APOS理論指導下的三角函數教學策略分析

俞靜秋

[摘 要] 根據新課程的教學理念，學生是學習的主體，知識是學生充分體驗后自主建構得到的，APOS理論是一種基于建構主義學習理論的教學模式，是能夠充分反映數學學科特色的教育理論，在高中三角函數教學中應用該理論是可行的且是必要的，合理應用可以促進學生對三角函數知識內容理解的深化.

[關鍵詞] APOS理論；三角函數；教學策略角

杜賓斯基等人為了解決“學生如何學習”這個問題，建立了APOS理論. 筆者在數學教學過程中發現APOS理論非常符合學生學習高中數學知識，本文選擇三角函數教學這一視角，就APOS理論如何用于高中數學課堂教學進行分析.

APOS理論的內涵與特征分析

1. APOS的數學教學模式

APOS理論用于高中數學教學，教學的環節可以分為如圖1所示的4個環節，相互作用構成閉合環.

2. APOS理論用于高中數學教學的特征

將APOS理論用于高中數學課堂教學，具有怎樣的特征呢？筆者在實踐中發現，兩者結合有如下幾個方面特征：

（1）APOS充分體現了數學學科的特色

APOS教學模式的幾個環節非常符合數學概念的學習過程，學生的知識學習以“活動”為出發點，從數學思維過程所具有的“過程和對象的雙重性”角度出發進行分析，在學習的重要環節中又將這兩個角度匯聚到“協調反演”的“自反抽象”環節，最終建立圖式促進知識的呈現與理解.

（2）APOS讓數學學習變得更有意義

APOS教學理論源自于建構主義，皮亞杰的建構主義學習理論強調知識間的聯結，APOS用于數學教學，協調反演的過程是學生順應和同化的過程，將學生認知發展推向“圖式”的深度，APOS教學的起點是“活動”，這讓數學學習的過程更有意義，抽象、建構的過程是意義賦予的過程.

（3）APOS讓數學知識具有完整的圖式

為什么學生課堂上學會了概念，但是過了沒多久就是不會用這個概念呢？筆者認為這個原因在于學生頭腦中沒有知識、概念完整的圖式，APOS教學模式首先是學生數學學習的心理建構，在對數學對象和過程分析的過程中暴露出學生數學學習過程中存在的問題，為協調反演提供了基礎，找準問題的“結”，這個“結”要解開和突破不容易，解開結的過程是學生在APOS閉合環中逐步分析、反應最終形成清晰、完整的概念圖式的過程，有了這個過程，學生對概念的理解才會深刻，深入到數學對象的本質，自然很容易就能將概念遷移到數學問題的解決和新概念的學習中來.

APOS理論用于三角函數教學的必要性分析

對于高中數學中的三角函數教學，如何組織呢？下面就APOS理論用來組織三角函數課堂教學的必要性進行分析.

1. “三角函數”的知識結構分析

從“三角函數”這一章節的知識結構來看，如圖2所示，編制概念圖將這一章節涉及知識點進行了簡單的羅列.

如果放到整個高中的數學學習中去觀察，“函數”貫穿始終，而“三角函數”又是一個基本的、特殊的初等函數，它是橋梁，構架在“代數”和“幾何”間的鴻溝之上，是實現數形結合的一條重要的通道，對“三角函數”的性質研究又是進一步研究周期性函數性質的重要窗口.

2. “三角函數”學習難度大

往往學習難度大的知識，如果我們采用灌輸式教學，效果就會越差，因為學生沒有過程體驗，難以形成知識的鏈接，學習難度大的知識越適合使用APOS教學模式.

初、高中三角函數知識間的學習跨度大，在初中學生有一定的三角函數基礎，但是初中只研究直角三角形中的三條邊之間長度的比值關系，如此一來導致有相當一部分學生感覺到“三角函數”學習難度大，筆者也對這部分內容進行了分析，難度主要體現在如下幾個方面：

（1）很多學生對三角函數的自變量理解上有難度，為什么可以是任意實數呢？

（2）初中階段，學生學習的難度停留在“銳角的三角比”難度，現在研究的任意角的三角比出現了知識負遷移現象，難以理解為什么放到了坐標系里任意角的三角比就與終邊上點的坐標構成聯系呢？

（3）三角函數是高中階段一個比較特殊的函數，函數概念上從“變量說”向“對應說”過渡，本身就是學生理解上的難點，三角函數又是學生在高中階段學習到的唯一的系統性研究的周期函數，是學生在以往的函數認知系統中找不到的新的模塊，知識的聯結到實現圖式的拓展是一個創新發展的過程.

正是處于以上幾點原因，筆者認為三角函數的教學應該采用APOS理論，引導學生跳出自己的實踐活動，反思自我學習概念的全過程，在過程中理解概念，構建圖式，豐富學生自己的數學認知結構.

教學案例——“三角函數的周期性”

“周期性”是“三角函數”一個極為重要的性質，也正是因為三角函數具有周期性，因此三角函數在高中階段是學生研究周期性運動的重要的數學模型，也是它區別于其他初等函數的重要特征. 當然，學生學習過程中也會遇到不少的困難，借助于APOS理論組織“三角函數的周期性”學習的設計與過程如下：

1. 活動階段

活動是APOS教學模式的發端，對于這節內容，可以設置如下具有情景的活動，調動學生的思維，在活動中思考.

活動1：生活中大家有沒有遇到“過了一定的時間又重復出現”的現象，如果生活中有留意，請舉例.

活動2：數學中有沒有這樣的現象？

設計意圖：引導學生從生活中抽象出“周期”的概念.

2. 過程階段

在上一階段，引導學生抽象得到了“周期”的概念，接下來引導學生充分地體驗“周期函數”定義的生成過程.

過程1：我們前面學習了正弦函數和余弦函數，大家回憶一下，是否也存在“周期現象”？

設計意圖：引導學生借助單位圓發現周期現象，并用符號表征為：sin（x+2π）=sinx，cos（x+2π）=cosx.

過程2：當學生得到了上一個過程的兩個等式后，要求學生分析等式的成立和x的取值存在怎樣的關系.

設計意圖：將學生的注意力再一次引向單位圓和定義域的思考.

過程3：如果將角x逆時針旋轉一周、兩周……更多周，得到的角如何表示？得到的這些角的正弦值和余弦值與角x存在怎樣的關系？（如果順時針旋轉呢？）

過程4：通過過程3，你可以得到怎樣的規律？

設計意圖：從角的旋轉這一具體的實踐操作出發，引導學生體驗“當終邊相同時，函數值會重復出現的過程”.感受“周而復始”，生成描述這種性質的心理需要.

3. 對象階段

對象1：從過程階段的問題討論，給出周期函數的定義.

在得到周期函數的定義后，再引出如下問題引導學生進行反思.

的周期.

設計意圖：體驗設最小正周期T，然后結合求解的方法與過程，建立基本題的圖式.

圖式2：求函數f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A，ω，φ均為常數，且A≠0，ω≠0）的周期.

設計意圖：滲透化歸和換元的數學思想，體驗借助于定義解決與三角函數相關的復合函數周期的問題，建立思維圖式.

圖式3：回顧小結，課堂所學，幫助學生構建心理圖式.

回顧1：你認為周期現象是怎樣的？

回顧2：你是如何理解周期函數的？

回顧3：你認為函數周期的定義中有哪些關鍵詞？你是怎么理解的？

回顧4：你會求一些常見三角函數及其復合函數的周期么？

在反思、回顧和總結的過程中，引導學生抓住記憶和應用的要害，促進知識聯結的進一步強化.

當然，APOS理論不僅可以應用到三角函數教學過程中，在其他概念教學中也能起到良好的教學效果，讓學生的數學學習過程變得自然，知識與方法在過程研究和對象研究中得以有效延展，學生的思維得以充分調動，數學知識學習變得有意義，圖式變得嚴謹而有序，課堂上充滿了生機和活力.