(b)A=α2(b)α(A)α(b)A∈nil(R).而環R是弱α-rigid環，于是α(b)A∈nil(R).

推論2.1(1)如果環R是強α-弱半交換環，則R是強α-弱對稱環.

(2)如果R是強α-弱對稱環且是NI環，則R是強α-弱半交換環.

證明由定理2.1，命題2.3和命題2.4可得.

命題2.5(1)可逆環是詣零半交換環.

(2)如果R是素環且是詣零半交換環，則R是可逆環.

證明(1)如果R是可逆環，則R是半交換環，從而是詣零半交換環.

(2)設ab=0∈nil(R)，A，b∈R.則aRb?nil(R)，即aRbaRb…aRb=0.同時，R也是素環，于是A=0或baRbaRb…aRb=0.進而b=0或baRbaRb…aRba=0.反復利用素環的性質，得出A=0或b=0或ba=0.因此R是可逆環.

3強α-弱對稱環的擴張

容易驗證，強α-弱對稱環的α-子環還是強α-弱對稱環.

推論3.1下列命題等價:

(1)環R是強α-弱對稱環;

證明由R是Δ-1R的α-子環知充分性成立.

命題3.3設α是環R的一個自同態.R[x]是強α-弱對稱環，當且僅當R[x;x-1]是一個強α-弱對稱環.

證明充分性顯然.

必要性.令Δ={1，x，x2，…}，易證Δ是由R[x]的中心正則元組成的乘法封閉子集，且R[x;x-1]=Δ-1R[x].由命題3.2知R[x;x-1]是一個強α-弱對稱環.

引理3.1[10]如果環R是Armendariz環，則nil(R)是R的子環.

引理3.2[11]環R是Armendariz環，當且僅當R[x]是Armendariz環.

引理3.3[10]Armendariz環是Nil-Armendariz環.

引理3.4[10]如果環R是Nil-Armendariz環，則R[x]是Nil-Armendariz環，當且僅當nil(R)[x]=nil(R[x]).

引理3.5[11]如果環R是Armendariz環，則對任意的f1，…，fn∈R[x]，由f1…fn=0可以推出A1…An=0，其中Ai是fi系數.

命題3.4設α是環R的一個自同態，如果環R是Armendariz環，則下列結論等價:

(1)R是一個強α-弱對稱環;

證明由命題3.3知(2)?(3).

(2)?(1)顯然.

(1)?(2).因為環R是Armendariz環，由引理3.1知nil(R)是R的子環，由引理3.2知R[x]是Armendariz環.再根據引理3.3和引理3.4有nil(R)[x]=nil(R[x]).

證明充分性顯然.

[參考文獻]

[1]CHEN WEIXING.On nil-semicommutative rings[J].Thai J Math，2011(1):39-47.

[2]王堯，錢青，任艷麗.具有弱對稱自同態的環[J].山東大學學報(理學版)，2014，49(2)：12-17.

[3]王堯，沈青，任艷麗.具有自反條件的環自同態[J].東北師大學報(自然科學版)，2013，45(3)：9-14.

[4]KWAK T K.Extensions of extended symmetric rings[J].Bull Korean Math Soc，2007，44(4)：777-788.

[5]BASER M，HONG C Y，KWAK T K.On extended reversible rings[J].Algebra Colloq，2009，16(1)：37-48.

[6]BASER M，KWAK T K.Extended semicommutative rings[J].Algebra Colloq，2010，17(2)：257-264.

[7]BASER M，KWAK T K.On strong reversible rings and their extensions[J].Korean J Math，2010，18(2)：119-132.

[8]王堯，薛嶺，任艷麗.具有強對稱自同態的環及其擴張[J].吉林大學學報(理學版)，2014，52(5)：861-868.

[9]MARKS G.On 2-primal ore extensions[J].Comm Algebra，2001，29(5):2113-2123.

[10]ANTOINE R.Nilpotent elements and Armendariz rings[J].Algebra，2008，319：3128-3140.

[11]ANDERSON D，CAMILLO V.Armendariz rings and Gaussian rings[J].Comm Algebra，1998，26:2265-2272.

[12]WANG YAO，WANG WEILIANG，REN YANLI.Rings with symmetric endomorphisms and their extensions[J].J Math Res Appl，2015，35(1)：56-70.

(責任編輯：李亞軍)

On strongly α-weak symmetric rings

XUE Ling1， WANG Yao1， REN Yan-li2

(1.School of Mathematics and Statistics，Nanjing University of Information Science and Technology，Nanjing 210044，China;2.School of Mathematics and Information Technology，Nanjing Xiaozhuang University，Nanjing 211171，China)

Abstract:The concept of strongly α-weak symmetric rings is introduced and some of its basic properties are investigated.The relationships between strongly α-weak symmetric rings and related rings such as weakly symmetric，strongly α-weak semicommutative rings are discussed，and some extensions of strongly α-symmetric rings are studied.Some necessary and sufficient conditions are given to judge α-weak symmetric ring.

Keywords:strongly α-weak symmetric ring；strongly α-weak semicommutative ring；weakly α-compatible ring；NI ring；skew polynomial ring

[文章編號]1000-1832(2016)02-0014-05

[收稿日期]2014-12-29

[基金項目]國家自然科學基金資助項目(41275117)；江蘇省自然科學基金資助項目(BK20141476).

[作者簡介]薛嶺(1990—)，男，碩士，主要從事結合環和結合代數研究；通訊作者：任艷麗(1965—)，女，碩士，教授，主要從事環論研究.

[中圖分類號]O 153.3[學科代碼]110·2104

[文獻標志碼]A

[DOI]10.16163/j.cnki.22-1123/n.2016.02.004