三階常微分方程的某些非線性特征值問題的正解

李曉涵沈陽師范大學

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三階常微分方程的某些非線性特征值問題的正解

李曉涵
沈陽師范大學

摘要：三階常微分方程是我們在解決數學問題中常用的一種求解手段。三階常微分方程有很多種，而且在初等數學中我們就已經學過。像對數方程、指數方程、三角方程、二次方程等都屬于三階常微分方程的行列。比如我們初高中時就學過的二元一次方程組，是最簡單的三階常微分方程了。在本文中，我們通過與三階常微分方程相關的例題，了解一下解題方法，以及該問題中涉及到的對于三階常微分方程的應用和新的可解類型。

關鍵詞：三階常微分方程；特征解；非線性問題

常微分方程在代數中，是最簡單但是也是最重要的一類方程組，三階常微分方程是我們在解決日常生活問題中常用的一種手段，三階常微分方程的作用也非常之多，比如在航天領域、自動化領域、電子通信領域、化學反應研究領域等，科學前沿的方方面面都需要用到三階常微分方程來解決研究中的問題。許多難解的問題，解法中的式子最后都能化成相應的常微分方程，所以常微分方程對于計算數學是極其重要的。遇到問題時，我們需要在已知條件中找出已知數和未知數的關系，并利用已知的關系列出方程，然后進行求解，逐步推出我們需要的未知數的值。

列方程可能是一個方程也可能是多個方程，當問題逐漸變得復雜時，方程自然也會變得復雜。根據不同的問題特點，也就產生了不同類型的方程組。比如，在求當研究到自由落體時，需要計算當一個物體自由下落時，物體距地面的距離與下落時間的關系；或者在航天方面，飛行器在發動機的動力作用下，是如何在太空中飛行的以及其最佳軌道的設計等。這樣復雜的問題看似無從下手，但實際上，與一些簡單的問題相同，依然是需要在已知的條件中找到已知數與未知數關系的蛛絲馬跡，然后列出相應的方程并求解。只不過，這樣的方程的求解過程可能非常復雜，對于求解的方法要求比較特殊。

在數學中，解決這樣的方程是需要一些導數和微分的知識基礎，在這樣的實際問題的基礎上，產生了一種新的方程形式，叫做微分方程。微分方程就是指未知數以導數的形式與已知數產生關系，也就是說，在微分方程中未知數是以導數形式存在的。

幸得微分方程的產生與微積分幾乎是在同一時期，因此我們就可以有幸地利用微積分的知識求出一些微分方程的近似解。而三階常微分方程則是指在方程中，未知函數是一元函數的三階微分方程。未知函數如果是多階的，則被稱為偏微分方程，這些方程的類型以及簡單類型的求解方法在大學數學中都有涉及。

常微分方程的解法以及相關理論自從其出現開始，就可以用百家爭鳴來形容。許多年來，各位偉大的數學家也給出了各種各樣的方法，以及求解的技巧。對于三階常微分方程來說，方程組的種類影響著方程的解法和解的種類，而對于不同種類的方程和解，有不盡相同的解決手段。這還需要掌握一些特殊的定理、方法等等。

現在，人們對于三階常微分方程的研究已經比之前有了極大的進步。在對微分方程的研究中，求出方程的可行解往往是最主要的需求，首先通過一些方法求得解的通式，然后再根據具體情況，帶入一些特定值，求出所需要的特征解。但是，在大量的計算和思考后，人們發現，能夠準確地求出通解或者特征解的微分方程并不是很多，大部分的方程都不能準確地求出其某一組解，哪怕已知一些需要的參數。人們可以用一定的手段去逼近一個方程的解，但是也可能只能逼近，不能求出。所以，往往在解方程的過程中得到的是近似解或者最優解，而不是像簡單的一元一次方程那樣得到確定的解。

后來，在現實生活的應用中，人們又發現，往往解決問題并不需要求出通解或者特解，而是需要知道方程組在什么情況下會出現什么類型的解，就能滿足一些生產生活的需要了。比如，給定一個方程，我們需要知道該方程在什么情況下存在解，什么情況下不存在解；或者，在給定方程的前提下，能夠知道在什么條件下能求出幾組通解，而哪些通解是對于我們求出所需特解有價值、有作用的。往往我們現在關注的多是這樣的問題，而不僅僅限于尋找微分方程的解上。三階常微分方程的作用非常之多，比如在航天領域、自動化領域、電子通信領域、化學反應研究領域等，科學前沿的方方面面都需要用到三階常微分方程來解決研究中的問題。研究三階常微分方程的新的可解類型，是幫助我們在各個學科中，處理難題，突破難關的重要途徑。所以我們需要對三階常微分方程的新的可解類型進行更深的研究，通過對方程組的解析來促進各個學科的蓬勃發展。

許多微分方程要求求出方程的近似解，并且保證一定范圍內的精確度就可以，人類的科技在不斷發展，所需要的精確度也會越來越高，而隨著數學學科的進步，能夠求出的精確度也會越來越高，才能適應其他學科對于數學手段的需求。尋找三階常微分方程的新的可解類型是研究微分方程的科學家們、數學家們一直努力的目標。目前，已知的可解類型并不多，在變化眾多的方程組中，目前已知的可解類型相比之下，還是屈指可數的，還需要通過大量的研究才能判斷和解決其他的可解類型的三階常微分方程。

結束語

微分方程就是指未知數以導數的形式與已知數產生關系，也就是說，在微分方程中未知數是以導數形式存在的。這樣的方程的求解過程可能非常復雜，對于求解的方法要求比較特殊。我們就可以利用微積分的知識求出一些微分方程的近似解。三階常微分方程的作用非常之多，比如在航天領域、自動化領域、機械制造領域、計算機科學與技術領域、電子通信領域、化學反應研究領域等。雖然現在，人們對于三階常微分方程的研究已經比之前有了極大的進步，但對于浩淼的數字海洋來說，可數的幾個定理或者方法技巧是遠遠不夠的。我們還需要對三階常微分方程的新的可解類型進行更深的研究，以達到科技進步、改變生活的目的。

參考文獻：

[1]湯光宋，潘小群.一類新非線性三階常微分方程的可積判據.Academic Forum of Nan Du:naturalences Edition，2001

[2]李云.關于幾類可積型二階線性三階常微分方程的若干注記.黃石師院學報:自然科學版，1983

[3]黃文綱.變系數線性系統的一種求解方法及若干可積類型.數學的實踐與認識，1983

作者簡介：李曉涵（1994-），女，遼寧省凌源人，沈陽師范大學，數學與系統科學學院，數學與應用數學（師范）。