彎曲法測量圓柱形試樣楊氏模量的研究

宋連鵬，孫　瑜，劉玉鵬，周　麗

(海軍大連艦艇學院 基礎部， 遼寧 大連 116018)

彎曲法測量圓柱形試樣楊氏模量的研究

宋連鵬，孫瑜，劉玉鵬，周麗

(海軍大連艦艇學院 基礎部， 遼寧 大連 116018)

摘要：根據圓柱形的受力彎曲理論推導出彎曲法測量圓柱形試樣楊氏模量的公式，改進了儀器，測出了圓柱形試樣金屬絲的楊氏模量，解決了彎曲法測量圓柱形楊氏模量的問題，消除了在實驗教學及生產中由于試樣形狀的限制而產生的不利影響.

關鍵詞：楊氏模量;彎曲法;圓柱形試樣;刀口

楊氏模量是標志材料抵抗彈性形變能力的重要物理量，是工程材料的重要物理參量，是選定機械構件材料的依據之一[1]. 測量楊氏模量的方法有拉伸法、動態懸掛法和彎曲法[2]，其中拉伸法和動態懸掛法的試樣是圓柱形，彎曲法試樣的截面為矩形，3種測量方法的試樣不統一，壓縮了對不同方法分析討論的空間，同時彎曲法的實際應用也受到了限制.

1測量原理

將半徑為r的圓柱形試樣放在相距為l的兩刀口上(如圖1所示)，在兩刀口的中點處掛上質量為m的砝碼，假設掛砝碼處下降Δz，稱此Δz為弛垂度. 相距dx的O1O2兩點所在的橫斷面在彎曲前互相平行，彎曲后則成一小角dφ(如圖2所示). 顯然彎曲后，其下半部呈現拉伸狀態，上半部為壓縮狀態，而中間的薄層雖彎曲但長度不變，稱為中間層.

圖1　彎曲法示意圖

圖2　壓縮拉伸示意圖

設距中間層距離為y、厚度為dy、形變前長為dx的一段，彎曲后伸長了ydφ，受到的拉力為dF，根據胡克定律有

(1)

式中dS為形變層的橫截面積(如圖3所示)，為

圖3　圓柱形試樣截面圖

(2)

于是

(3)

此力對中間層的轉矩為dM,即

(4)

整個橫斷面的轉矩M為

(5)

(6)

(7)

圖4　彎曲梁受力分析圖

(8)

由式(8)求出dφ代入式(7)中,并求積分，可求出弛垂度為

(9)

整理得

(10)

可見，測量圓柱形試樣在外力作用下產生的弛垂度Δz，即可求得材料的楊氏模量.

2實驗裝置

2.1楊氏模量測定儀

實驗采用杭州大華儀器制造有限公司生產的DHY-1楊氏模量測定儀[3]進行測量，結構如圖5所示，試樣放在2個頂端留有刀口的固定立柱上，試樣中間放置刀口掛件，刀口掛件下面懸掛砝碼座. 刀口掛件的上面通過銅杠桿與放在磁場中的霍爾傳感器關聯在一起，保持霍爾傳感器的電流不變，當傳感器在等梯度磁場中移動時，輸出的電壓變化量：

ΔUH=KΔz,

(11)

其中K為傳感器的靈敏度，Δz為位移量，可見霍爾電壓變化量與位移之間存在一一對應的線性關系，因此可以利用霍爾傳感器測量試樣中點的弛垂度Δz.

圖5　楊氏模量測定儀

2.2改進儀器

DHY-1測定儀是針對板形試樣而設計的，對圓柱形試樣的測量存在困難. 首先，由于沒有可以用來支撐刀口掛件的平面，刀口掛件不能保持水平，難以實現測量. 其次，刀口掛件僅僅是套在試樣上，加減砝碼時會引起刀口掛件的轉動和偏移，而移測顯微鏡的視場又非常小，因此在定標時極易造成刀口掛件脫離視場而導致實驗失敗. 最后，在定標的過程中，由于刀口受力不均勻引起的傾斜而導致刀口掛件上的刻線與移測顯微鏡中的水平參考基線不平行[如圖6(a)], 或者形成刀口對試樣的斜壓狀態，造成系統誤差[4].

(a)不平行

(b)平行圖6　刻線與基線位置

針對以上問題，對裝置做了簡易改進，在刀口掛件底部安裝了螺栓，再在刀口掛件內安裝銅砧(如圖7所示). 銅砧與刀口接觸面的中間位置刻有凹槽，當螺栓旋進時推動銅砧緊貼刀口，凹槽和刀口間形成的空隙剛好卡住圓柱形試樣. 因為測量時試樣微向下彎曲，所以改進不會影響刀口的功能.

圖7　改進的刀口掛件及效果

改進后刀口掛件可以水平、穩定地固定在圓柱形試樣上，解決了刀口掛件的安放問題，同時避免了加堿砝碼時引起的刀口掛件移動，確保移測顯微鏡能夠對刀口掛件進行持續穩定地觀測. 改進后固定在試樣上的刀口掛件能夠完全垂直試樣，使刀口掛件上的刻線與移測顯微鏡的水平參考基線平行[如圖6(b)]，并可以有效避免形成斜壓狀態，也可以精確選取試樣中點，從而減小系統誤差.

3測量效果

依據以上推導的理論公式，利用改進后的儀器對圓柱形試樣金屬絲進行了楊氏模量測量，為了能夠更好地反映測量效果，同時也采用了光杠桿靜態拉伸法測量了相同金屬絲的楊氏模量，并對2種測量方法的結果進行了比較.

3.1彎曲法測量金屬絲楊氏模量

3.1.1霍爾傳感器定標

采用厚度a=(1.001±0.006) mm，寬度b=(23.00±0.01) mm的銅板，放在相距l=(23.00±0.06) cm的立柱之間進行霍爾位置傳感器定標，每次增加砝碼的質量m=(20.0±0.1) g，使霍爾傳感器在磁場中心<2 mm的范圍內移動[5]，測量結果如表1所示.

表1　傳感器定標

利用Excel軟件對數據進行最小二乘法擬合(圖8)，得霍爾傳感器的靈敏度K=149 mV/mm，相關系數R2=0.999 9.

圖8　U-z特性曲線

3.1.2楊氏模量測量

環境溫度為20 ℃，采用直徑d=(0.724±0.006) mm金屬絲，為了滿足霍爾傳感器在磁場中心小于2 mm的范圍內移動的條件，考慮到金屬絲較細的實際情況，設定2個立柱之間的距離l=(6.00±0.06) cm，同時每次增加砝碼的質量為m=(10.0±0.1) g，測量結果如表2.

表2　彎曲法測量的實驗數據

把相應參量代入式(10)得金屬絲楊氏模量的平均值

在電壓表誤差限Δ表=0.1 mV和移測顯微鏡誤差限Δ顯=0.01 mm的測量條件下根據不確定度計算公式和不確定度傳遞公式得弛垂度不確定度uΔz=0.005 mm，因此楊氏模量的相對不確定度為

楊氏模量不確定度為

因此彎曲法測得金屬絲楊氏模量為

Y=(18.1±0.9)×1010N/m2.

3.2光杠桿拉伸法測量金屬絲楊氏模量

環境溫度為20 ℃，采用浙江光學儀器制造有限公司生產的YMC-1楊氏模量測定儀進行測量，金屬絲直徑d=(0.724±0.006) mm，有效長度L=(50.00±0.06) cm，鏡面到尺子的距離D=(164.50±0.06) cm，光杠桿常量b=(75.30±0.01) mm，每次增加砝碼的質量m=(1.000±0.005) kg，為了消除彈性滯后效應及摩擦所引起的系統誤差，采用了先遞增負荷后遞減負荷的實驗方法，測量結果如表3所示.

表3　光杠桿法測量的實驗數據　mm

在鋼尺誤差限Δ=0.5 mm的測量條件下根據不確定度計算公式和不確定度傳遞公式可得尺子變化量的不確定度uΔn=0.4 mm，因此楊氏模量的相對不確定度為

楊氏模量不確定度為

因此光杠桿拉伸法測得金屬絲楊氏模量為

Y=(1.8±0.3)×1011N/m2.

3.3結論

炭鋼金屬絲楊氏模量的參考值為(15～20)×1010N/m2，可見彎曲法的測量結果與實際符合得很好，與光杠桿靜態拉伸法測得的結果接近，兩者相對偏差為1%. 彎曲法的精度要比光杠桿拉伸法的精度高，究其原因是光杠桿拉伸法所使用的尺子精度相對較低. 這充分說明了本文所推公式的可靠性，也證實了儀器改進的有效性，解決了彎曲法測量圓柱形楊氏模量實驗中存在的問題.

4結束語

彎曲法測量圓柱形楊氏模量問題的解決實現了不同方法測量試樣的統一，為楊氏模量實驗教學的進一步展開奠定了基礎，以此為起點將不同方法設計為一個實驗系列，能夠幫助學生構建有序化的知識結構，更好地掌握學習物理實驗的基本方法. 基于霍爾傳感器的彎曲法測量楊氏模量是一種具有廣闊應用前景的電測方法，圓柱形楊氏模量測量問題的解決解除了材料形狀對這一應用的限制.

參考文獻：

[1]焦麗鳳,陸申龍，趙在忠. 用霍爾位置傳感器測量固體材料的楊氏模量[J]. 物理通報,2000(5):31-32.

[2]周曉明．三種楊氏模量測量方法比較[J]. 實驗科學與技術,2011,9(6):97-99.

[3]邵奇，孫瑜，宋連鵬，等. 大學物理實驗教程[M]. 北京:海潮出版社,2010:300-303.

[4]龍臥云，任文輝，林智群，等．霍爾位置傳感器測量材料楊氏模量的改進 [J]. 實驗室科學，2010,13(5):166-168.

[5]張銘楊，邵明輝，王德得，等. 基于霍爾效應的楊氏模量測量實驗改進[J]. 棗莊學院學報,2013,30(5):47-51.

[責任編輯：尹冬梅]

Measuring Young modulus of cylindrical specimen by bending a beam

SONG Lian-peng， SUN Yu， LIU Yu-peng， ZHOU Li

(Department of Basic Sciences, Dalian Naval Academy, Dalian 116018， China)

Abstract:In order to eliminate the adverse effects on the experiment teaching and production caused by the limitation on the sample shape when measuring Young modulus by bending a beam, the essential formula for measuring Young modulus of cylindrical sample according to the beam bending theory was deduced. The Young modulus of steel wire was measured by the improved instrument, and problem was solved successfully.

Key words:Young modulus; bending method; cylindrical sample; knife edge

收稿日期：2016-01-13；修改日期：2016-03-08

基金項目：海軍大連艦艇學院科研發展基金資助項目(No.DJYKYKT2015-01)

作者簡介：宋連鵬(1977-),男,遼寧大連人，海軍大連艦艇學院基礎部實驗師，碩士，從事物理實驗教學與原子分子研究工作.

中圖分類號：O343

文獻標識碼：A

文章編號：1005-4642(2016)06-0022-05