分式方程解的非一般情況淺析

李志朝

縱觀近十年河南中招數學試卷，對分式方程的考查趨于淡化，這部分的考查多集中在分式的化簡求值。那么，教學中學生對于一般的解分式方程還基本可以，而對于分式方程解的非一般情況，部分學生會表現出力不從心。下面，筆者就這部分內容作簡單的解析，與大家共享，不當之處，還請批評指正。

解分式方程的基本思想是化分式方程為整式方程，解整式方程，驗根，得出結論：未知數的值是方程的根或增根。

例1：解分式方程=2。

解：方程兩邊同乘以（x-2），得：2-x=2x-4。

化簡，解得：x=2。

檢驗：當x=2時，（x-2）=0，∴x=2是原方程的增解。

【小結】增根是在分式方程轉化為整式方程的過程中產生的，本題左右同乘以（x-2），即同乘了0，與等式基本性質不符，所以產生了增根。因此，解分式方程必須檢驗。

例2：a為何值時，關于x的方程會產生增根。

解：方程兩邊同乘以（x2-4），得：2（x+2）+ax=3（x-2）。

化簡，整理得：x=。

令=2，得a=-4。令=-2，得a=6。

∴當a=-4或a=6時此方程有增根，也稱當a=-4或a=6時此方程無解。

【小結】涉及分式方程的增根問題的解題步驟通常為：①去分母，化分式方程為整式方程；②解整式方程；將增根代入方程解的表達式中，求出方程中字母系數的值。

例3：a為何值時，關于x的方程+=無解。

解：方程兩邊同乘以（x2-4），得：2（x+2）+ax=3（x-2）。

化簡，整理得：x=。

當x-1=0，a=1時，無意義，即x的值不存在，亦即方程無解。

令=2，得x=-4。令=-2，得a=6。

∴當a=-4或a=6時此方程有增根，也稱當a=-4或a=6時此方程無解。

綜上：當a=1或a=-4或a=6時，此方程無解。

【小結】分式方程無解，包括兩種情況：①方程解的表達式中，分母為零（或合并同類項后，未知數系數為零）；②此方程存在增根，解法同例2。