基于PolyMAX方法的懸臂梁振動模態分析

向　玲,鄢小安,陳　濤（華北電力大學機械工程系，河北　保定071003）

?

基于PolyMAX方法的懸臂梁振動模態分析

向玲,鄢小安,陳濤
（華北電力大學機械工程系，河北保定071003）

摘要：為分析某懸臂梁的振動模態，根據錘擊法模態測試流程，利用PolyMAX方法對懸臂梁的傳遞函數進行模態參數估計和識別。利用有限元軟件和歐拉梁理論仿真并計算該懸臂梁前五階固有頻率和振型。結果表明：對懸臂梁的實驗分析結果和理論值、仿真值吻合良好，說明錘擊法的模態實驗可靠，為以后分析相似結構的模態提供參考。

關鍵詞：錘擊法；懸臂梁；模態分析；振型

河北省自然科學基金項目（E2013502226）

0 引　言

模態分析是為識別系統的模態參數，為結構系統的振動特性分析、振動故障診斷和預報以及結構動力特性的優化設計提供依據，在工程振動領域中有重要應用價值[1]。目前，Niels Saabye Ottosen等[2]討論了錘擊法對地基板和梁進行模態分析中遇到的常見問題。周云等[3]在其基礎上利用PloyMAX方法對彈性地基板進行了實驗模態分析，為地基參數識別和損失診斷提供了手段。劉軍等[4]利用自主開發的試驗模態分析系統對某跑車車身進行了模態分析，對試驗模態的改進具有推動作用。根據文獻[5]可知利用Euler梁模型的固有特性可以在一定程度上模擬和反映汽輪機葉片的固有特性。因此，研究懸臂梁結構的模態分析有重要意義。鑒于此特殊功能的關系，本文利用錘擊實驗中的PloyMAX法對某懸臂梁進行了模態分析，為反映實驗的準確性，用ANSYS軟件仿真了懸臂梁模型，并利用傳遞矩陣法對懸臂梁進行了理論計算。

1 LMS Test.Lab中PloyMAX振動模態分析

1.1 LMS中的PloyMAX模態識別方法

LMS公司最新推出LMS Test.Lab中的PolyMAX模態識別方法，也稱為多參考點最小二乘復頻域法。起初該方法只用來導出迭代法極大似然估計的最優初值，這種估計也稱為公分母傳遞函數模型。LSCF法超越其他參數估計技術最突出的優點是它可以得出非常清晰的穩態圖，多參考法的主要好處是SVD這一步驟能避免分解留數，密集空間可以分離出來。

其識別步驟與當前作為工業標準的最小二乘復指數法（LSCE）很相似：

1）建立穩態圖，以判定真實的模態頻率、阻尼和參預因子；其通過建立可以線性化的直交矩陣分式模型：

2）基于正則方程消去系數β0以縮減最小二乘問題：

由此得到壓縮了的正則方程：

其余的分母多項式系數可通過求解下列最小二乘問題來得出：

圖1 集總傳遞函數穩態圖

它對模態重疊較嚴重的高階和大阻尼系統，或者綜合頻響函數（FRF）數據受到嚴重的噪聲污染情況，都能給出清晰的穩態圖，因此可以識別高密度密集模態。該方法進行傳遞函數的模態分析非常流行。

1.2 PloyMAX法對懸臂梁振動模態分析

對Euler懸臂梁進行模態分析，梁的橫截面為圓截面，長度l=800 mm，直徑d=10 mm，將懸臂梁分為10段，每段80mm，測試過程中，采用逐步移位的多點激勵單點響應法。拾振器使用一個加速度傳感器，固定于點3，激勵點從點1到點10逐步移動，當激勵1點（激勵信號）時，可測得一個響應信號，依次類推，可得多個響應，根據響應可求出固有頻率，而實驗中對每個響應信號進行多次平均，得到綜合頻響函數（FRF），然后通過LMS Test.Lab中模態分析系統對頻響函數進行模態參數估計。

錘擊法模態測試及分析流程[6]：

1）通道設置（Channel setup）。選擇Use Geometry來導入幾何建模中的Node name（幾何節點名稱Node 1～10），用來覆蓋通道設置中Point列中點的名字，分別對應著懸臂梁的10個等間隔節點。然后將10節點連線，就建立了懸臂梁模型。

2）錘擊示波（Impact scope）。

3）錘擊設置（Impact setup），包括觸發級設置、帶寬設置、加窗設置、驅動點設置等。

4）測量（Measure）。

5）數據驗證（Validate）。

按照上述步驟進行3次重復實驗，獲取較好的頻響函數（FRF）后，使用PloyMAX方法分析得到集總傳遞函數穩態圖如圖1所示。選擇圖1中5個表現比較穩定的S點標識，其中S點標識表示在這個位置出現了模態，然后利用PloyMAX方法對5個S點進行模態識別，即可得到相應的五階振型和固有頻率。得到的懸臂梁前五階固有頻率分別為10.980，67.720，190.319，372.229，614.474Hz，模態振型如圖2所示。

圖2 懸臂梁前五階振型圖

2 基于ANSYS的有限元計算模型

ANSYS分析選用了solid 20 node 186實體單元懸臂梁[7]，梁的橫截面為圓截面，長度l=800 mm，直徑d=10mm，彈性模量E=2.0×1011Pa，泊松比μ=0.3，密度ρ=7 800 kg/m3。按照上述懸臂梁參數，利用ANSYS對懸臂梁振動頻率進行求解，得到前五階頻率分別為11.060，69.278，193.830，379.030，626.180Hz。限于篇幅，只給出前3階模態振型，如圖3所示。

3 基于梁振動理論的數值計算模型

3.1 建立歐拉伯努利梁模型

梁數值計算模型與上述ANSYS仿真模型選擇相同的參數，由于所選的懸臂梁質量較輕，橫向振動時轉動慣量較小。另外，在分析前五階振型時，整個梁僅被節點平面分成有限的幾段，此時產生的剪切變形是可以忽略的。所以先不考慮梁剪切變形和轉動慣量的影響，只考慮其彎曲變形，可利用傳遞矩陣法建立歐拉-伯努利梁力學分析模型。

建立歐拉-伯努利懸臂梁橫向自由振動微分方程[8-9]為

式中：EI——梁的抗彎剛度；

m——線質量密度，即m=ρA。

令y（x，t）=Y（x）eiωt，代入式（5）得：

其通解為

定義兩端點的狀態矢量為Z1，0和Z1，2，則總傳遞方程為

其中U為總傳遞矩陣。

邊界條件：

圖3 懸臂梁前三階振型圖

得特征方程：

步驟4：列車處理接收到信息，識別周圍的列車，判定自身是否處于危險狀態，如果不處于危險狀態，則判定周期是否結束；如果周期未結束，則判定本周期中本車是否已經發送過信息；如果發送過信息，列車則將失敗計數清零并繼續接收信息，否則計算列車的優先級并判斷是否為高優先級。如果列車是高優先級，則在下一個DZ到來時直接競爭資源。接著判定是否正處在限制競爭時期，如果不處于限制競爭時期或者限制時間已經結束，則開始下一個DZ的流程。如果周期結束，則進入下一個周期。

即

則固有頻率為

3.2 模型求解

結合Matlab軟件求解上述超越方程，并將梁的材料參數E，I等數值代入固有頻率方程，得到的結果如表1所示。

表1 固有頻率計算結果

利用Matlab軟件的plot命令畫出懸臂梁前二階振型，如圖4所示。

圖4 懸臂梁前二階振型圖

4 計算結果比較分析

ANSYS仿真值、理論計算解析值和錘擊法實驗值的結果對比如表2所示。

表2 計算值、仿真值與實驗值對比

將上述懸臂梁理論解析值和前面各模型計算或分析值對比，并利用Matlab做成散點連線圖，見圖5。可以明顯看出3種方法計算的結果擬合良好，誤差較小。

圖5 固有頻率散點連線圖

5 結束語

1）本文對懸臂梁結構模型進行了多點激勵、單點響應的模態實驗，利用LMS Test. Lab軟件中PolyMAX方法對懸臂梁的傳遞函數進行了模態參數估計和識別，并利用歐拉梁理論和有限元仿真模型測定了懸臂梁的低階固有頻率。通過3種結果的比較，可以看到三者具有很好的吻合性，證明該實驗方法是成功的，為進行其他相似結構類型的模態分析提供了參考。

2）從本實驗也可以看出振動物體的約束對物體固有頻率有較大影響，在進行模態分析時應多注意。

參考文獻

[1]黃捷，季忠，段虎明，等.機械結構實驗模態分析及典型應用[J].中國測試，2010，36（2）：4-8.

[2] NIELS S O，MATTI R，ALLEN G. Theoretical interpre tation of impulse response tests of embedded concrete structures[J]. Journal of Engineering Mechanics，2004，130（9）：1062-1071.

[3]周云，易偉建.用Poly MAX方法進行彈性地基板的實驗模態分析[J].振動與沖擊，2007（7）：139-144.

[4]劉軍，高建立，穆桂脂，等.改進錘擊法試驗模態分析技術的研究[J].振動與沖擊，2009（3）：174-177.

[5]晏水平，黃樹紅，韓守木.利用Euler梁模型計算汽輪機葉片靜頻和動頻的傳遞矩陣法[J].中國電機工程學報，2000（6）：69-71.

[6]周勇軍，賀拴海，宋一凡，等.基于錘擊法的彎連續剛構模型橋動力試驗[J].振動、測試與診斷，2007（3）：212-215.

[7]張朝暉.ANSYS11.0結構分析工程應用實例解析[M].2版.北京：機械工業出版社，2008：121-125.

[8]芮筱亭，何斌，王國平，等.多體系統傳遞矩陣法及其應用[M].北京：科學出版社，2008：73-79.

[9]杜永峰，彭健平，李慧，等.利用Matlab和錘擊法的線性結構阻尼試驗[J].蘭州理工大學學報，2005（6）：115-118.

（編輯：劉楊）

Vibration modal analysis of cantilevered beam based on PloyMAX method

XIANG Ling，YAN Xiaoan，CHEN Tao
（School of Mechanical Engineering，North China Electric Power University，Baoding 071003，China）

Abstract:In order to analyze the vibration modes of a cantilever beam，the PolyMAX method of software LMS Test. Lab is used to estimate and identify the modal parameters in the transfer functions of the cantilever beam according to the testing process of hammering method. Finite element software and Euler beam theory are used to simulate and calculate the first 5-order natural frequency and modal shape of the cantilever beam. The analytical results agree well with the theoretical value and the simulation value. This indicates that the modal experiment with hammering method is successful and can provide a reference for later model analysis of similar structures.

Keywords:hammer exciting method；cantilevered beams；modal analysis；modal shape

文獻標志碼：A

文章編號：1674-5124（2016）04-0132-04

doi：10.11857/j.issn.1674-5124.2016.04.028

收稿日期：2015-05-15；收到修改稿日期：2015-07-29

基金項目：國家自然科學基金項目（11072078）

作者簡介：向玲（1971-），女，湖北隨州市人，教授，博士，研究方向為機械狀態檢測與故障診斷。