從數(shù)學(xué)問(wèn)題的編擬看三國(guó)數(shù)學(xué)教育的不同理念

謝俊峰 方悟

[摘 要] 不同的國(guó)家有著不同的數(shù)學(xué)教育要求和理念，從數(shù)學(xué)問(wèn)題的編擬可以看到他們的區(qū)別. 俄羅斯是數(shù)學(xué)大國(guó)，試題命題旨在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)功底，對(duì)學(xué)生的理解能力要求較高. 日本的數(shù)學(xué)命題對(duì)學(xué)生的創(chuàng)新要求較高，要求學(xué)生善于轉(zhuǎn)化，通過(guò)轉(zhuǎn)化達(dá)到溝通不同部分?jǐn)?shù)學(xué)知識(shí)的聯(lián)系. 加拿大的數(shù)學(xué)凸顯了大眾教育目標(biāo)，它的選題易被大眾接受，同時(shí)具有探索性和啟發(fā)性. 雖然這三個(gè)國(guó)家的數(shù)學(xué)問(wèn)題的編擬有諸多不同，但培養(yǎng)學(xué)生的思維、提高學(xué)生的創(chuàng)新能力卻是相同的.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)問(wèn)題；數(shù)學(xué)教育；理念；創(chuàng)新

經(jīng)過(guò)改革、溝通，各國(guó)的數(shù)學(xué)教材包含的內(nèi)容相差不大.但是，從數(shù)學(xué)問(wèn)題的編擬可以看出不同國(guó)家不同的數(shù)學(xué)教育要求和理念. 本文以俄羅斯、日本、加拿大三國(guó)為例說(shuō)明區(qū)別的明顯程度.

俄羅斯一直是數(shù)學(xué)大國(guó)，莫斯科大學(xué)每年的入學(xué)試題都一直是中學(xué)生追求的目標(biāo). 題少，層次明顯，考試時(shí)間長(zhǎng)，這是大的特點(diǎn)，深入研究試題命題意圖，發(fā)現(xiàn)編者在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)功底，理解能力要求較高，思考性很強(qiáng).

例1 已知平行四邊形ABCD中AB與圓BCD相切于點(diǎn)B，AD交圓BCD于點(diǎn)E，又CD=4，CE=5，求AE. （國(guó)立莫斯科大學(xué)入學(xué)考題）

分析與解答：平幾問(wèn)題是每年莫斯科大學(xué)各個(gè)系科數(shù)學(xué)試題中不可或缺的問(wèn)題. 這道題只用了初中的幾個(gè)知識(shí)，不難看到，因?yàn)锽C∥AD，所以，因而B(niǎo)E=CD=4，在等腰梯形BEDC中，BD=CE=5.

為了得到AE，用公式AB2=AE·AD，但求出AD是解題的關(guān)鍵. 這需要對(duì)公式AB2=AE·AD再認(rèn)識(shí)，公式是怎么來(lái)的？它是由于∠ABE=∠ADB（AB是切線(xiàn)）得到△ABE∽△ADB.

注意到AB=CD=4=BE，所以BD=AD=5，從而得到AE=.

在我們通常的教學(xué)中比較重視公式的記憶和應(yīng)用，往往對(duì)概念的來(lái)由重視不夠.

例2 兩圓外切于點(diǎn)A，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的一條直線(xiàn)交第一圓于點(diǎn)B，交第二圓于點(diǎn)C. 第一圓過(guò)點(diǎn)B的切線(xiàn)交第二圓于點(diǎn)D與E（D在B與E之間）. 已知AB=5，AC=4，求線(xiàn)段CE的長(zhǎng)，并求從點(diǎn)A到一圓圓心的距離. 此圓與線(xiàn)段AD相切，且跟線(xiàn)段ED與EA分別向點(diǎn)D與A外的延長(zhǎng)線(xiàn)相切. （2002年莫斯科大學(xué)入學(xué)試題）

分析與解答：平幾問(wèn)題是每年莫斯科大學(xué)各個(gè)系科數(shù)學(xué)試題中不可或缺的問(wèn)題.本題可以用相似三角形的比例關(guān)系求CE，但進(jìn)一步的工作比較難. 這時(shí)我們就要考慮其他的方法，如果你考慮到解析法，坐標(biāo)系建立得好，難度就不太大了.

以A點(diǎn)為原點(diǎn)，AB為x軸的正半軸建立直角坐標(biāo)系，只要你用點(diǎn)E在圓上，又在另一圓在B點(diǎn)處的切線(xiàn)上，設(shè)出圓心坐標(biāo)（-2，4a）及（2.5，-5a），不難求出CE=6.同時(shí)由于D與E在同一個(gè)圓上，又同在一條直線(xiàn)上，因此CD=6.

你用圓周角的性質(zhì)，不難得到y(tǒng)軸就是∠EAD的平分線(xiàn)，因此，第三個(gè)圓的圓心就在AB上，又利用角平分線(xiàn)的性質(zhì)可得到第三個(gè)圓的圓心坐標(biāo)為（2，0），即A點(diǎn)到這個(gè)圓的圓心距離為2.

從此題可以看出，題目的思考性很強(qiáng)，即使是教師去做也會(huì)有一定的難度，反映了解題過(guò)程中對(duì)創(chuàng)新能力的要求.

例3 解方程7lgx=98-xlg7. （莫斯科物理技術(shù)學(xué)院入學(xué)試題）

分析與解答：這是常規(guī)的解方程問(wèn)題，但是與我們通常的對(duì)數(shù)方程、指數(shù)方程不同，形式簡(jiǎn)單而明快，但解起來(lái)似乎無(wú)從下手. 對(duì)一些“明眼”人來(lái)說(shuō)，從形式上看可以猜出x=100，也就是說(shuō)x=100代進(jìn)去“適合”，但這就要求7lgx=xlg7，一般來(lái)說(shuō)要證明algb=blga，證不出來(lái)就不會(huì)給分，這就是這道試題的理論要求.

為了證明algb=blga，可以有三個(gè)途徑：

（1）設(shè)algb=A，B=blga，

因?yàn)閘gA=lgb·lga，lgB=lgb·lga，

所以lgA=lgB，由y=lgx，在（0，+∞）上的單調(diào)性知A=B.

（2）用對(duì)數(shù)恒等b=alogab，

所以algb=alogalogab=alogab·lga=blga.

（3）指數(shù)上乘以1=logab·logba，

所以algb·logab·logba=（alogab）lgb·logba=blgb·logba=blgb·=blga.

不難看出algb=blga是alogab=b的一個(gè)重要的推論，認(rèn)識(shí)水平又提高了一步.證明起來(lái)還是比較困難的.

與我們國(guó)家的高考相比，我們的試題強(qiáng)調(diào)覆蓋面，強(qiáng)調(diào)熟練程度，而俄羅斯的大學(xué)入學(xué)試題往往題目比較少，難易程度區(qū)別比較明顯，坡度大，思考性很強(qiáng)，更加能考查學(xué)生數(shù)學(xué)思維的品質(zhì).

日本的數(shù)學(xué)命題通常要求不低，特點(diǎn)是創(chuàng)新要求高，要求學(xué)生善于轉(zhuǎn)化，而轉(zhuǎn)化的途徑要有創(chuàng)新，通過(guò)轉(zhuǎn)化達(dá)到溝通不同部分?jǐn)?shù)學(xué)知識(shí)的聯(lián)系，這種問(wèn)題在競(jìng)賽模擬題中經(jīng)常出現(xiàn).

每年1月15日左右，日本為了選拔優(yōu)秀選手參加國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克（IMO）競(jìng)賽進(jìn)行預(yù)賽，相當(dāng)于我國(guó)國(guó)家數(shù)學(xué)競(jìng)賽的初賽，要求學(xué)生在3小時(shí)內(nèi)做12題，2月上旬，進(jìn)行復(fù)試，要求學(xué)生在4小時(shí)內(nèi)做5道題. 不管是初試還是復(fù)試，對(duì)選手的要求都比較高，注重考查學(xué)生的創(chuàng)新能力.

俄羅斯、日本、加拿大這三個(gè)國(guó)家編擬的題目各有特色，反映了各自對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的不同期望與要求，也反映了各國(guó)不同的數(shù)學(xué)教育理念. 但是，它們共同的目的是培養(yǎng)創(chuàng)新人才.