二維非線性非局域PT對稱光晶格中的孤子

陳順芳，成樂濤，金　剛

(1.湖北科技學院　電子與信息工程學院,湖北　咸寧　437100;2.通山一中,湖北　通山　437600 3.通城二中，湖北　通城　437400)

?

二維非線性非局域PT對稱光晶格中的孤子

陳順芳1，成樂濤2，金剛3

(1.湖北科技學院電子與信息工程學院,湖北咸寧437100;2.通山一中,湖北通山437600 3.通城二中，湖北通城437400)

摘要：本文研究了非局域非線性(2+1)維PT對稱光晶格勢中孤子的傳輸特性。首先，使用改進的平方算符法得到孤子數值解，然后用傅里葉配點法得到了孤子的穩定性情況，對于孤子在介質中傳輸的穩定性情況我們采用分布傅里葉算法得到了它的傳播情況。分析了線性和非線性情況下光束的不同傳播行為。研究發現在非局域非線性(2+1)維PT對稱光晶格勢中，孤子是否存在與它的傳播常數，調制深度有著密切的關系，孤子的強度會隨著傳播常數的增大而增加，穩定性卻隨之減弱。當光功率超過一定值時孤子不能穩定傳輸。

關鍵詞：非局域非線性；改進的平方算符法；帶隙孤子；分步傅里葉算法

孤子又叫孤立子，它是一種特殊的超短脈沖，孤立波是一種在傳播過程中保持形狀、速度、幅度不變的脈沖狀行波[1]。鑒于孤子具有的這些特性，孤子系統在現實世界有著廣泛的應用潛力[2]。因此，孤子的形成及其傳輸特性的研究在目前是一個十分誘人的課題。

近年來, 非局域非線性介質中的空間孤子一直是研究的熱點,人們對它們的各種獨特的性質例如相互作用、穩定性進行了大量研究[3-6]。介質中非局域亮孤子間的相互作用取決于它們間的相位差、相干程度、材料的非線性非局域程度; 非局域基態和二階體亮孤子總是穩定的, 而高階亮孤子是震蕩不穩的, 但如果樣品的寬度超過一臨界值, 三階、四階體亮孤子在其存在區域也總是穩定的。 非局域表面亮孤子的穩定性與體亮孤子的穩定性相似：基態和二階表面亮孤子總是穩定的，高階表面亮孤子是震蕩不穩的。非局域基態界面亮孤子總是穩定的, 二階及以上高階界面亮孤子是震蕩不穩的[7～9]。 與非局域亮孤子相比，由于其邊界的特殊性，對非局域暗孤子相互作用及其穩定性的研究甚少。非局域暗孤子間的相互作用取決于孤子間距離以及介質的非局域程度，并存在著一個相互作用的臨界點。 2+1維非局域暗孤子由于橫向不穩定性容易分裂并演變成渦旋孤子，其暗孤子的穩定性如何, 目前還沒有文章對其進行過具體研究.

本文基于二維非局域非線性薛定諤方程, 在前期研究[10～22]的基礎上，通過數值模擬得到非局域暗孤子解, 然后提出了暗孤子穩定性分析理論, 并對其數值求解得到了非局域暗孤子的穩定性分析圖, 最后利用加噪聲的傳輸驗證了穩定性分析理論的正確。

一、理論模型

非局域非線性介質中的近軸光束的傳輸特性，沿z軸傳播的光束滿足歸一化的(2+1)維非局域非線性薛定諤方程[23]

(1)

其中u為無量綱光場包絡波，z軸為光束傳播軸，x軸和y軸為垂直于傳播軸的光束展寬方向。V(x,y)和W(x,y)分別為PT對稱晶格勢的實部和虛部，T表示調制深度。μ∫-∞+∞g(x-λ)g(y-λ)|u(λ)2|dλ表示非局域的形式，PT對稱晶格勢為

V(x,y)=(sech2(x)+sech2(y))(cos(2x)+cos(2y))，

(2a)

W(x,y)=W0(tanh(2x)tanh(2y))(cos(2x)+cos(2y)),

(2b)

圖1　PT勢的強度分布 (a)(b)(c)偶對稱V；(d)(e)(f)奇對稱W

假設方程(1)中孤子解的形式為u=f(x·y)eibz，其中b為傳播常數，模f(x,y)滿足下列方程

uxx+ivxx+uyy+ivyy+T(uv+ivw+ivv-vw)+(u+iv) ∫-∞+∞g(x-λ)g(y-λ)|u2+v2|dλ=b(u+iv),

(3)

我們用改進的平方算符方法對方程(3)進行數值求解，得到PT孤子模。為了研究所得孤子的穩定性，我們對方程(1)采用微擾解:

U=eiμz{f(x,y)+[g(x,y)-h(x,y)]eλz+[g(x,y)+h(x,y)]*eλ*z}

(4)

其中g(x,y),h(x,y)?f(x,y)為微擾項。將微擾后的U(x,y,z)代入方程(1)，然后對g(x,y)和h(x,y)進行線性化，得到它們的本征值方程:

uxx+ivxx+uyy+ivyy+T(uv+ivw+ivv-vw)+ξu3+ξiu2v+ξuv2+ξiv3=bu+ibv

(5)

令∫-∞+∞g(x-λ)g(y-λ)dλ=ξ則:實部：uxx+uyy+T(uv-vw)+ξu3+ξuv2=bu,虛部：vxx+vyy+T(vw+vv)+ξu2v+ξv3=bv.此本征值問題可以改寫為

(6)

其中

A1=uxxuyy+Tv+3ξu2+ξv2-b,A2=-Tw+2ξuv,B1=Tw+2ξuv,B2=vxx+vyy+Tv+3ξv2+ξu2-b,此本征值問題可以通過傅里葉配點法進行求解，若本征值的實部為零，則孤子線性穩定，反之，線性不穩定。

為了便于討論，取PT勢的虛部強度W0=0.1。PT勢的分布如圖1所示，可以看到其實部V 關于原點偶對稱，虛部W關于原點奇對稱。

二、孤子的形成與分布

首先對方程(1)進行求解得到基模孤子，由圖可以看出功率P隨著傳播常數μ的增加而增加，隨著調制深度參數T的增加P減小。孤子在光晶格傳輸有一個存在的區域與穩定的區域，且隨著T的增大，μ1和μ2均增加。孤子的能量為P=∫-∞+∞∫-∞+∞|f(x,y)|2dxdy。圖2(a)(b)(c)表示不同調制深度T和傳播常數μ時基極孤子的強度分布。圖2(d)(e)(f)是對應孤子實部與與虛部的光場分布，圖2(g)(h)(i)是對應孤子的穩定性光譜，我們在計算仿真過程中發現第一帶隙結構中的基模孤子可以保持穩定，通過線性穩定性分析我們得到了三組孤子的穩定性光譜，由于僅僅包含虛部本征值，因此這個孤子是穩定的。

圖2(a)(b)(c) 基模孤子強度分布圖，參數為(a)T = 3，μ= 6.4，(b) T = 3，μ= 8.6，(c) T =6，μ= 8.6，(d)(e)(f)基模孤子光場分布(實部是實線，虛部是虛線)；(g)(h)(i) 基模孤子線性穩定性光譜

圖3　(a)(b)(c) 偶孤子強度分布圖，參數為(a)T = 5，μ= 8.4，(b) T = 5，μ= 9.6，(c) T =7，μ= 9.6，(d)(e)(f)偶孤子光場分布(實部是實線，虛部是虛線)；(g)(h)(i) 偶孤子線性穩定性光譜

圖4　(a)(b)(c)是偶孤子對應圖3 (a)(b)(c)在z=400的輸出；(d)(e)(f)是偶孤子在z=400的輸出時刻的相位分布。參數為(a)T = 5，μ= 8.4，(b) T = 5，μ= 9.6，(c) T =7，μ= 9.6。

圖3(a)(b)(c)表示不同調制深度T和傳播常數μ時偶孤子的光場分布，當T=5，傳播常數μ增加時，圖3(b)中孤子的光強大于3(a)；當μ=9.6時，圖3(c)中孤子的光強小于3(b)。圖3.3(d)(e)(f)時對應的偶孤子的光場實部虛部分布圖，可以看出它是實部關于原點偶對稱，虛部關于原點奇對稱。圖3.3(g)(h)(i)是對應孤子的線性穩定性光譜，可以看出(g)(i)都是穩定的，(h)是不穩定的。這是由于方程(1)中的非線性項與非局域度之間的相互作用，非線性效應加強光束寬度變小抑制了孤子的能量轉移，使得在這種平衡狀態下得到穩定孤子。偶孤子之間存在著相互排斥的作用，所以在得到穩定的二極孤子時需要對基極孤子更大的調制深度，進而分裂得到偶孤子。 P隨μ的增大而增大，其中，調制深度T增大，功率P隨μ的增加而增加的速率變慢。隨著T的增加P減小，其中，傳播常數μ增大。

接著我們用分布傅里葉算法得到了偶孤子的傳輸圖像。圖4 (a)(b)(c)和(d)(e)(f)分別為偶孤子在Z=400時的輸出圖像和相位分布。由圖4(a)(c)可見經過較長距離的傳輸后偶孤子能夠在吸收微擾白噪聲能量后保持其原有波形，從而傳輸穩定。而由圖4 (b)我們可以看到孤子在經過較長距離的傳輸后發生了失真，波形嚴重變形，這是由于發生能量轉移，使得孤子不穩定。從而證明了線性穩定性分析的結果。

三、結論

通過研究我們得出帶隙基模孤子的功率P隨著傳播常數μ的增加而增加，隨著調制深度參數T的增加功率P減小。孤子在光晶格傳輸有一個存在的區域與穩定的區域，且隨著T的增大，μ1和μ2均增加。我們發現在第一帶隙結構中的基模孤子可以保持穩定，通過線性穩定性分析我們得到了三組孤子是穩定的，而偶孤子之間存在著相互排斥的作用，所以在得到穩定的二極孤子時需要對基極孤子更大的調制深度，進而分裂得到偶孤子。功率P隨傳播常數μ的增大而增大，調制深度T增大，功率P隨μ的增加而增加的速率變慢。隨著T的增加P減小，傳播常數μ增大。

參考文獻：

[1]黃景寧，徐濟仲，熊吟濤．孤子：概念、原理和應用[M]．北京：高等教育出版社，2004.

[2] 何影記．空間孤子傳輸的研究[D]．激光與光譜學研究所光電材料與技術國家重點實驗室,2007.

[3]SiliuXu,MilivojR.Belic,Three-dimensionalHermite-Besselsolitonsinstronglynonlocalmediawithvariablepotentialcoefficients,OpticsCommunications,2014,313(15):62～68.

[4]A.Guo,G.J.Salamo,D.Duchesne,R.Morandotti.et,al.,ObservationofPT-SymmetryBreakinginComplexOpticalPotentials[J].Phys.Rev.Lett.2009,(103): 093902-093905.

[5]M.C.Zheng,D.N.Christodoulides,R.Fleischmann,andT.Kottos,PTopticallatticesanduniversalityinbeamdynamics[J].Phys.Rev.A2010,(82):010103～010109.

[6]SiliuXu,JiangchuLiangandLinYi,SpatialSolitonSolutionsinaHarmonicPotential[J].CHIN.PHYS.LETT.,2009, (26): 074215-0742219.

[7]SiliuXu,JiangchuLiangandZhongmingLi,Self-similarspatiotemporalsolitarywavesinBesselHermiteopticallattices[J].Chin.Phys.B,2011,20,11～17.

[8] 徐四六,劉會平, 易林, 強非局域非線性介質中的二維庫墨-高斯孤子簇[J].物理學報, 2010,59(2):1069.

[9]高星輝, 張承云, 唐冬,等. 非局域暗孤子及其穩定性分析[J]. 物理學報, 2013, 63(4):228～232.

[10]SiliuXu,JiangchuLiangandLinYi,Self-similarsolitarywavesinBesselopticallattices[J].J.Opt.Soc.Am.B,2010, 27(1):99～106.

[11]SiliuXu,JiangchuLiangandLinYi,ExactsolitonsolutionstoageneralizednonlinearSchrodingerequation[J].Commun.Theo.Phys.,2010,(531):59～66.

[12]SiliuXu,MilivojR.Belic,andWei-PingZhong,Three-dimensionalspatio-temporalvectorsolitarywavesincouplednonlinearSchrodingerequationswithvariablecoefficients[J].J.Opt.Soc.Am.B,2013, 30(1):113～122.

[13]SiLiuXu,NikolaZ.Petrovic,MilivojR.Beli?,Vortexsolitonsinthe(2+1)-dimensionalnonlinearSchrodingerequationwithvariablediffractionandnonlinearitycoefficients[J].Phys.Scr.2013, (87):045401～045407.

[14]SiliuXu,MilivojR.Belic,Three-dimensionalHermite-Besselsolitonsinstronglynonlocalmediawithvariablepotentialcoefficients[J],OpticsCommunications,2014,313(15), 62～69.

[15]SiliuXuandMilivojR.Belic,LightbulletsinspatiallymodulatedLaguerre-Gaussopticallattices[J].J.Opt.Soc.Am.B,2013, 30 (10): 2715～2721.

[16]SiliuXu,MilivojR.Belic,Lightbulletsinthree-dimensionalcomplexGinzburg-LandauequationwithspatiallymodulatedKummer-Gaussopticallattice，EPL,2014, (108):34001～34007.

[17]Z.Lin,H.Ramezani,T.Eichelkraut,T.Kottos,H.Cao,andD.N.hristodoulides[J].Phys.Rev.Lett.2011,(106):213901～213904.

[18]S.L.Xu,M.R.Belic,LightbulletsincouplednonlinearSchrodingerequationwithspatiallymodulatedcoefficientsandBessel,trappingpotential[J].J.Mod.Opt.2015,(62):683～692.

[19]S.L.Xu,N.Petrovic,M.R.Belic,Exactsolutionsofthe(2+1)-dimensionalquinticnonlinearSchrodingerequationwithvariablecoefficients,NonlinearDyn.2015, (80):583～589.

[20]S.L.Xu,G.P.Zhou,N.Z.Petrovic,andM.R.Belic,NonautonomousvectormatterwavesintwocomponentBose-Einsteincondensateswithcombinedtime-dependentharmonic-latticepotential[J].J.Opt.17,2015.105605～105611.

[21]H.Ramezani,T.Kottos,R.El-Ganainy,andD.N.Christodoulides,UnidirectionalNonlinearPT-symmetricOpticalStructures[J].Phys.Rev.A,2010, (82)：043803～043809.

[22]Si-LiuXu,Jia-XiCheng,MilivojR.Belic,Zheng-LongHu,andYuanZhao,Dynamicsofnonlinearwavesintwo-dimensionalcubic-quinticnonlinearSchrodingerequationwithspatiallymodulatednonlinearitiesandpotentials[J].OPTICSEXPRESS,2016,24(9)：10066～10077.

[23]Z.Y.Zhang,andS.J.Xiong,Effectoflayer-thicknessrandomnessongapsolitonsandopticalbistabilityinnonlinearsuperlatticeswithphotonicstopgaps[J].Phys.Rev.B,1997，(55)：10302～10306.

文章編號：2095-4654(2016)05-0001-05

* 收稿日期：2016-02-01

中圖分類號：TN929.11

文獻標識碼：A