等待·放權·探究
——《等比數列的前n項和》教學例談

初曉文吉林省琿春市第一高級中學

等待·放權·探究
——《等比數列的前n項和》教學例談

初曉文
吉林省琿春市第一高級中學

新的課程視角下，如何“從生活中來，到生活中去”，讓數學知識和現實互為印證，需要教師的耐心和選擇，當然，更需要教師的眼界和氣魄。這種“眼界和氣魄”更多地表現在：教師應該多一些等待，多一些放權，給予孩子們更多自主探索延伸的自由和空間。

等待；放權；探究

人教版高中A版數學《等比數列的前n項和》是數列這一章中的一個重要內容，它不僅在現實生活中有著廣泛的實際應用，如儲蓄、分期付款的有關計算等等，而且公式推導過程中所滲透的類比、化歸、分類討論、整體變換和方程等思想方法，都是學生今后學習和工作中必備的數學素養。如何“從生活中來，到生活中去”，讓知識和現實互為印證，發生深刻共鳴，需要教師的耐心和選擇，當然，更需要教師的眼界和氣魄。這種“眼界和氣魄”更多地表現在：教師應該多一些等待，多一些放權，給予孩子們更多自主探索延伸的自由和空間。

一、等待的藝術——“千樹萬樹梨花開”

教育，30%是啟發，70%是等待——教育應該是等待的藝術。的確，快速地奔向終點，只能擠壓孩子們的“思維空間”，消解孩子們的“思維張力”。所以，優秀的教師都善于等待，善于在“疑難處”、“拐彎處”駐足等待。或許，只是幾分鐘的等待，孩子們就已經經歷了從不會時的凝神思考，到有所發現時的喜形于色，到最后成功時的忘乎所以。

聽過一堂人教版高中A版數學《等比數列的前n項和》的公開課，從學生的思維特點看，很容易把本節內容與等差數列前n項和從公式的形成、特點等方面進行類比，這是積極因素，應因勢利導.不利因素是：本節公式的推導與等差數列前n項和公式的推導有著本質的不同，這對學生的思維是一個突破，另外，對于q=1這一特殊情況，學生往往容易忽視，尤其是在后面使用的過程中容易出錯。

既然如此，教師就不該急急忙忙地拋出“錯位相減法”，這樣做有悖學生的認知規律，可以設計以下教學環節：

1.故事引入：“ 一個窮人到富人那里去借錢,原以為富人不愿意，哪知富人一口答應了下來,但提出了如下條件：在30天中，富人第一天借給窮人1萬元,第二天借給窮人2萬元,以后每天所借的錢數都比上一天多1萬；但借錢第一天,窮人還1分錢,第二天還2分錢,以后每天所還的錢數都是上一天的兩倍,30天后互不相欠.窮人聽后覺得挺劃算,本想定下來,但又想到此富人是吝嗇出了名的,怕上當受騙,所以很為難。”請在座的同學思考討論一下,窮人能否向富人借錢?

2.基本題型練習：等比數列前n項和公式的基本運算（例題略）；錯位相減法求和（例題略）。

3.類比聯想，解決問題。如何將結論一般化，如何結合等比數列的通項公式an=a1qn-1,把sn用a1、an、q表示出來？

在具體的教學中，引領學生一定要知道“知三求二”，也就是要知道等比數列的前n項和的公式及通項公式涉及五個量中的任意三個量；一定要經常使用整體代換的思想，一定要分別討論q≠1與q＝1兩種情況。

好的數學教學都應當是循序漸進的過程，不應當操之過急，直奔結果。每一個小孩都不一樣，其偏好、負荷力、學習效能感和可塑性都不一樣，這更意味著教師要慢下來。等一等，等待著“別有洞天”，等待著瓜熟蒂落的那一刻，而那一刻就是“千樹萬樹梨花開”般的教學奇觀。

二、放權的藝術——“春江水暖鴨先知”

直接拋給學生一系列問題，其實在“悄悄地”剝奪了學生的諸多權利：記憶被激活的權利、經驗被印證的權利、自主設計問題的權利……與其這樣，不如充分地放權，讓孩子們自主選擇、自我設問、自我建構。

仍然以《等比數列的前n項和》的教學為例，應放權讓學生自主探索1，2，22，…，263是什么數列？有何特征？留出充足的時間讓學生自主比較，自我反思，或許學生自己會發現：等比數列前n項和的公式推導關鍵是變“加”為“減”，因此教學中應著力在這兒做文章，引導學生將結論一般化，讓學生從特殊到一般，從已知到未知，步步深入，讓學生自己探究公式，學生必將體驗到學習的愉快和成就感。

“春江水暖鴨先知”——身處在“學習之水”中的孩子們，才能最先察覺自己學習中的諸多“冷暖”。當孩子們自主選擇那些熟知的生活圖景構建數學問題時，才能“鴨先知”，而那種“先知感”的喜悅，恰恰才是學習最大的動力。

三、探究的藝術——“一枝紅杏出墻來”

誠然，孩子們的自主自悟不可或缺，但好的教學還要追求“迂回、輾轉和曲折”之境界，讓孩子們學會探究，學會延伸，抓住“出墻的紅杏”多多“較真”，讓教學體現出一種真正的“增量”。

比如，人教版高中數學的《等比數列的前n項和》的教學中，可以設計以下拓展題：

在古印度，有個名叫西薩的人，發明了國際象棋，當時的印度國王大為贊賞，對他說：我可以滿足你的任何要求.西薩說：請給我在棋盤的64個方格上，第1個格子里放1千噸小麥，第2個格子里放2千噸，第3個格子里放3千噸，如此下去，第64個格子放64千噸小麥，請給我這些小麥？

同學們，你們知道西薩要的是多少小麥嗎？引導學生寫出小麥總數，帶著這樣的問題，學生會動手算起來，通過計算需要1+2+ 3+?+64=2080(千噸)結果出來后，國王認為西薩胃口太大，而國庫空虛，還是提個簡單的要求吧！西薩說：國王，我希望在第1個格子里放1顆麥粒，第2個格子里放2顆，第3個格子里放4顆，如此下去，每個格子放的麥粒數是前一格麥粒數的2倍,請給我這么多的麥粒數？

還可以設計以下拓展題：“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”這首中國古詩的答案是多少？

好的數學課堂沒有固定模式，沒有謝幕和完稿。精彩高效的課堂一定是一個充分打開和擴展的世界：師生的心、思維、情感在打開；數學原野的邊界在擴展。當然，這一切，在于教師要舍得放棄，要充分地放權。引領孩子們在數學的密林深處，或自主探索，或多重延伸，或登高望遠，這才是數學的魅力，也是數學學習的應有之義。