數學教學中一題多解的本質

搖楊剛

培養和發展學生的數學思維能力是發展智力，全面培養數學能力的主要途徑。因此，中學數學課程應該注重提高學生的數學思維能力，這也是數學教育的基本目標之一。

數學是思維的體現，解決問題是學生學習數學的目的，因而如何通過解題活動來培養學生良好的思維能力，應是數學教學的中心問題。但過多過密盲目的解題，不僅不會促進思維能力的發展、技能的形成，反而易使學生疲勞，興趣降低，窒息學生的智慧，只有“聞一以知十”題解，才能激發學生濃厚的學習興趣，促進他們思維品質的發展，而一題多解無疑是激發學生興趣，開拓思路，培養思維品質和應變能力的一種十分有效的方法。下面就本人在教學中的體會談談“一題多解”在數學教學中的作用。

在初三的數學復習中，我們常常采用一題多解來培養學生的發散思維、創新能力，構建知識的網絡，整合知識。

建構主義認為，知識是學生在已有經驗基礎上的建構。每個人的知識基礎是不一樣的，建構的方法可能就不一樣，從而為一題多解提供了可能性。

初三的學生經過三年的學習，初中階段的數學內容已基本掌握了，知識內容豐富，也為一題多解提供了可能性。

在復習相似三角形一節中，有這樣一道題：如圖，有一塊直角三角形的鐵皮余料，它的直角邊BC為4cm，AC為3cm，若利用余料中現成的直角，從中裁出一個面積盡可能大的正方形來，則這個正方形的邊長為多少？

由于教師在上課時已復習過相似三角形的知識，學生受思維定式的影響，多數采用相似三角形來解。即可證：△BEF∽△FDA，得，設正方形邊長為x，則有BE=4-x，AD=3-x，即，解之得x=。

認知心理學家將問題解決過程看作是對問題空間（problem space）的搜索過程。問題空間是問題解決者對一個問題所達到的全部認識狀態。人在解題過程中，要利用各種算子改變問題的起始狀態，經過各種中間狀態，逐步達到目標狀態，從而解決問題。問題解決的本質是對問題空間的搜索，以找到一條從問題的起始狀態達到目標狀態的通路。其認知過程分別為：問題表征、模式識別、解題遷移、解題監控。問題表征指形成問題空間，包括明確問題的初始狀態、目標狀態及允許的操作。模式識別是指當主體接觸到數學問題之后，能將該問題歸類，使得與自己認知結構中的某種數學模式相匹配的過程。先前的解題學習對后繼的解題學習的影響，即為解題遷移。解題監控指解題者為了達到解題目標，在解題過程中對解題活動作為意識對象，對其進行積極主動的計劃、監視、調節和監控的過程。學生的認知不同，模式識別也就可能不同。

由于學生的個人差異性，注意的選擇性，有的學生注意到題目中的平行線，將其識別為利用平行線的性質，進行解題遷移。于是有第二種方法：注意到整個三角形被分為三個規則的圖形，學生可能將其識別為面積的不變性，將其遷移到利用面積來解決。S△ADF+S？荀DCEF+S△BEF=S△ABC

注意到直角，有的學生會識別為直角坐標系，從而建立如圖所示坐標系：

AB的直線方程為：y=x+4

CF的直線方程為：y=-x

可求得點F的坐標為所以正方形的邊長為。

同樣是注意到直角，也有的學生識別為三角函數，可采用：在Rt△BEF中和Rt△BCA中，

tanB=即：得x=。

從以上可以看出，由于學生問題表征、模式識別的不同，解題遷移的方向不一樣，形成了多種不同的思路。最后能否成功解決問題，還需要個人進行解題監控。

數學是一門演繹科學，“數學的命題、概念和理論并不是互不相關的，而是表現出了重要的相互聯系，或者說，即是構成了整體性的“概念網絡”。正是這樣一種相互聯系，使我們條條道路通羅馬，同時激活了多種概念，這正是數學復習所需要達到的效果。