與正多邊形有關的幾個極值問題

陳開文 張馨怡

[摘 要] 本文試圖通過研究與正多邊形有關的幾個面積最大問題來給出“經典的等周問題”的一個直觀易懂的證明.

[關鍵詞] 等周問題；面積最大問題；正多邊形；逼近；直觀證明

問題和主要結果

最大或最小問題在理論上和實際生活中都是很重要的問題. “在所有給定周長的閉曲線中，什么閉曲線圍的面積最大？”這是自古希臘以來的兩千多年，人們一直感興趣的經典問題，古希臘數學家就猜測“圓周圍的面積最大”，但它的嚴格證明直到二十世紀初才陸續給出，通常要用到積分，尤其要用到Fourier級數及Wirtinger等周不等式.

本文通過研究與多邊形有關的極值問題，我們試圖用簡單直觀的方法來研究等周問題，我們先來證明以下三個與多邊形有關的有趣定理：

定理1 在給定圓周上選取N≥3個點連成N邊形，則正N邊形圍成的面積最大.

定理2 在周長給定的所有N邊形中，正N邊形圍的面積最大.

定理3 給定平面正多形的周長l，則正多邊形的邊數越多，相應圍的圖形面積越大.

然后再證明等周定理：

定理4 在周長L給定的所有閉曲線中，圓周圍的面積最大，最大面積為.

幾個重要引理

在周長給定的所有的閉曲線中，不打結的凸的閉曲線顯然圍的面積更大，我們可以在凸的不打結閉曲線上任選n個點連成n邊形，由于閉曲線是凸的，所以當分割的點增加時，多邊形的邊數和面積都同時增加，當多邊形的最長邊趨于0時，多邊形圍的面積趨近于閉曲線圍的面積，且多邊形的周長趨近于閉曲線的周長. 現在周長固定的假設下形變閉曲線，相應的嵌入在閉曲線內的多邊形也隨之形變. 由定理2知道，給定周長的所有n邊形中，正n邊形圍的面積最大；由定理3知，n越大，正n邊形圍的面積也越大；當正n邊形逼近圓周，正n邊形圍的面積逼近圓的面積，它是最大面積.

所以我們的形變過程實際上是形變閉曲線使嵌入其內的多邊形變為邊數越來越多的正多邊形以增加所圍面積的過程.

設圓的周長為L，則圓內接正n邊形所圍的面積Sn的極限為，事實上：當n→+∞時，正n邊形的周長l→L（圓的周長），又由=1，所以，圓內接正n邊形所圍面積的極限為：，此即圓的面積.