高中數學教學中學生思維廣度與深度思考

鞏松

[摘 要] 高中數學教學是借助于數學知識培養學生思維的過程，關注思維的廣度與深度，需要借助于教學經驗. “正弦函數的性質與圖象”在三角函數知識教學中有承上啟下的作用，以之為例進行分析，可以發現培養學生思維廣度與深度的有效途徑.

[關鍵詞] 數學教學；思維廣度；思維深度；正弦函數

高中數學教學本質上是借助數學知識提升學生思維能力，進而促進學生數學素養提升的過程，在這個過程中，學生的思維是數學學習的保證，同時利用數學知識的構建來完善思維的縝密性等. 從教師教學的角度來看，研究教學中思維的廣度與深度，就是抓住了教學的核心.

北師大版高中數學必修四中“正弦函數的性質與圖象”上承三角函數中的周期現象、角的概念與推廣、弧度制及正弦函數的定義等知識，下啟余弦函數的圖象與性質、正切函數及三角函數的簡單應用等知識，具有顯著的承上啟下的特征，需要在教學中高度重視. 根據筆者的研究，該知識的教學如果能夠在思維的廣度與深度上做足文章，那這節課的教學就能起到深化原有知識認識的作用，同時還能讓學生在后面的知識的學習中更多地發揮自己的自主性，從而促進自主學習更為有效地進行. 本文試從如下三個方面進行闡述.

基于教學經驗的數學思維的廣度與深度分析

思維的廣度與深度一般來說有著嚴格的學術定義，因為思維本身就是教育心理學研究的重要內容，同時思維也是數學教師研究的核心概念之一，關于思維及其廣度與深度研究的成果可謂是汗牛充棟，但是筆者不想過多地從學術定義的角度來闡述，而想從教學經驗的角度來闡述，這樣與實際教學的距離可能會更近一些. 當然，筆者會提醒自己不要經驗化，或者說經驗性的思維廣度與深度理解不能脫離最基本的思維定義.

在“正弦函數的性質與圖象”這課的教學中，北師大版的教材以“從單位圓看正弦函數的性質”來引入，筆者以為這是一個看似樸實實則有著相當的內涵的教學環節. 教材給出的是一個單位圓，然后根據正弦函數y=sinx的定義，“看出”正弦函數具有這樣的一些性質：1. 正弦函數的定義域是全體實數；2. 最大值是1，而最小值是-1，值域是[-1，1]；3. 正弦函數是周期函數，其周期是2π；4. 在[0，2π]上單調性為：在0，上是增加的；在，π上是減少的，在，上是減少的，在，2π是增加的. 然后提出“思考交流”的要求：請根據正弦函數的定義，結合單位圓說明正弦函數具有上述性質的理由.

這樣的教學設計充滿了思維的含量，可以從廣度與深度兩個角度來分別闡述：從思維的廣度來看，筆者在教學中發現學生在閱讀這段教材的時候，感覺相對比較輕松，也就是說并不具有太大的思維難度，畢竟這些性質確定可以從單位圓上來發現，即使讓學生結合單位圓去說明這些性質的理由，學生也大致上能夠說個八九不離十. 但筆者將自己的教學經驗做了一個對比，回想自己以前不是通過這種方式教學的情形. 以前曾經試過直接提出問題，讓學生從定義域、值域、最大值、最小值、周期性、單調性等角度，去自主探究正弦函數的性質.在這樣的問題驅動之下，學生的思維表現得與此有著較大的不同，學生會花費很長的時間去探究，這個探究過程是有些散亂的，因不同學生的思維切入口是不同的，有的學生會盯著正弦函數的表達式去想辦法，有的學生則嘗試通過圖象、表格等去探究性質，還有的學生利用特殊值去嘗試發現.

筆者就想：為什么在沒有提出利用單位圓的情況下，學生的思維難以不約而同地從單位圓的角度來思考呢？這個問題實際上就是指向了學生的思維廣度問題，一方面學生的發散思維表明不同學生的思維方向是不一樣的，但同時對于單位圓的忽視也確實說明了學生的思維廣度是不夠的，筆者以為只有學生個體善于從不同角度對同一問題進行思考，才能具有思維的廣度，而在不同思維切入點的對比中尋找到最佳方案，那才是廣度之上的深度.

在本環節的學習中，從單位圓的角度結合正弦函數的定義來得出正弦函數的性質，應當是最為簡潔的方案. 而進一步研究教學經驗可以發現，如果給予學生足夠的時間去比較優化，或者在教師做出適當的關于利用單位圓進行分析的前提下，學生就會自主發現單位圓在探究正弦函數性質中所能起到的作用. 而這也正是筆者近幾年來采用的教學方式，即既不散亂地讓學生去沒有方向地尋找探究突破口，也不是直接將單位圓的方法告訴學生，而是讓學生在自主探究的基礎上，經過教師的適當提醒，然后去比較優化，以發現單位圓在此中存在的巨大價值. 這樣的教學，實際上就達到了一定的思維深度.

實際教學中拓寬思維廣度與深度的教學策略

從以上分析可以看出，高中數學教學中關注思維的廣度與深度，是需要講究策略的. 在上一點闡述的基礎上，筆者再做一些梳理.

其一，尊重學生的自主性，是拓展思維廣度與深度的唯一前提. 在教育中有一句經典名言，那就是“如果要將全部教育心理學歸納成一句話的話，那我將說，弄清學生知道什么并據此進行教學.” 教師如何才能知道學生已經知道了什么呢？筆者以為最佳的途徑就是讓學生自主去學習與探究，在學習與探究中暴露出他們的真實思維，教師一旦對此有了掌握，那么要拓寬學生思維的廣度與深度就是相對容易的事情了. 在“正弦函數的圖象”教學，北師大版的教材設計讓學生畫出[0，2π]上正弦函數的圖象，然后利用正弦函數的周期性延伸到整個定義域上，具體的采用的是列表法，再描點得出圖象. 實際教學中，筆者沒有直接將這些步驟告訴學生，而是讓學生先嘗試自己去尋找方法，事實上絕大多數學生是可以想到圖表法與描點法的，只是少數學生忽視了周期性而已，而也正是在此基礎上教師稍加點撥，正弦函數的周期性性質反而可以在學生的思維中有更為深刻的印象.

其二，尊重學生的創造性，可有效突破學生原有的思維范圍與水平.在教材中，為了進一步認識正弦函數的圖象，教材設計在直角坐標x軸上的（-1，0）點左側任作一單位圓（注意與前面單位圓的作用進行對應），然后通過在其上取一些特殊值（16等份），過各分點作x軸的垂線，于是就得到16個對應角，把這些角的正弦線向右平移，同樣可以得到正弦函數的圖象. 這樣的方法在學生的思維中是沒有原型的，因而就是一個拓寬學生思維廣度與深度的極好機會. 實際教學中，筆者引導學生可以通過單位圓來完成正弦函數圖象的建構，同時也提醒學生可以借助描點法的思路（描點法實際上就是利用特殊值的地位借助于圖象平滑的性質完成的）. 教學經驗表明，此時只要提醒學生可以將單位圓放到坐標系中，往往即可打開學生的思路.事實上，在學生探究結束之后，筆者借助于幾何畫板制成的動畫，在多媒體中呈現一幅動態的根據單位圓生成正弦函數圖象的過程時，學生此前思維中的一些難以銜接的地方迅速連貫，從而在學生的思維中構成一個完整的、動態的正弦函數生成的畫面. 用學生的話說，自己在紙上畫的圖象是死的，而看到活的圖象之后才感覺到正弦函數的圖象是如此的神奇. 學生有這樣的認識，實際上就是思維的深度與廣度得到了拓寬.

其三，尊重學生思維的構建性，引導學生學會在總結中拓寬思維. 思維是一個神奇的東西，不僅體現在學習過程中，也體現在學習總結的過程中. 高中數學教學由于應試的原因，由于教學進度的原因，很少舍得花時間給學生去自行總結，這實際上制約了學生的思維發展，也導致學生所認知的數學學習就是無窮無盡地做題目. 事實上在學習過程中如果讓學生去注意總結，那學生就可以完善自己思維的完整性，可以彌補當初思考中的一些不足，從而讓思維能力更強，這實際上就滿足了思維的深度與廣度的培養要求. 在“正弦函數的性質與圖象”教學中，筆者讓學生反思“單位圓在構建正弦函數的性質與圖象中的作用”這一問題，學生的思維就圍繞單位圓在其中所起的作用，有效地回憶起了正弦函數性質與圖象的得出過程，這個回憶過程相對于當時的探究而言，其具有完整性，同時又借助于單位圓這一個概念，完成全部知識的構建，實際上又擴大了學生的建構容量. 事實表明，通過這樣的總結，學生很好地完善了本知識的結構，同時也在完善的過程中進一步認識到單位圓所起的作用，這對之后的余弦、正切等知識的學習也奠定了基礎.

培養學生增加自身思維廣度、深度的學習習慣

學生學習的過程嚴格來說是屬于學生自己的，教師在其中只起到了輔助、引導的作用，這就意味著包括思維廣度與深度的培養方面，需要著力于引導學生自己形成相關的習慣.

這樣的教學認識，意味著最關鍵的一點，就是在教學中要善于賦予學生空余時間，要讓學生有時間探究，有時間反思，有時間總結. 只有給足了時間，學生的思維才有可能在這些時間中自主打開（而不是用這些時間去完成教師布置的海量的習題），于是不同學生個體可以根據自己的實際情況去發現需要加工的地方. 由于學生個體差異性，故在統一賦時的前提下，不同學生的思維過程其實上是不一樣的，但目標又是一樣的，那就是拓寬思維. 只要做到這一點，學生的思維廣度與深度一定能夠得到培養.