借助錯(cuò)誤資源 深化數(shù)學(xué)思維

楊玲燕

[摘 要]數(shù)學(xué)錯(cuò)誤是學(xué)生數(shù)學(xué)思維不成熟、不嚴(yán)密的外顯形式。數(shù)學(xué)錯(cuò)誤是一種重要的教學(xué)資源。在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師可通過賦予情境、引導(dǎo)糾正、適當(dāng)放大等策略使學(xué)生的錯(cuò)誤轉(zhuǎn)化為有效的教學(xué)資源，并以此為教學(xué)切入點(diǎn)，深化學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

[關(guān)鍵詞]錯(cuò)誤資源 深化 數(shù)學(xué)思維

[中圖分類號] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號] 1007-9068（2016）20-051

在學(xué)習(xí)過程中，任何人都會(huì)犯錯(cuò)誤。通過不斷改正錯(cuò)誤，人們會(huì)逐漸走向成熟，逐漸完善自我。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，錯(cuò)誤是學(xué)生數(shù)學(xué)思維不成熟、不嚴(yán)密的外在表現(xiàn)形式。面對這些錯(cuò)誤，是讓它們自生自滅還是使之為課堂教學(xué)所用，取決于教師是否能臨危不亂和冷靜思考。數(shù)學(xué)錯(cuò)誤是一種重要的教學(xué)資源，教師要善于將學(xué)生的數(shù)學(xué)錯(cuò)誤轉(zhuǎn)化為教學(xué)資源，從而深化他們的數(shù)學(xué)思維。

一、賦予情境——激活數(shù)學(xué)思維

數(shù)學(xué)這門學(xué)科具有很強(qiáng)的抽象性，學(xué)生的思維卻是以形象思維為主，因此他們往往難以理解抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)，進(jìn)而在學(xué)習(xí)過程中犯各種各樣的錯(cuò)誤。教學(xué)中，針對學(xué)生出現(xiàn)的錯(cuò)誤，教師要善于創(chuàng)設(shè)恰當(dāng)?shù)那榫齿o助學(xué)生理解，從而激活他們的數(shù)學(xué)思維。

1.賦予“錯(cuò)誤”以生活化的情境

實(shí)踐證明，無論教師將課堂預(yù)設(shè)做得多么完美，學(xué)生仍然避免不了出現(xiàn)錯(cuò)誤。錯(cuò)誤出現(xiàn)時(shí)，只要教師冷靜觀察和分析，就能發(fā)現(xiàn)這些錯(cuò)誤正好暴露了學(xué)生學(xué)習(xí)的短板所在。這時(shí)，教師可在學(xué)生的錯(cuò)誤處創(chuàng)設(shè)生活化的情境輔助學(xué)生進(jìn)行理解。

例如，教學(xué)“減法的性質(zhì)”時(shí)，我出了一道計(jì)算題：“99-55-35=？”在計(jì)算過程中，我發(fā)現(xiàn)有部分學(xué)生算得的結(jié)果是79，對于這個(gè)答案我感到很疑惑。通過詳細(xì)詢問和檢查，我發(fā)現(xiàn)這部分學(xué)生認(rèn)為反正都是做減法，先算55減35正好能得到一個(gè)整十?dāng)?shù)，這就更方便了后面的計(jì)算。分析原因，我了解到他們沒有真正理解減法運(yùn)算的性質(zhì)。于是我創(chuàng)設(shè)生活化的情境讓學(xué)生重新理解和掌握減法運(yùn)算的性質(zhì)：“老師為學(xué)生做了99朵小紅花，一到學(xué)校就被一班的學(xué)生要去了55朵，后來二班的學(xué)生要去了35朵，現(xiàn)在還剩多少朵給三班呢？”在熟悉的場景下，學(xué)生立馬想到只要將一班和二班要去的數(shù)量相加，再用總數(shù)減去，，就正好得到三班的小紅花數(shù)量了。通過這樣的情境創(chuàng)設(shè)，他們認(rèn)識(shí)到犯錯(cuò)的原因，很快就改正過來。

2.賦予“錯(cuò)誤”以對比性的情境

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生由于知識(shí)水平有限，很容易受到外在信息的影響，發(fā)生知識(shí)的負(fù)遷移，從而導(dǎo)致無法發(fā)揮正常思維水平。這時(shí)候，教師要善于為學(xué)生創(chuàng)設(shè)具有對比性的情境，引導(dǎo)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維朝優(yōu)化的方向發(fā)展。

例如，教學(xué)“分?jǐn)?shù)的應(yīng)用”后，我給出了一道練習(xí)題：“老師準(zhǔn)備用小紅花鋪一條長15米的花路。在大家的努力下，現(xiàn)在已經(jīng)鋪好了■米，還剩多少米？”學(xué)生很快得出算式15-15×■=5（米）。面對學(xué)生的回答，我沒有馬上評價(jià)對錯(cuò)，而是又出示一道題：“老師準(zhǔn)備用小紅花鋪一條長15米的花路，在大家的努力下已經(jīng)鋪好了■，還剩多少米？”一些學(xué)生馬上喊：“這和前面那個(gè)題目不是一樣的嗎？”眼尖的學(xué)生發(fā)現(xiàn)：“呀，是我太粗心了，第一題算錯(cuò)了。”但還有部分學(xué)生堅(jiān)持認(rèn)為兩題的計(jì)算式子都應(yīng)該是15-15×■=5（米）。

師：你們有什么發(fā)現(xiàn)嗎？

生1：前一題的■后面有單位，后一題沒有。

師：對了，既然大家知道這一點(diǎn)，為什么還說兩題一樣呢？現(xiàn)在你們覺得第一題算對了嗎？

生2：算錯(cuò)了，我們忽略了它的單位。第一題沒有我們想的那么復(fù)雜，只需要用15減去■就可以了。

生3：是的，第二題才應(yīng)該用剛才的算式。

師：嗯，能意識(shí)到自己的錯(cuò)誤并且改正，這就值得表揚(yáng)。大家下次做題的時(shí)候可要看清楚了，雖然只是多了一個(gè)單位，但得到的結(jié)果卻大不相同。

第一道題本身是沒有難度的，但為什么卻有那么多的學(xué)生做錯(cuò)了呢？仔細(xì)分析原因，不難發(fā)現(xiàn)，平時(shí)練習(xí)的題目都是問“已經(jīng)鋪好了”，大家對這樣的題目已經(jīng)形成了刻板印象，導(dǎo)致大家容易想當(dāng)然地就憑著經(jīng)驗(yàn)去計(jì)算。通過教師巧妙的點(diǎn)撥，學(xué)生不但發(fā)現(xiàn)自己上了當(dāng)，還深深認(rèn)識(shí)到仔細(xì)審題的重要性，很好地培養(yǎng)了學(xué)生的反思能力。

二、引導(dǎo)糾正——培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維

對于學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中出現(xiàn)的錯(cuò)誤，教師要在找準(zhǔn)學(xué)生出錯(cuò)原因的基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行自主糾正，讓他們自己發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤、分析錯(cuò)誤、糾正錯(cuò)誤，從而深化他們的數(shù)學(xué)思維。

1.就地治錯(cuò)，引導(dǎo)分析

出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，學(xué)生往往無法很快意識(shí)到自己的錯(cuò)誤，有時(shí)甚至?xí)M(jìn)入死胡同，抓不住問題的重點(diǎn)。而且，學(xué)生因?yàn)閷τ趩栴}的認(rèn)識(shí)不足，思考不深入，往往無法準(zhǔn)確判斷問題所在。這時(shí)候，教師必須采用“就地分析、就地治錯(cuò)”的方法，讓學(xué)生自己分析并改正錯(cuò)誤，促進(jìn)思維的發(fā)展。

例如，教學(xué)“認(rèn)識(shí)三角形”時(shí)，有一道題：有一個(gè)等腰三角形，其中兩條邊的長度分別是2厘米和5厘米，求這個(gè)三角形的周長是多少。學(xué)生的計(jì)算結(jié)果有兩種，一種是5+2+2=9（厘米），一種是5+5+2=12（厘米）。還有的學(xué)生覺得兩個(gè)答案都是正確的。針對這兩個(gè)答案，我沒有立刻進(jìn)行評價(jià)，而是問學(xué)生：“同學(xué)們還記得三角形的三條邊之間有什么關(guān)系嗎？”很快有學(xué)生回答：“三角形的兩邊之和必須大于第三邊。”答完后，學(xué)生立刻意識(shí)到問題所在。經(jīng)過討論，他們得出新的結(jié)論：“假如第一個(gè)式子正確，那么2+2=4，小于5，所以這種假設(shè)不成立。第二個(gè)式子中，任意兩邊之和都大于第三邊，因此三角形的周長應(yīng)該是5+5+2=12（厘米）。”

在這一案例中，針對學(xué)生的錯(cuò)誤，我沒有直接否定，而是引導(dǎo)學(xué)生自主思考，利用所學(xué)知識(shí)去判斷，從而發(fā)現(xiàn)自己的錯(cuò)誤，并且進(jìn)行改正。這種方式有利于加深學(xué)生的印象，也有利于讓學(xué)生更清楚地認(rèn)識(shí)到問題所在。

2.自我批判，引導(dǎo)思辨

批判性思維指的是把握問題關(guān)鍵，進(jìn)行科學(xué)分析，運(yùn)用自身智慧進(jìn)行有效判斷的思維方式。數(shù)學(xué)教育的一個(gè)重點(diǎn)是讓學(xué)生養(yǎng)成批判性思維的習(xí)慣。引導(dǎo)學(xué)生對數(shù)學(xué)錯(cuò)誤進(jìn)行批判，能有效促使學(xué)生展開思辨。

例如，教學(xué)“圓錐的體積”時(shí)，我將書上的結(jié)論換成以下的表達(dá)方式：圓柱的體積是圓錐的三倍，由此可知，圓錐的體積是圓柱體積的三分之一。

師：你們認(rèn)為這個(gè)結(jié)論正確嗎？

生：正確。

師：那我們來做個(gè)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證看看吧。大家可要仔細(xì)看好了。

（事先準(zhǔn)備好圓柱和圓錐（兩者底面積不等），將圓錐裝滿水后倒入圓柱，一共倒了5次才將圓柱裝滿）

師：這是怎么回事呢？難道這個(gè)結(jié)論是錯(cuò)誤的嗎？

生1：老師你用的圓錐太小了，沒有和圓柱等底等高。

生2：剛才的結(jié)論條件不足，我們粗心了。

最后，在共同探討下，學(xué)生得出了“在圓錐和圓柱底面積一致且高度相等的情況下，圓錐的體積才是圓柱的三分之一”的結(jié)論。這樣的教學(xué)方式，不但讓學(xué)生學(xué)到知識(shí)，同時(shí)還培養(yǎng)了學(xué)生的批判性思維，實(shí)現(xiàn)了優(yōu)質(zhì)的數(shù)學(xué)教學(xué)。

三、適當(dāng)放大——深化數(shù)學(xué)思維

對于學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中出現(xiàn)的一些錯(cuò)誤，教師可把它視為有效的教學(xué)資源進(jìn)行適當(dāng)放大，以此深化他們的數(shù)學(xué)思維。

1.舉一反三，拓展思維

學(xué)生知識(shí)的積累不能完全從教師那里被動(dòng)地接受，還要經(jīng)過自身的認(rèn)真思考。不同學(xué)生的思維習(xí)慣和方式存在一定的差異，因此對同一問題的看法也會(huì)不同，出現(xiàn)的錯(cuò)誤也并不完全一致。針對學(xué)生的錯(cuò)誤，教師應(yīng)仔細(xì)分析，及時(shí)引導(dǎo)，這樣才能讓學(xué)生在錯(cuò)誤中前進(jìn)，提高學(xué)習(xí)效率。

例如，有一道關(guān)于計(jì)算圖形面積的題目：王大爺?shù)墓麍@呈梯形狀，其中上底6米，下底5米，高2米，請你根據(jù)這些數(shù)據(jù)計(jì)算王大爺果園的面積。由于學(xué)生已經(jīng)掌握了梯形的面積公式，根據(jù)這一公式，可列式（6+5）×2÷2=11（平方米）。雖然學(xué)生都得出了一致的答案，但為了了解學(xué)生對公式的理解程度，檢驗(yàn)是否有學(xué)生不理解這一公式，我抽查了幾個(gè)學(xué)生，讓他們到黑板上將公式寫出來，然后進(jìn)行計(jì)算。他們寫完之后，講臺(tái)下面立刻傳來一陣笑聲。我仔細(xì)一看，原來有個(gè)學(xué)生的計(jì)算結(jié)果是6+5=11（平方米）。

師：你為什么會(huì)這樣算呢？

生：我認(rèn)為梯形的高為2，而且公式后面還需要除以2，兩者正好可以相互抵消，所以我就直接用6+5。

這樣計(jì)算非常簡單，其他學(xué)生聽完之后，也都十分贊同這一說法。針對這一觀點(diǎn)，我提出問題：“假如將它的高改成4米，還可以這樣計(jì)算嗎？”聽到我的疑問，學(xué)生開始思考。不一會(huì)兒，他們終于明白，這種計(jì)算方式只有當(dāng)梯形的高是2的時(shí)候才適用。

2.引導(dǎo)辯論，拓寬思維

針對學(xué)生普遍會(huì)犯的錯(cuò)誤，假如單純依靠教師的糾正，學(xué)生很難留下深刻的印象，再遇到這種情況，很可能還會(huì)繼續(xù)犯錯(cuò)。那么，采取什么方式才能讓學(xué)生加深印象，并且不再犯同樣的錯(cuò)誤呢？我覺得可以采用“辯論”的方式去實(shí)現(xiàn)，讓學(xué)生針對錯(cuò)誤進(jìn)行探討，在相互交流之中發(fā)現(xiàn)問題，解決問題。

例如，教學(xué)“比的應(yīng)用”后，我讓學(xué)生解決這一問題：“有甲、乙兩杯奶茶，甲杯中奶和茶的比例是2∶3，乙中的奶和茶的比為4∶5，假如將這兩杯奶茶進(jìn)行融合，那么融合之后的奶茶中奶和茶的比例是多少呢？”學(xué)生經(jīng)過思考和討論，最終得出了兩種答案——3∶4和19∶26。基于第一種答案，學(xué)生的想法是將甲和乙進(jìn)行充分融合，奶一共有2+4=6，茶一共有3+5=8。學(xué)生的第二個(gè)觀點(diǎn)則是，首先要計(jì)算出兩杯中奶和茶的具體值，然后才能相加。針對這兩種觀點(diǎn)，我讓學(xué)生進(jìn)行討論，表達(dá)自己的看法。這樣，錯(cuò)誤的學(xué)生就能在討論中認(rèn)識(shí)到問題所在，而且學(xué)生之間的交流也有利于營造積極向上的學(xué)習(xí)氛圍。

總之，錯(cuò)誤是難以避免的。學(xué)生出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，教師應(yīng)當(dāng)采用科學(xué)的方法進(jìn)行引導(dǎo)，幫助學(xué)生通過自主思考發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤，從而將錯(cuò)誤轉(zhuǎn)化為有效的教學(xué)資源，深化學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

（責(zé)編 吳美玲）