構建數學模型，提高高中學生解決實際問題的能力

謝寧

[摘 要] 在素質教育背景下，要求數學教學與實際生活相結合，以培養學生解決實際問題的能力.而構建數學模型，能很有效地提高學生分析問題和解決問題的能力，讓學生運用所學的數學知識解決實際問題，這正好滿足了素質教育的要求，讓學生發現學數學的意義的同時也提高了學生的數學素養. 本文將深入探討如何構建數學模型來解決一些數學實際問題.

[關鍵詞] 數學模型；構建；解決實際問題

數學知識來源于生活，并最終應用于生活. 在現實的生活中經常會遇到一些需要數學知識來解決的問題. 但由于這些問題不能直接套用某種數學公式、某種定理或者某種解法，而需要將現實生活的實際情況進行簡化、概括，并將其轉化為數學語言，進而抽象表達成一個數學問題的過程，這就是構建數學模型的過程. 利用構建數學模型的方法來解決實際問題，可以培養學生利用數學的意識，使其創新精神在數學活動中得到體現和落實，對于以后應用于實踐奠定了基礎.

數學模型及構建程序

所謂數學模型，就是利用數學語言模擬現實的模型. 即把實際問題中的主要特征、主要關系抽象出來，用數學語言概括或近似地表述出來的一種數學結構. 這種解決問題的方法非常適用于某種特定的研究過程.對于高中數學來講，它也是一門從現實生活中提取問題，通過解決問題來概括和總結出相關的數學公式、定理的學科，而這些前人得出的結論就是已構建的數學模型. 因此，將構建數學模型教學應用到高中數學教學中，實質上是樹立學生構建數學模型的思維意識，讓學生掌握構建數學模型的方法，然后利用所學知識解決從實際生活中抽象出來的數學問題.

數學模型在構建時，大致需要遵循四個步驟：一是觀察與分析實際生活中的問題；二是將其轉化成數學語言，并抽象出數學問題，即構建數學模型；三是求得此數學模型的解；四是把模型的解返回到現實問題中去，檢驗數學模型的符合程度或獲得現實問題的解.

構建數學模型，提高學生的轉換能力

在高中數學教學中，運用數學模型策略，實質上是一種思維方式的轉換，它是將抽象的實際問題轉換成邏輯思維，構建出數學模型，運用模型這一杠桿幫助學生解決數學問題的過程.

例：2014年北京時間7月14日，巴西世界杯決賽場上，德國隊和阿根廷隊為搶奪冠軍展開了激烈的角逐. 如果你是某隊的一位左邊鋒，那么你推進到距底線多遠處射門，才可以使得射門角最大？（標準足球場長105米，寬68米，球門長7.32米）

足球是大多數學生尤其是男生非常感興趣的一項運動，他們中有一大批球迷，不但關心足球的輸贏，而且對足球球技、戰術也很有研究. 學生們雖然對此題很感興趣，但是，僅僅看著這些文字會覺得束手無策，無從下手. 那么，解決這個問題的關鍵在哪里？關鍵就是一種思維的轉換，構建數學模型，把它轉化為數學問題. 但從何處入手呢？這時教師就需要引導學生分析，如：這是代數問題還是幾何問題？如何確定球員與球門的位量關系？首先得按題意畫出圖形（如圖1），于是很容易就構建出下面的模型并確定了問題的解法.

構建數學模型，提高學生的創新能力

由于構建模型需要從實際案例中提取數學問題，因此，它兼具抽象性與實質性，要求學生具備抽象思維能力、邏輯思維能力與創新能力. 這樣有助于規避傳統“填鴨式”教學模式的弊端，能夠有效促進學生創新能力的提高.

例：日本東京晴空塔，又名為東京天空樹，是全世界最高的自立式電波塔，高634米. 若把它的信號傳播到550千米外的大阪，行嗎？（地球半徑6371米）若用一座電波塔直接從東京傳輸到大阪，須建高度為多少米的電波塔？

這樣一個既有常識性又帶科學性的問題，是培養學生數學直覺思維和創新能力的好材料.如何通過建模來回答呢？

首先要將電波塔及電波信號的傳輸，擴大想象到整個地球空間，展開空間想象，抽象出相應的數學模型. （如圖3所示）

這大約是3座珠穆朗瑪峰的高度，建造如此高的電波塔顯然是不現實的. 同時告訴學生，解決這類長距離信號傳輸問題，往往不去盲目地一味增高電波塔的高度，而是通過多個中繼站“接力”的方式或用通信衛星的手段.

此數學模型很好地解決了一個實際問題，讓學生增加了數學直覺思維和用數學的意識，提高了學生用數學去解決實際問題的能力，觸類旁通，對知識的理解和應用更加深刻.

從理論上來講，構建數學模型的過程實質上是一個創造的過程. 教師與學生一起分析已知的條件，從中提煉有效信息，而后抽象與創造出具體的數學問題，最后解決問題.這樣的創造過程體現了素質教育對高中數學的要求，將高中數學與實際生活相結合，培養了學生從實際生活中發現問題進而解決問題的能力.

引申：（2009·寧夏）為了測量兩山頂M，N間的距離，飛機沿水平方向在A，B兩點進行測量，A，B，M，N在同一個鉛垂平面內（如示意圖），飛機能夠測量的數據有俯角和A，B間的距離，請設計一個方案，包括：①指出需要測量的數據（用字母表示，并在圖中標出）；②用文字和公式寫出計算M，N間的距離的步驟. （本題考查的是解三角形的實際應用及構造函數模型解決實際問題的能力.）

構建數學模型，培養學生用數學解決實際問題的意識，激發主動探索實際問題的欲望

一天放學時，突然傾盆大雨，同學們紛紛跑回家，唯獨某同學仍不慌不忙地漫步雨中. 大家都笑他怎么這么傻，他笑著答：“你們才傻呢，前面不也下著雨嗎？跑什么？反正我到家的路永遠都是那么長，無論我跑多快，這段路程又不會減少？”那么，在下雨天，到底是快快跑淋雨多呢還是慢慢走淋雨多呢？

這個實際問題的提出肯定會引起很多學生的興趣.學生們也肯定一起笑話那個漫步雨中的同學是傻子，因為總的淋雨量不會與行走的路程成正比，因為雨不是靜止在空中的，它是一個動態的連續的過程，你哪怕一步不走，路程為零，你還是會被淋成落湯雞.那是不是總的淋雨量與淋雨時間成正比呢？然而生活經驗告訴我們，當我們下雨天坐在車里的時候，車速越快，打落在車窗上的雨滴會越來越大，越密，感覺淋雨量也越大，所以我們還不能夠簡單地認為跑得越快，總的淋雨量就越少.那到底下雨時候我們怎么走才能使淋雨量最少呢？

為了方便研究這個實際問題，我們將該人視作長方體，那么只需要考慮上底面和側面的受雨情況；其次，不妨設人以勻速直線運動的方式行走，雨速和降雨的角度也是不變的. 我們可將代表人體型的長方體，雨豎直向下的分速度、人運動的路程，這些與人體運動速度無關的量都看作是常量；將人運動的速度和總的淋雨量看成是變量；而將降雨水平方向的分速度看成影響總淋雨量的參量. 適當對常量和參量賦值后，構造出如下數學問題：

如圖5，長方形物體E在雨中沿面P（面積為S）的垂直方向做勻速移動，速度為v（v>0），雨速沿E移動方向的分速度為c（c∈R）. E移動時單位時間內的淋雨量包括兩部分：（1）P或P的平行面（只有一個面淋雨）的淋雨量，假設其值與v-c×S成正比，比例系數為；（2）其他面的淋雨量之和，其值為則應該保持與雨的水平分速度相同的速度行走，此時，并不是跑得越快，總淋雨量就越小.

可見，數學建模是數學學習的一種新的創新的方式，它為學生們提供了自主學習的空間，有助于學生體驗數學在解決實際問題中的價值和作用，體驗數學與日常生活的聯系，體驗運用知識和方法解決實際問題的過程，增強了應用意識，有助于激發學生學習數學的興趣和探究數學問題的欲望，發展學生的創新意識和實踐能力.