線性平散時變系統可靠鎮定

甘乃峰　谷曉沛鞍山師范學院　（鞍山114007）

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線性平散時變系統可靠鎮定

甘乃峰谷曉沛
鞍山師范學院（鞍山114007）

摘要研究了套代數框架下線性離散時變系統鎮定控制器的分解，它是從另一個角度研究可靠鎮定問題，并給出了兩個控制器同時鎮定系統以及一個鎮定控制器分解成兩個鎮定控制器的結果，上述結果中控制器的設計依賴于唯一參數的選取。

關鍵詞套代數；線性離散時變系統；控制器分解中圖分類號：O1-0

文獻標識碼：A

文章編號：1003-3319（2016）01-00032-02

控制系統的可靠鎮定考慮的是設計多個控制器同時鎮定系統，當其中部分控制器失效時，剩余控制器仍舊控制系統，它是多重系統同時鎮定的對偶問題.文［1，2］首先提出可靠鎮定問題，并從數學框架角度出發用較少的控制器實現系統的可靠鎮定。

本文主要研究了在套代數框架下平散時變系統的可靠鎮定問題，即給定平散時變系統和一個鎮定控制器情況，設計另一個控制器，使得它們一起鎮定系統，以及一個鎮定控制器分解方法。

1　套代數相關理論

定義2.1［3］：如果N是一個完備套，是它的對應的投影族，

是一個與P對應的套代數。其中B（H）是H中所有有界線性算子構成的代數。再令，那么也是空間上的一個完備套，與其對應的套代數為

值得注意的是，在標準正交基下，套代數中的元素的矩陣表示是一個下三角型矩陣。

關聯性是具有現實意義，即未來的輸入不可能對現時的輸出結果產生影響。

定義2.3［3］：He空間上，按預解拓撲連續的關聯線性變換稱為線性系統。

將He上所有線性系統構成的集合記為L（H）。

2　控制器的設計與分解

引理3.1［3］如果B（H）f∈和，那么f是可逆的。

下面給出文［3］中介紹的反饋系統是鎮定的充要條件的對偶形式。

推論3.2［3］如果系統L（H）L∈具有左互素分解和控制器K具有右互素分解，則是穩定的充要條件在S中可逆。

設

已知鎮定系統L，則

由雙Bezout恒等式可得

帶入上式整理得

因此，

選擇Q1使得，只要，就有

由引理3.1得MM+NN 在S中可逆，由推論3.2得K2鎮定系統L。由此可知，當K1鎮定系統L時，則存在控制器K2也鎮定系統L，并且K1+ K2鎮定系統L。證畢

控制器的分解是從另外的一個角度考慮可靠鎮定問題，即給定鎮定對象L∈L（H）和控制器K，如何分解K=K1+ K2，使得K1及K2單獨作用時均能有效地鎮定系統L。

定理3.4：鎮定系統L∈L（H）的控制器K=（Y-QN?）-1（X+QM?），Q∈S在滿足條件

（I +MY-MQN?）-1∈S 的條件下可分解為

K=K1+ K2且K1，K2分別鎮定系統L。

證明：設可鎮定系統L的左右互素分解分別為L =M?-1N?=NM-1，其中M，N，M?，N?∈S。則鎮定系統L的所有控制器為：

參數稍作變化，不妨設

其中A，B∈S，待定。考慮

參考文獻

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［3］Vidyasagar M and N Viswanadham. Reliable stabilization using a multi-controller configuration. Automatica. 1985，21（5）：599-602.

［4］陳祥杰，王詩宓，方崇智.控制系統的可靠鎮定［C］.中國控制會議論文集，太原，1985，90-95.

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（責任編輯：文婷）