關于方程Zt(p)=p的解

吳成晶，李　華

(西安航空學院 理學院,陜西 西安 710077)

關于方程Zt(p)=p的解

吳成晶，李華

(西安航空學院 理學院,陜西 西安 710077)

摘要：偽Smarandache-totient函數的相關性質研究是初等數論研究的一個重要問題，受到很多學者關注。文章用初等方法給出了關于偽Smarandache-totient函數的方程Zt(p)=p,p為素數的所有解。

關鍵詞：偽Smarandache-totient函數；Euler函數；初等方法

0引言

關于偽Smarandache-totient函數已得到許多結論，例如Zt(n)既不可加也不可乘，即當(m,n)=1時

Zt(m+n)≠Zt(m)+Zt(n),

Zt(mn)≠Zt(m)Zt(n)

本文所要研究的是尋求方程Zt(p)=p的所有正整數解，其中p為素數。

對于60以內的Zt(n)的值，我們發現有兩個解[2]

Zt(2)=2,Zt(5)=5.

本文給出該方程的所有解，并給出定理的證明。

1定理及證明

定理1p為素數，若

則Zt(p)=p.

定理2p為素數，方程

Zt(p)=p

有且僅有兩個解，其中

p1=2,p2=5.

這樣我們就找到了該方程的所有解，以下給出定理的證明過程。

首先給出定理1的證明.

若Zt(p)=p，即就是p|φ(1)+φ(2)+…+φ(p).

由素數的性質[3]知，要滿足上式成立，則存在整數M,使得

φ(1)+φ(2)+…+φ(p)=Mp

再由歐拉函數的性質[4]，我們有

φ(1)+φ(2)+…+φ(p)≤1+2+3+…+(p-1)

而

整理之后得到

p2-(2M+1)p+(2-2t)=0.

要使上式有正整數解，則

其中

整理之后，得到

(M+k+1)(M-k)=2(1-t)

p=M+k+1

即

2(1-t)=p(M-k)

得到

p|2(1-t)

由素數的性質[5]，解得t=1，所以

Zt(p)=p.

定理1得證。

從上述定理的證明過程中我們可以得到，要使Zt(p)=p，當且僅當t=1，即

從上述證明過程知道，要使上式成立，對于任意的正整數，17時，有

則方程Zt(p)=p在p≥7時是無解的，而易于驗證Zt(2)=2,Zt(5)=5.

定理2得證。

2結論

由上述證明過程，我們得到，方程

Zt(p)=p

的所有解只有兩個，即：

p1=2,p2=5

而沒有其他的解，這樣就完整地解決了該方程的解的問題。

參考文獻

[1] 潘承洞，潘成彪.初等數論[M].北京：北京大學出版社，2013：141.

[2] Liu Y N,Li L Liu B L.Smarandache Unsolved Problems and New Progress[M].USA:High American Press,2008：91-99.

[3] 張文鵬,李海龍.初等數論[M].西安：陜西師范大學出版社, 2008:41.

[4] 樂茂華.關于Smarandache函數的一個猜想[J].黑龍江大學學報(自然科學版)，2007,24(5)：687-688.

[5] Lu Y M:On the Solutions of an Equation Involving the Smarandache Function[J].Scientia Magna,2006,2(1):76-79.

[責任編輯、校對：周千]

Solution to the Equation Zt(p)=p

WUCheng-jing,LIHua

(School of Mathematics,Xi′an Aeronautical University,Xi′an 710077,China)

Abstract：Research on the Smarandache-totient function is an important aspect of elementary number theory.Many scholars have paid attention to this problem.The main purpose of this paper is to use the elementary method to give a solution toZt(p)=p,where p represents a prime.

Key words：Smarandache-totient function;Euler function;Elementary method

收稿日期：2016-04-13

作者簡介：吳成晶(1987-)，女，陜西安康人，助教，從事初等數論的研究。

中圖分類號：O156.4

文獻標識碼：A

文章編號：1008-9233(2016)03-0080-02