互聯網拍賣的一類最優拍賣機制研究

陳 龍

（攀枝花學院數學與計算機學院，四川攀枝花 617000）

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互聯網拍賣的一類最優拍賣機制研究

陳 龍

（攀枝花學院數學與計算機學院，四川攀枝花 617000）

［摘 要］以Onsale網上拍賣公司為背景，在拍賣總供給給定的條件下，基于網上拍賣數量對報酬函數影響的若干重要理論，將拍賣時間視為變量，改進了拍賣時間確定的方法，得出了獲取最優利潤的一類新的最優拍賣機制的設計方法。

［關鍵詞］網上拍賣；最優機制；互聯網

傳統的商品交易通常是以固定價格的方式出售商品，但對顧客來講，這種購買方式受到時間、空間等因素的限制。隨著互聯網的發展，已有許多商家將他們的產品推上網絡，并以更快、更靈活、更方便的方式出售，使顧客足不出戶選購商品成為了現實。近幾年有關網上拍賣時間的研究有了一些新的進展。Lucking-Reiley［1］等通對過錢幣拍賣的研究，提取eBay上的數據，發現拍賣時間的長短與商品的成交價格高低有關。Pinker［2］等指出:如果拍賣商把拍賣時間定得太長，買賣雙方的額外成本會增加。Marcoux［3］討論了如何選擇最優拍賣結束時間規則。Bajari［4］等也以eBay為調查對象，發現在網上拍賣中拍賣方的期望收入與顧客的數量有密切關系。另外，拍賣方的聲譽也是相當重要的，但顧客的投標經驗對拍賣收入的影響并不大。

本文從定量的角度，以全球最大的網上拍賣公司——美國的Onsale公司為例，利用互聯網以拍賣形式銷售的商品為背景，討論了商家如何設計拍賣機制才能在有效進行資源配置的基礎上獲得最大利潤的問題。

1　模型的設立與前提

美國Onsale網上拍賣公司的拍賣規則設計十分復雜。假定商家拍賣t天使得商家的利潤最大，每天每件產品的存貯費用為h元，若拍賣到達的顧客數nt=n（0≤n<∞），顧客的報價分別為r1，r2……rn，其從大至小依次重新排列得到b1≥b2≥……≥bn。

現作以下6個假定:

1）投標顧客的到達過程是參數為λ的泊松過程；

2）顧客都是風險中性的；

3）顧客的報價是相互獨立的；

4）每個顧客最多只能買一件商品；

5）商家對拍賣品的保留價為零；

6）顧客是信息對稱的，即雙方掌握的信息是相同的，且他們的報價在［a，b］上均勻分布，其分布函數記為F（x）［1-3］。由于參與投標的顧客到達是參數為λ的泊松過程，其分布函數為

2　單物品拍賣的最優拍賣時間確定

2.1模型建立

令b1為商品的第一最高報價，由全概率公式得

由于F（x）是 ［a，b］上的均勻分布，不難看出b1取值于 ［a，b］，于是商品的第一最高報價的期望為

若記r（i，t）表示在t時間內拍賣出i件產品所獲得的報酬，從而商家獲得的報酬為r（1，t）。

要使r（1，t）最大，求穩定點

商家拍賣一件商品時，其拍賣時間t滿足式（3）時，商家的利潤最大［4-9］。

2.2數值分析

由文獻［10］得來的數據對最優化問題進行求解，根據Carrie Bean等對Onsale網站上拍賣的CD機進行統計，確定他們的參數值為:

1）每件商品每天的固定存貯費h=0.13美元；

2）顧客每天的到達率λ=13.6；

3）顧客的報價在［75，150］美元之間服從均勻分布，故a=75，b=150。

代入式（3），即得:拍賣一件該商品，拍賣時間定為t=7 d時，拍賣商的期望利潤最大。

3　多物品拍賣的最優拍賣時間確定

3.1模型建立

如何確定拍賣時間的長短，從而使商家獲得的期望利潤最大。除了前面假定的條件以外，另假定每個顧客最多只能購買一件商品。拍賣到達的顧客人數nt=n（0≤n<∞），由于參與投標的顧客到達是服從參數為λ的泊松過程，其分布函數為

r1，r2……rn分別為顧客的報價，根據假設，報價r1，r2……rn是在 ［a，b］上均勻分布的隨機變量，且相互獨立，令b1，b2……bn為r1，r2，……rn從大到小排列后的報價，即:b1≥b2≥……≥bn。

1）當n

2）當n≥k時，令bk為商品的第k最高報價。

由式（4）和式（5）得

由于F（x）是 ［a，b］上的均勻分布，不難看出bk取值于 ［a，b］，于是商品的第k個最高報價的期望值E［bk］為

從而商家獲得的報酬為

要得到最優的時間t，就要滿足方程

即滿足

只要t滿足式（7），商家的期望利潤最大。式（7）中，k是商家拍賣的商品數；［a，b］是投標商的估價范圍；λ是顧客每天的到達率；h是每天每件拍賣品的存貯費用。對具體的商品，一旦k，a，b，λ，h確定，最優拍賣時間t就能通過式（7）獲得［11-13］。

3.2數值分析

由文獻［10］得來的數據對式（7）中最優化問題進行求解，根據Carrie Bean等對Onsale網站上拍賣CD機的統計，他們確定的參數值為:

1）每件商品每天的固定存貯費h=0.13美元；

2）顧客每天的到達率λ=13.6；

3）顧客的報價在［75，150］美元之間服從均勻分布，故

拍賣品的數量和拍賣時間長短如表1所示（表內的拍賣時間為通過四舍五入后的數據），拍賣商的期望利潤最大。

由表1可知，當h=0.13美元，λ=13.6，a=75美元，b=150美元時，當商家拍賣2件商品時，拍賣時間定為8天，商家的期望利潤最高；當商家拍賣3件商品時，拍賣時間定為9天，商家的期望利潤最高；當商家拍賣4件商品時，拍賣時間定為10天，商家的期望利潤最高等等。

表1　最優拍賣時間Table 1 The optimal auction time

3.3模型優化

商家對拍賣品的保留價為零這一假設一般情況下是不成立的。由于拍賣品的價值、成本等因素，它的最低價常常不等于零，因而商家都會事先給拍賣品制定一個保留價v，即低于這個價格不予出售［14-15］。

下面我們討論在商家設置不公開保留價v的情況下，如何確定最優拍賣時間，使得拍賣商的期望利潤最大化。除了前面假定的條件以外，另假定k件拍賣商品全部拍賣出去，此時到達的顧客數也必定大于拍賣出的商品數量，即n≥k，并且到達的n位顧客的報價中至少有k個報價不低于v。

計算報酬函數r（k，t），即bk為顧客報價中第k個最高報價，k≥1。由于拍賣出的商品數不可能大于到達的顧客數，所以記n

在n≥k的條件下，自然有bk∈ ［a，b］，由全概率公式得

由式（8）和式（9）可得

由此可知，當k≥1，顧客的第k個最高報價bk是一個連續型和離散型相結合的隨機變量，其分布函數為

由于商家設有保留價v，所以這里僅需考慮顧客與商家成交時的價格，我們稱之為成交價。當k≥1，第k個成交價就是當bk≥v時的第k個最高報價bk。于是，商品的第k個最高成交價的期望值為

由式（10）可得

對c>0，用分部積分遞推可求得

將上式代入式（13）可得

將式（10）、式（14）代入式（12），得到商品的第k個最高成交價期望值為

從而商家獲得的報酬為

要得到最優時間t，就要滿足方程

只要t滿足式（16），商家的期望利潤最大。式（16）中，k是商家拍賣的商品數；［a，b］是投標商的估價范圍；λ是顧客每天的到達率；h是每天每件拍賣品的存貯費用；v是拍賣商的保留價。對具體商品，一旦k，a，b，λ，h，v確定，最優拍賣時間t就能通過式（16）獲得。

4　結束語

本文以美國Onsale網上拍賣公司為例，對網上一次性英式拍賣進行了具體分析，只要拍賣時間的長短選擇合適，商家可以提高他的期望利潤，并且在這個基礎上對模型進行優化，即假設拍賣商設置了保留價v的情況下，最優拍賣時間的確定更有其現實的指導意義。但是文中沒有分析分階段拍賣，如果分階段拍賣，每個階段拍賣時間的長短也會影響商家的階段期望利潤，從而影響到商家的總期望利潤，所以如何確定每個階段的拍賣時間，制定出有利于商家網上拍賣的最優機制，筆者將在后續工作中進一步進行研究。

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［15］ 杜黎，胡奇英.網上拍賣品書數量的優化［J］.西安電子科技大學學報:自然科學版，2003，1（1）:20-25.

（責任編輯 柴 智）

A Study on Optimal Mechanism of Internet Auctions

Chen Long
（School of Mathematics and Computer Science，Panzhihua University，Panzhihua Sichuan 617000，China）

Abstract:Based on the auction formalism in onsale，Inc.，an Internet-based auction house.Under the condition of given supplies，based on the theory of influence of on-line auction quantity to the reward function，regards the auction time as the variable，improved the determination methods of the auction time，and obtained some new thoughts about how to obtain the optimal interest.This paper investigatesa type of optimal problems of internet auctions in the context of Onsale Internet Auction Corporation.In the setting，auction time is described as a random variable.When given the total auction supplies，by applying some important results of reward functions disturbed by the number of internet auctions，this paper improves the method of determining auction time and by finding optimal profit，obtains a new type design for auction mechanism.

Key words:On-line auction；The optimal mechanism；Internet

［中圖分類號］F 713.359

［文獻標志碼］A

［文章編號］1005-0310（2016）01-0065-07

DOI：10.16255/j.cnki.ldxbz.2016.02.12

［收稿日期］2014-10-14

［基金項目］攀枝花學院科研項目（2013YB12）。

［作者簡介］陳龍（1981-），男，四川省遂寧市人，攀枝花學院講師，主要研究方向為數論及經濟數學。E-mail:scsnchl @126.com