向量教學(xué)要有結(jié)構(gòu)性與邏輯性

王娜

[摘 要] 在平面向量等內(nèi)容的教學(xué)當(dāng)中，概念多且層次感不是很強(qiáng)，學(xué)生掌握得也不是很好. 同時(shí)學(xué)生對(duì)向量的認(rèn)識(shí)折射出高一的教學(xué)存在很大的問題：學(xué)生的機(jī)械記憶來源于我們對(duì)向量概念教學(xué)的不到位，沒能使學(xué)生真正理解，因此導(dǎo)致學(xué)生對(duì)向量的認(rèn)識(shí)只停留在套用公式的淺層認(rèn)識(shí)上. 其原因是在講概念的過程當(dāng)中，只注重了概念本身的描述，忽視了概念之間的結(jié)構(gòu)性與邏輯性. 這說明向量教學(xué)要有結(jié)構(gòu)性和邏輯性.

[關(guān)鍵詞] 平面向量；物理背景；實(shí)數(shù)類比

[?] 問題提出

在平面向量等內(nèi)容的教學(xué)當(dāng)中，概念多且層次感不是很強(qiáng)，學(xué)生掌握得也不是很好. 如2008年王寬明在《高中學(xué)生運(yùn)用平面向量解決問題的影響因素分析》和2011年陸燕的《新課改下高中向量的教學(xué)研究》通過調(diào)查得出，學(xué)生對(duì)向量的認(rèn)識(shí)折射出高一的教學(xué)存在很大的問題：學(xué)生的機(jī)械記憶來源于我們對(duì)向量概念教學(xué)的不到位，沒能使學(xué)生真正理解，因此導(dǎo)致學(xué)生對(duì)向量的認(rèn)識(shí)只停留在套用公式的淺層認(rèn)識(shí)上. 在筆者的教學(xué)當(dāng)中也發(fā)現(xiàn)了同樣的問題. 分析其原因是在講概念的過程當(dāng)中，只注重了概念本身的描述，忽視了概念之間的結(jié)構(gòu)性與邏輯性. 由此，向量教學(xué)要有結(jié)構(gòu)性和邏輯性.

平面向量的特征

《課標(biāo)》指出：向量是近代數(shù)學(xué)中重要和基本的數(shù)學(xué)概念之一，它是溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的一種工具，有著極其豐富的實(shí)際背景. 在本模塊中，學(xué)生將了解向量豐富的實(shí)際背景，理解平面向量及其運(yùn)算的意義，能用向量語言和方法表述與解決數(shù)學(xué)和物理中的一些問題，發(fā)展運(yùn)算能力和解決實(shí)際問題的能力.

1. 平面向量的起源——豐富的物理背景

英國數(shù)學(xué)家哈代曾說：“還沒有哪個(gè)數(shù)學(xué)家純到對(duì)物理世界毫無興趣的地步”，所以說，數(shù)學(xué)和物理學(xué)的關(guān)系在中學(xué)階段應(yīng)該得到重視和發(fā)展，事實(shí)上一個(gè)良好的物理學(xué)習(xí)是學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生興趣和學(xué)好數(shù)學(xué)的重要因素，尤其到今天，數(shù)學(xué)和物理學(xué)的關(guān)系是有目共睹的. 而向量在力學(xué)中的應(yīng)用即使在中學(xué)階段也是不難發(fā)現(xiàn)的. 使學(xué)生盡早地認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)與物理世界的緊密關(guān)系，不僅可以增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，同時(shí)也使學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)偉大的社會(huì)性.

2. 向量的運(yùn)算——代數(shù)學(xué)的基本研究對(duì)象

向量可以進(jìn)行加、減、數(shù)乘、數(shù)量積（點(diǎn)乘）、向量積（叉乘）等多種運(yùn)算，這些運(yùn)算及其規(guī)律賦予向量集合特定的結(jié)構(gòu)，使得向量具有一系列豐富的性質(zhì). 向量的運(yùn)算及其性質(zhì)自然成為代數(shù)學(xué)的研究對(duì)象.

3. 平面向量的應(yīng)用——代數(shù)幾何的完美結(jié)合

向量是一個(gè)具有幾何和代數(shù)雙重身份的概念，同時(shí)向量代數(shù)所依附的線性代數(shù)是高等數(shù)學(xué)中一個(gè)完整的體系，具有良好的分析方法和完整結(jié)構(gòu)，通過向量的運(yùn)用對(duì)傳統(tǒng)問題的分析，可以幫助學(xué)生更好地建立代數(shù)與幾何的聯(lián)系，也為中學(xué)數(shù)學(xué)向高等數(shù)學(xué)過渡奠定了一個(gè)直觀的基礎(chǔ). 這方面的案例包括平面幾何、立體幾何和向量解析幾何.

平面向量教學(xué)的結(jié)構(gòu)性與邏輯性

針對(duì)向量的三個(gè)特征，要有結(jié)構(gòu)性和邏輯性地安排平面向量章節(jié)的教學(xué).

1. 以物理背景為主線教學(xué)

向量的每一個(gè)定義都有其物理背景，所以以物理背景為主線進(jìn)行教學(xué)，可以讓知識(shí)之間更具備結(jié)構(gòu)性.

如，以力、位移等矢量為背景引入向量的定義，以位移為例講解有向線段的三要素，以位移的合成為背景講解向量的加減法的三角形法則，以力的合成為背景講解平行四邊形法則，以輪船過河為背景深化向量的加減法法則.

如，以自由落體的速度公式vt=gt體會(huì)向量數(shù)乘運(yùn)算的存在，也可以位移的倍數(shù)或者速度的倍數(shù)為背景體會(huì)位移的倍數(shù)依然是位移，速度的倍數(shù)依然是速度. 這樣可以使學(xué)生對(duì)向量的數(shù)乘運(yùn)算的結(jié)果仍然是一個(gè)向量有直觀的認(rèn)識(shí).

在引入向量的數(shù)量積運(yùn)算時(shí)，可以力做的功為背景. 一個(gè)物體受到力F的作用，如果在力的作用方向上發(fā)生一段位移s，我們就說這個(gè)力對(duì)物體做了功.如果力F的方向與位移s的方向相同，功的大小就等于力的大小F與位移s大小的乘積，即Fs. 如果力F的方向與位移s的方向成θ角，那么與位移s方向相同的分力為F1=Fcosθ，物體在力F1的方向上產(chǎn)生了位移s，因而對(duì)物體做的功為F·scosθ. 總之，力所做的功是一個(gè)標(biāo)量，它是由兩個(gè)向量——力和位移所決定的，這正是向量的數(shù)量積的意義. 在引入向量的一些運(yùn)算律時(shí)，也可以力做功為背景.當(dāng)力擴(kuò)大幾倍時(shí)，力所做的功也相應(yīng)擴(kuò)大幾倍，得出向量的數(shù)乘運(yùn)算與數(shù)量積運(yùn)算滿足結(jié)合律：（λa）·b=λ（a·b）；兩個(gè)力的合力所做的功等于這兩個(gè)力分別所做的功的和，向量的加法運(yùn)算滿足分配律：（a+b）·c=a·c+b·c. 具體如表1：

2. 與代數(shù)學(xué)中研究數(shù)集的類比進(jìn)行教學(xué)

在研究數(shù)集的過程中，0和1是最特殊的數(shù)，要進(jìn)行特殊的研究，如0與任何實(shí)數(shù)a相加都等于a，0與任何實(shí)數(shù)相乘都等于0，1與任何實(shí)數(shù)相乘都等于這個(gè)實(shí)數(shù). 同理，整數(shù)之間進(jìn)行的加、減、乘的運(yùn)算是封閉的，也就是運(yùn)算之后依然是整數(shù)，但整數(shù)之間除的運(yùn)算是有理數(shù)集. 把數(shù)集研究的這些方法和性質(zhì)，類比到向量的教學(xué)，可以使向量的每一個(gè)定義都順理成章，并且具備內(nèi)在的邏輯性，不至于顯得那么零散. 在講解向量定義之后，自然就要研究特殊的向量，零向量和單位向量，繼而研究向量之間的加法和減法以及數(shù)乘和其運(yùn)算定律. 可以發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)不同的代數(shù)結(jié)構(gòu)在本質(zhì)上是相同的，即有類似的運(yùn)算和運(yùn)算法則. 不同的只是兩個(gè)代數(shù)結(jié)構(gòu)的元素有所區(qū)別. 可見從進(jìn)一步抽象的角度來看，無論是向量代數(shù)系統(tǒng)還是我們熟悉的實(shí)數(shù)代數(shù)系統(tǒng)都是某一個(gè)更一般或更抽象的數(shù)學(xué)模式——?dú)W幾里得空間在一定情況下的特例而已. 如表2：

3. 從幾何方面理解向量

向量的知識(shí)點(diǎn)之間也是有內(nèi)在的邏輯聯(lián)系的，找到各知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，可以強(qiáng)化知識(shí)體系，讓學(xué)生更好地理解向量的本質(zhì).

向量是具有大小和方向的量，于是向量只有平移和旋轉(zhuǎn)的兩種變化方式.根據(jù)向量有自由向量的特征，使得向量在平移的過程當(dāng)中是不變的. 于是在平移的基礎(chǔ)上，得到了向量加減法的三角形法則和平行四邊形法則. 在平移的過程中若模發(fā)生變化，則產(chǎn)生向量數(shù)乘的定義. 在學(xué)習(xí)了數(shù)乘和向量的加減法之后，將其結(jié)合在一起就引入了平面向量基本定理. 在確定了兩個(gè)基底之后，將線性運(yùn)算與坐標(biāo)進(jìn)行了結(jié)合，得到了平面向量的坐標(biāo)表示. 以上都是平移的應(yīng)用，但是向量之間的旋轉(zhuǎn)呢？這就引入了平面向量的數(shù)量積，完成向量由平移到伸長到旋轉(zhuǎn)的過程.

從幾何的角度來說，幾何解決的就是平行，旋轉(zhuǎn)以及旋轉(zhuǎn)中特殊的垂直問題. 向量是研究幾何的有效工具，我們可以利用向量的數(shù)乘及向量的加減法來研究幾何問題. 但是會(huì)出現(xiàn)向量個(gè)數(shù)太多的問題，平面向量基本定理解決了這個(gè)問題. 在眾多基底當(dāng)中，發(fā)現(xiàn)兩個(gè)互相垂直的單位向量為基底更具備優(yōu)勢(shì)，引入了向量的坐標(biāo)運(yùn)算，這與實(shí)數(shù)和坐標(biāo)軸的關(guān)系一樣. 引入了向量的數(shù)量積則解決了所成角的問題.

綜上，在向量的教學(xué)當(dāng)中注重知識(shí)的結(jié)構(gòu)性和邏輯性可以讓學(xué)生從本質(zhì)上理解知識(shí)之間的聯(lián)系，同樣的教學(xué)方式也可以應(yīng)用到集合等概念的教學(xué)當(dāng)中，從而形成良好的知識(shí)體系. 讓學(xué)生將知識(shí)點(diǎn)縱向穿成線，再橫向連成網(wǎng)，學(xué)習(xí)中只要觸碰到一個(gè)知識(shí)點(diǎn)就會(huì)引起對(duì)橫縱向知識(shí)點(diǎn)的思考，對(duì)于學(xué)生思維的培養(yǎng)和數(shù)學(xué)的應(yīng)用起到不可估量的作用.