《數列求和》基本方法與類型探析

呂　驥

(鄂南高級中學，湖北　咸寧　437100)

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《數列求和》基本方法與類型探析

呂驥

(鄂南高級中學，湖北咸寧437100)

數列作為一種特殊的函數，是反應自然規律的基本數學模型，是高中數學的重要內容之一，在高考和各類數學競賽中都占有重要的地位，特別是回歸全國卷以后，數列的深度、廣度和重要性更是上了一個臺階。數列求和又是數列當中的一種基本運算，是數列版塊的重中之重，是數列里的必考內容，因此必須引起廣大師生的特別重視。想要攻克這一重難點，必須掌握數列求和的常見方法和基本類型，以下分別來做介紹：

一、公式法求和

公式法主要是用于解決最基層的數列求和問題的，等差數列和等比數列作為兩種最基本的數列，自然要熟記其求和公式，除此之外，前n個正整數的平方和、立方和公式也是需要熟記的，并沒有太多的技巧。

以下就是一些需要記憶的公式：

(1)等差數列前n項和公式:

其中，Sn為等差數列{an}的前n項和，a1為其首項，d為其公差。

(2)等比數列前n項和公式：

其中，Sn為等比數列{an}的前n項和，a1為其首項，q為其公比，要注意對其公比q是否為l進行判斷。

(3)前n個正整數的和：

前n個正奇數的和：

Sn=1+3+…+(2n-1)=n2

前n個正偶數的和：

Sn=2+4+…+2n=n(n+1)

前n個正整數的平方和：

前n個正整數的立方和：

其中，前n個正整數的和、前n個正奇數的和、前n個正偶數的和直接用等差數列的求和公式來證明；前n個正整數的平方和、前n個正整數的立方和可用數學歸納法證明。

例：(1)已知數列{an}的通項公式an=-2n+11，如果bn=|an|(n∈N)，求數列{bn}的前n項和。

(2)設等比數列{an}前n項和為Sn，若S3+S6=2S9，求數列的公比q

(2)若q=1則S3+S6=9a1,而2S9=18a1,與S3+S6=2S9矛盾，故q≠1，

得2q9-q6-q3=0,2(q3)2-q3-1=0,

方法小結：一旦確定了某數列是等差數列、等比數列或是與前n個正整數相關的求和問題是，就可考慮使用公式法求和。

二、倒序相加法求和

倒序相加法求和是從等差數列求和中抽象出來的一種方法，思路很重要，但使用頻率并不是很高，往往會與函數求值聯系在一起。

例：求數列{2n+1)Cnn}的前n項和.

解：記Sn=Cn0+3Cn1+5Cn2+…+(2n+1)Cnn

則Sn=(2n+1)Cnn+(2n-1)Cnn-1+…+3Cnn-1+Cn0=(2n+1)Cn0+(2n-1)Cn1+…+3Cnn-1+Cnn

兩式相加得，2Sn=(2n+2)(Cn0+Cn1+…+3Cnn-1+Cnn)=2(n+1)·2n

故Sn=(n+1)·2n

方法小結：倒序相加法求和是基于推導等差數列求和而派生的一種求和方法，使用的特點是，與首末等距的兩項和相等。

三、錯位相消法求和

錯位相消法是基于等比數列求和推導出來的一種求和方法，需要注意在和式兩邊同乘的數是否為1，這是一種考察頻率極高的求和方法，要特別重視。

例：(1)已知數列{an}是等差數列，且a1=2,a1+a2+a3=12，.

(Ⅰ)求數列{an}的通項公式；

(Ⅱ)令bn=an·3n(n∈N*),，求數列{bn}的前n項和的公式.

解: (1)(Ⅰ)∵a1=2,a1+a2+a3=12

∴3a1+3d=12,即d=2

∴an=2+(n-1)·2=2n.

(Ⅱ)由已知：bn=2n·3n

∵Sn=2·3+4·32+6·33+…+2n·3n+1

3Sn=2·32+4·33+…+2(n-1)·3n+2n·3n+1

Tn=2×20+3×21+4×22+…+(n+1)×2n-1

①

2Tn=2×21+3×22+…+n×2n-1+(n+1)×2n

②

∴Tn=n·2n

方法小結：形如an=bn·cn的數列{an}可考慮使用錯位相消法求和，其中{bn}為差數列，{cn}為等比數列。錯位相消法求和有很多計算方面的易錯點，對計算的精細要求程度非常高，從常規教學情況來看，許多學生知道方法但不一定能算出準確的結果，是考試中的一個拉分點。

四、裂項相消法求和

數列{an}的通項如果能拆成形如an=f(n)-f(n-k)(k=1,2…)的形式，那么在求和時就可以進行相鄰項(或相隔幾項)的相互消去，從而結果只存在有限幾項，達到求和目的。其中通項公式為分式和根式的采用裂項相消法求和較多。

(2)已知等差數列{an}滿足：a3=7，a5+a7=26,{an}，的前n項和為Sn。

(Ⅰ)求an及Sn；

故該數列的前99項之和等于9，

(2)(Ⅰ)設等差數列{an}的公差為d，

(Ⅱ)由(Ⅰ)知an=2n+1，

方法小結：常見的裂項方法有：

(4)an=Sn-Sn-1(n≥2)，其中Sn為數列{an}的前n項和

五、并項相加法求和

形如{(-1)n-1·an}(其中{an}為等差數列)的數列可考慮用并項法求和，求和時注意對n的奇偶性進行分類討論.

例：(已知數列{(-1)n-1(4n-3)}的前n項和為Sn，求S15+S22-S31的值。

∴S15=29,S22=-44,S31=61,

∴S15+S22-S31=-76

方法小結：在并項求和時要注意：

(1)相鄰兩項一組，如果項數為奇數，那么會留出一項，項數為偶數，那么剛好分組。所以要對項數進行奇偶的分類討論；

(2)在項數為偶數的求和過程中要注意的取值變化不再是1,2,3,…，而是2，4，6，…，所以求和時的項數會對應發生改變；

(3)對項數為奇數的求和可利用前面偶數求和的結論，可以大大簡化求和過程.

六、分組法求和

如果數列{an}的通項公式是前幾種可求和形式的和與差，那么在求和時可將通項公式分成這幾部分分別求和后，再將結果進行相加減。

例：(1)已知an=n(n+1)(n+2)，求數列{an}的前n項和Sn。

(2)求和：Sn=(a-1)+(a2-2)+…+(an-n),a為非零常數。

解：(1)an=n(n+1)(n+2)=2n3+3n2+n，

∴Sn=2(13+23+…+n3)+3(12+22+…+n2)+(1+2+…+n)

方法小結：若數列{an}本身不是等差數列，不是等比數列，也不具備整體使用倒序、裂項、錯位、并項求和的特點，可考慮將其適當拆開，分成幾個等差、等比或常見的數列分別求和，再將其合并。

文章編號：2095-4654(2016)05-0144-03

* 收稿日期：2015-12-20