變力做功問題探討

趙才松

(陽新縣狄田中學，湖北　黃石　435239)

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變力做功問題探討

趙才松

(陽新縣狄田中學，湖北黃石435239)

摘要：應(yīng)用積分的基礎(chǔ)思想,采用“分割、近似求和、取極限”的方法探討變力做功的問題。結(jié)合高等數(shù)學中定積分的計算公式,分析了變力做功的計算方法。

關(guān)鍵詞：變力做功;極限;積分

然而,在現(xiàn)實生活中,力的大小和方向在做功的過程中常常會發(fā)生變化,這就是變力做功問題。例如:

這是比較典型的變力做功的例子,這種情況下很難套用前面提到的公式。事實上,變力做功問題是人們一直關(guān)心和研究的物理問題之一[3]。本文將應(yīng)用定積分的基本思想,采用“分割、近似求和、取極限”的方法探討變力做功的問題,然后結(jié)合高等數(shù)學中定積分的計算公式,分析了變力做功的計算方法。

一、 變力做功問題分析

本節(jié)以一般的例子,通過數(shù)學中極限逼近[3]的思想,采用“分割、近似求和、取極限”的方法來分析變力做功的問題。基本思想是在運動的極小段位移內(nèi),用“恒力”代替變力做功。

從而力沿曲線所做的功

(2.1)

(2.2)

二、 變力做功問題的計算

∫LP(x,y)dx+Q(x,y)dy.

(3.1)

其中φ(t),ψ(t)在[α,β]上具有一階連續(xù)導函數(shù),點A與點B坐標分別為(φ(α),ψ(α))和(φ(β),ψ(β))。設(shè)P(x,y)與Q(x，y)為L上的連續(xù)函數(shù),則(3.1)式中沿L從點A到B的積分有如下計算公式[5]

∫LP(x,y)dx+Q(x,y)dy=∫αβ[P(φ(t),ψ(t))φ'(t)+Q(φ(t),ψ(t))ψ'(t)]dt

(3.2)

從以上分析可以看出,在變力做功的計算問題中有兩個因素非常關(guān)鍵,一是力的大小和方向的描述,二是力的位移(所經(jīng)過的有向曲線段)的描述。下面用具體的例子來說明變力做功的計算問題。

W=∫Lkxdx+kydx

對于三維空間中變力做功的問題,我們一樣可以用第二節(jié)的方法,采用“分割、近似求和、取極限”的方法來分析變力所做的功。

=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)),沿空間曲線

從點A(φ(α),ψ(α),φ(α))運動到點B(φ(β),ψ(β)，φ(β))與公式(3.2)類似,在這個過程中該力所做的功為

W=∫LP(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz

=∫αβ[P(φ(t),ψ(t),φ(t))φ'(t)

+Q(φ(t),ψ(t),φ(t))ψ'(t)+R(φ(t),ψ(t),φ(t))φ'(t)]dt

例2 設(shè)一質(zhì)點受力作用,力的方向指向原點,大小與質(zhì)點到xy平面的距離成反比。若質(zhì)點沿直線x=at,y=bt,z=ct(c≠0)從M(a,b,c)移動到N(2a,2b,2c),求力所做的功。

解：設(shè)比例系數(shù)為k,則力可表示為

),力移動所經(jīng)過的曲線參數(shù)方程為,故力所做的功為

三、結(jié)語

本文采用“分割、近似求和、取極限”的方法探討變力做功的問題,然后結(jié)合高等數(shù)學中定積分的計算公式,分析了變力做功的計算方法。運用數(shù)學中極限逼近的思想,在運動的極小段位移內(nèi),用“恒力”代替變力計算它所做的功,然后把每一小段位移上所做的功進行累加,得到整個過程中變力所做的功。

參考文獻：

[1]人民教育出版社等.義務(wù)教育教科書《物理》(八年級,下冊)[M].北京：人民教育出版社,2012.

[2] 人民教育出版社等.普通高中課程標準實驗教科書《物理》(2)[M].北京：人民教育出版社,2010.

[3] 陳曙光，許邁昌.大學物理學[M].長沙：湖南大學出版社,2013.

[4] 華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析(第4版上冊)[M].北京：高等教育出版社,2010.

[5] 華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析(第4版下冊)[M].北京：高等教育出版社,2010.

文章編號：2095-4654(2016)04-0020-02

收稿日期：2016-01-18

中圖分類號：O175.2

文獻標識碼：A