居高才能臨下，深入方可淺出

范世偉

【摘 要】 數(shù)學(xué)教師專業(yè)知識結(jié)構(gòu)包括“本體性知識（學(xué)科知識）”、“條件性知識（教育理論）”和“實踐性知識（教學(xué)經(jīng)驗）”。數(shù)學(xué)教師的本體性知識，既包括顯性的可言傳數(shù)學(xué)知識，也包括隱性的默會知識即數(shù)學(xué)能力、素養(yǎng)。對于數(shù)學(xué)教學(xué)，從某種意義上說，教學(xué)的中心任務(wù)就是對學(xué)科作出教育學(xué)的解釋，并把學(xué)科知識“教育學(xué)化、心理學(xué)化”，以便學(xué)生接受與理解。兩者的有效結(jié)合方能體現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)之大氣，數(shù)學(xué)教學(xué)之靈氣。讓“學(xué)校的數(shù)學(xué)”找回“真正的數(shù)學(xué)”。

【關(guān)鍵詞】 本體性知識；數(shù)學(xué)教學(xué)；大氣；靈氣；底氣

【中圖分類號】G64.26 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2016）15-00-02

20世紀(jì)90年代中期，林崇德、申繼亮、辛濤的研究稱：“我們的研究表明，教師的本體性知識與學(xué)生成績之間幾乎不存在統(tǒng)計上的關(guān)系。我們認(rèn)為，教師需要知道一部分學(xué)科知識，以達(dá)到某種水平，但并非本體性知識越多越好。”然而，觀察我們的數(shù)學(xué)課堂，教師擁有較好的本體性知識知識，對于數(shù)學(xué)教學(xué)是必要的。教學(xué)的中心任務(wù)就是對學(xué)科作出教育學(xué)的解釋，并把學(xué)科知識“心理學(xué)化”，以便學(xué)生接受與理解。對教學(xué)的關(guān)注，從學(xué)科知識向?qū)W科知識與學(xué)生認(rèn)知整合的轉(zhuǎn)移，我們已有較大的進(jìn)步。教師的本體性知識應(yīng)當(dāng)達(dá)到何種水平，才能保證在對學(xué)科知識作出教育學(xué)的解釋和心理學(xué)的加工時不至于出現(xiàn)知識性、科學(xué)性的偏差。現(xiàn)階段小學(xué)數(shù)學(xué)教師擁有的本體性知識水平，是否適應(yīng)目前正在推行的課程改革的要求，也是課改推進(jìn)的所面臨課題。課堂中出現(xiàn)的學(xué)科知識“童化”，教材梳理“簡單化”，學(xué)科知識“教學(xué)化”等現(xiàn)象正是學(xué)科本體性知識不足的表現(xiàn)。本文就從本體性知識與教學(xué)之間的關(guān)系作簡單闡述，以此引發(fā)我們對本體性知識的思考，對當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)的思考。

一、本體性知識彰顯數(shù)學(xué)教學(xué)之大氣

1、教學(xué)有點

失身么決定了教師理解教材的能力？是什么影響了教師面對教材“融會貫通”的能力？是學(xué)科知識和教育學(xué)、心理學(xué)等因素的影響，而本體性知識顯得尤為重要。數(shù)學(xué)教材不能完全解釋知識的來龍去脈。當(dāng)前，教師對教材所呈現(xiàn)的圖、文字很難看出知識的本質(zhì)，知識抽象的過程、知識的數(shù)學(xué)史。這時需要教師挖一挖知識點，挖一挖數(shù)學(xué)思想。甚至有些數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)實質(zhì)用圖式、情境的方式呈現(xiàn)，形式為內(nèi)容服務(wù)，非數(shù)學(xué)、非公認(rèn)的規(guī)定影響著本體性知識的表達(dá)，很容易簡單的把知識用“去數(shù)學(xué)化”的方式錯誤或偏離性理解，以致現(xiàn)在出現(xiàn)數(shù)學(xué)課堂數(shù)學(xué)味不濃的局面。

如：本人在執(zhí)教“周長的認(rèn)識”這一課時思考：周長的定義該從哪幾個點出發(fā)？周長的概念歷史演變過程是如何？從哪幾個角度認(rèn)識周長？學(xué)習(xí)周長在幾何領(lǐng)域的作用？查閱大量的資料，了解周長概念的歷史及周長在幾何中的地位、關(guān)系，然后根據(jù)自己的了解設(shè)計教學(xué)。維基百科里記錄，古代把周長叫“周界”，“界”字就把“周”的概念描述的很數(shù)學(xué)化，“界”就是周邊線。再者可從“等周定理”，引出周長的“長”。這樣把知識分解了，把知識深入了，把知識系統(tǒng)了才能更好的設(shè)計和組織教學(xué)，本體性知識的“點”明了有力，教學(xué)的點也隨之清晰可見，教學(xué)設(shè)計及課堂實施才彰顯大氣。

2、教學(xué)有線

教學(xué)強調(diào)課堂調(diào)控，強調(diào)動態(tài)生成，強調(diào)大氣真實。教師、學(xué)生是可變的資源，質(zhì)疑問難、節(jié)外生枝隨時可見。面對復(fù)雜、多變的課堂生成，教師如能擁有豐富的本體性知識，抓住教學(xué)的主線，那么就能應(yīng)變自如，并及時作出課堂的調(diào)整，以促進(jìn)新的更有效的資源生成。

數(shù)學(xué)教師經(jīng)常犯有“知識性錯誤”。聽課、評課活動中，發(fā)現(xiàn)一些“知識性錯誤”確實是違背了數(shù)學(xué)規(guī)律或邏輯規(guī)則；而有些屬于扣字眼、鉆牛角尖的問題，屬于對教師個人自然教學(xué)語言的挑剔，評課教師很少或很難從數(shù)學(xué)學(xué)科本體性知識的角度分析問題。當(dāng)教師不具備豐富的本體性知識，就很難抓住知識主線，教學(xué)主線，在評課時也不能為自己的教學(xué)辯護(hù)。“三角形的高等于它的面積乘2除以底”這樣得教學(xué)語言或教學(xué)總結(jié)，是否合理科學(xué)，招到辯論挑刺，迫使教師謹(jǐn)小慎微，聽任生動活潑的數(shù)學(xué)思維被字斟句酌的語言所壓抑。

有研究表明：當(dāng)教師對數(shù)學(xué)知識的理解加深了，其在教學(xué)任務(wù)的設(shè)計與實施中，更能將問題的類型、難度與兒童的解決方法聯(lián)系起來，教師就有更多的機會了解學(xué)生在解決問題時的思維策略，因而在教學(xué)中能夠為學(xué)生創(chuàng)造更多的數(shù)學(xué)交流的機會，以及進(jìn)行猜想、解釋、推理與證明自己數(shù)學(xué)想法的機會。

二、本體性知識彰顯數(shù)學(xué)教學(xué)之靈氣

教師的本體性知識是教學(xué)活動的基礎(chǔ)。在教學(xué)活動中，一切努力又都是圍繞著本體性知識的有效傳授，教學(xué)的最終績效是用學(xué)生掌握的本體性知識的質(zhì)量來衡量。不能否認(rèn)，在一定限度內(nèi)，教學(xué)的有效性是與教師所掌握的本體性知識呈遞增關(guān)系。

如：分?jǐn)?shù)在小學(xué)數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)中有著重要的地位，對分?jǐn)?shù)本體性知識了解準(zhǔn)確與否直接影響著教學(xué)的最終績效。很多教材對分?jǐn)?shù)的定義是“單位1平均分為若干份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)叫做分?jǐn)?shù)。”這樣的描述聽起來比較自然，也符合“幾分之幾”的稱呼。小學(xué)數(shù)學(xué)教材對分?jǐn)?shù)教學(xué)一般分為三個階段：第一階段，三年級直觀感性認(rèn)識階段，充分借助直觀手段，只作具體描述，不概括出描述性的定義。第二階段，若干個同類物體組成的一個整體平均分成幾份，用幾分之一或幾分之幾這樣的分?jǐn)?shù)表示這個整體里的一份或幾份。第三階段，到五年級整體認(rèn)識分?jǐn)?shù)，深入理解分?jǐn)?shù)的份數(shù)定義，再通過兩次分餅的數(shù)學(xué)活動認(rèn)識分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，實際理解分?jǐn)?shù)的商的定義。到了六年級體會比在生活中的應(yīng)用，實際理解分?jǐn)?shù)的比的定義，擴(kuò)大分?jǐn)?shù)的應(yīng)用范圍。這就使學(xué)生學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的過程循序漸進(jìn)，有效而扎實。

了解了分?jǐn)?shù)的本體性知識后，我們不難發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)的“商”定義是分?jǐn)?shù)教學(xué)歸宿點，那么勢必在分?jǐn)?shù)各階段的教學(xué)中有所滲透分?jǐn)?shù)的“商”定義。教學(xué)分?jǐn)?shù)的第一次出現(xiàn)時，“平均分”成為了教學(xué)的關(guān)鍵詞。“平均分”才出現(xiàn)分?jǐn)?shù)，那“不平均分”該如何體現(xiàn)？不平均分即是為了加強平均分的理解，有助于理解分?jǐn)?shù)“商”的定義。（下圖）

在深入研究分?jǐn)?shù)的本體性知識，我們又可發(fā)現(xiàn)，分?jǐn)?shù)主要有兩個作用：一個是作為有理數(shù)出現(xiàn)的一種數(shù)，也就是，作為在運算中出現(xiàn)的一種數(shù)，它能和其他的數(shù)一樣參與運算；另一個作用是以比例的形式出現(xiàn)的。而后者是小學(xué)分?jǐn)?shù)教學(xué)的要點。而真分?jǐn)?shù)又是小學(xué)最重要的分?jǐn)?shù)，它代表一個事物的一部分，其本質(zhì)在于它的無量綱性。比如，盤子大小的1/2代表的實際意義，與足球場大小的1/2代表的實際意義是不盡相同的。正真分?jǐn)?shù)是密密麻麻地分布在（0，1）區(qū)間上的。如：在（0，1）區(qū)間內(nèi)畫出所有的以10為分母的真分?jǐn)?shù)，加強分?jǐn)?shù)和數(shù)軸之間的聯(lián)系，是改進(jìn)分?jǐn)?shù)教學(xué)的一個方面。

很多的數(shù)學(xué)內(nèi)容雖然看似簡單，但同樣蘊含了豐富的數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)文化，只有教師具備豐厚的數(shù)學(xué)知識、扎實的數(shù)學(xué)技能和成熟的數(shù)學(xué)思想，才能以一種宏觀的、聯(lián)系的、發(fā)展的觀念去看待數(shù)學(xué)，而不拘泥于局部的、零散的、靜態(tài)的認(rèn)識，才能從更高更廣的角度理解，設(shè)計教學(xué)才有高度、有深度、有廣度，教學(xué)才彰顯靈氣。

數(shù)學(xué)關(guān)心的是數(shù)量關(guān)系和空間形式，用的是抽象的眼光，有些我們看去不同的東西，數(shù)學(xué)本體性知識卻會是相同。我們覺得一樣的東西，或者差不多的東西，數(shù)學(xué)本體性知識卻會是不同。數(shù)學(xué)教學(xué)及研究中有些思想、方法是重要的。數(shù)學(xué)本體性知識中思想、歸納與演繹、相同與不同、精確與誤差、變化與不變、集合與函數(shù)等思想，在教學(xué)準(zhǔn)備與設(shè)計，教學(xué)組織與實施，作業(yè)設(shè)計與輔導(dǎo)，命題與學(xué)業(yè)檢測等教學(xué)各環(huán)節(jié)起著重要的作用。如：線段為什么需要兩個端點？兩個端點去掉，線段的長度會不會變？在數(shù)學(xué)里，帶有兩個端點的線段叫“閉線段”，不帶兩個端點的線段叫“開線段”。就這一開一閉，在高等數(shù)學(xué)里，不少定理適合就不同，并能和很多的數(shù)學(xué)知識產(chǎn)生聯(lián)系。小學(xué)數(shù)學(xué)教師需要了解的這么多、這么深嗎？正如一教研員說：“教師應(yīng)比學(xué)生知道的多一點，早一點，深一點。”也并非要讓學(xué)生了解這么透，教師教的這么深，關(guān)鍵是只有教師具備這樣豐富的本體性知識，才能在教學(xué)各環(huán)節(jié)得心應(yīng)手，才能從容的駕御課堂，才能使課堂充滿靈氣。

三、本體性知識彰顯數(shù)學(xué)教學(xué)之底氣

當(dāng)前培訓(xùn)機構(gòu)、學(xué)校、教師把注意力完全集中在教育理念的學(xué)習(xí)與落實上，教師條件性知識和實踐性知識得到很大的重視，教師的本體性知識的不足，不能不引起我們的關(guān)注。

省小學(xué)數(shù)學(xué)教研員斯苗兒曾經(jīng)說過：一些課上得不好的原因不在于方法和技巧，而是教師本身的數(shù)學(xué)功底。張景中教授的《教育數(shù)學(xué)》一書中，對教育數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)教育作了比較。數(shù)學(xué)教育要靠數(shù)學(xué)科學(xué)提供材料，對材料進(jìn)行教學(xué)法的加工使之形成教材，是數(shù)學(xué)教育的任務(wù)。但是，數(shù)學(xué)教育不承擔(dān)數(shù)學(xué)科學(xué)的研究創(chuàng)造。為了教育的需要，對數(shù)學(xué)研究成果進(jìn)行深入淺出的整理，抓住本體性知識設(shè)計、組織教學(xué)，合理有效的開展數(shù)學(xué)教學(xué)。

小學(xué)數(shù)學(xué)中的一些知識，雖然不要求學(xué)生了解得非常清楚，也不作為考試要求，但作為專業(yè)知識，教師該清楚的還要清楚。“最小的一位數(shù)是幾？”“0為什么是自然數(shù)？”“x=7是方程嗎？”等等，簡單地用“這樣的問題沒意義”“這是規(guī)定”的回答不是最好的辦法，顯然露出教師數(shù)學(xué)本體性知識的不足，對數(shù)學(xué)教學(xué)缺少底氣。

朱樂平：現(xiàn)在許多老師的課，從知識的角度總可以找出知識性錯誤。方法已經(jīng)很好了，但數(shù)學(xué)素養(yǎng)不容樂觀。我們一起看以下一例子：

上海市數(shù)學(xué)新教材三年級第一學(xué)期《整理與提高》單元“乘乘除除”的內(nèi)容。針對一位數(shù)乘多位數(shù)的筆算，教師出示了這樣一個數(shù)學(xué)問題：玩具店有玩具汽車8箱，每箱為29輛，共有玩具汽車多少輛？對于學(xué)生提出的算式：29×8，教師沒有急于讓學(xué)生進(jìn)行計算，而是引導(dǎo)學(xué)生先進(jìn)行估算：29×8大約等于多少？在學(xué)生獨立思考的基礎(chǔ)上全班開展了交流。學(xué)生的估算方法有：

方法一：29×8≈240，把29看成30。

方法二：29×8≈160，把29看成20。

方法三：29×8≈290，把8看成10。

方法四：29×8≈300，把29看成30，8看成10。

對于以上的估算方法教師提出問題：（1）這幾種方法有什么相同的地方？（2）同樣是把因數(shù)看成整十?dāng)?shù)，但估出來的結(jié)果差距很大，這是什么原因呢？通過交流學(xué)生明確：應(yīng)該把因數(shù)看成和它最接近的整十?dāng)?shù)再估計比較合理（去掉29×8≈160）。隨后教師再次發(fā)問：剩下的三個結(jié)果，哪個與準(zhǔn)確值29×8=232最接近？這是什么原因造成的？學(xué)生通過思考再次進(jìn)行交流：

生1：方法一是多估了1個8。

生2：方法三是多估了2個29。

生3：方法四是多估了2個29和1個8。

對于生3所認(rèn)為的方法四是多估了2個29和1個8，沒有學(xué)生對此提出異議，但教師及時指出這樣的解釋是錯誤的，并通過引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行驗算給予否定，即300-2×29—1×8=234，而不是232。但還是有學(xué)生認(rèn)為按照方法一和方法三的解釋，對方法四的解釋好像并無錯誤，想讓教師進(jìn)一步給予解釋和分析。面對學(xué)生的強烈疑惑與渴求目光，教師只是再次強調(diào)生3這樣的想法是錯誤的，并解釋道你們進(jìn)了中學(xué)以后會理解的，現(xiàn)在給你們講這個原因，你們是無法理解和接受的。

估算意識和估算能力的培養(yǎng)，是數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)對計算教學(xué)的一個新要求。教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生“知其所以然”的教學(xué)行為，提升了課堂教學(xué)的思維層次和探究深度，估算教學(xué)扎實有效，這是值得肯定的。該老師也意識到對于生3觀點的回應(yīng)以及理答在教學(xué)處理上欠妥。這就表現(xiàn)出教師本體性知識的欠缺，造成教學(xué)留下

“似乎”的遺憾。如何解決這一學(xué)生的疑惑呢？也就是要讓本體性知識教學(xué)的合理有效。可以用數(shù)形結(jié)合的思想方法加以解決（圖2）：白色部分的面積為29×8，黃色部分（B1）的面積為2×29，灰色部分（B2）的面積為1×8，藍(lán)色部分（B3）的面積為1×2，所以29×8=30×10-2×29-1×8-1×2。可見，29×8≈300，應(yīng)該是多估了2個29、1個8以及1個2。這樣，學(xué)生對于自己的錯誤有了比較清醒的認(rèn)識。

數(shù)學(xué)本體性知識章顯數(shù)學(xué)高度的抽象性；邏輯的嚴(yán)謹(jǐn)性；廣泛的應(yīng)用性。教師只有具備豐富的本體性知識，才能使自己的數(shù)學(xué)教學(xué)大氣、靈氣，有底氣。

參考文獻(xiàn)：

1、《數(shù)學(xué)家的眼光》張景中，中國少年兒童出版社。

2、《數(shù)學(xué)與哲學(xué)》張景中，大連理工大學(xué)出版社。

3、《中小學(xué)數(shù)學(xué)》單方軍，2009年06期。

4、《教師素質(zhì)的構(gòu)成及其培養(yǎng)途徑》林崇德，申繼亮，辛濤教育學(xué)刊。

5、“數(shù)學(xué)教師的素養(yǎng)”對話錄，史寧中、孔凡哲《人民教育》08年21期