基于流形思想的有限條法初步研究

祁勇峰　蘇海東　頡志強　龔亞琦

(1. 長江科學院 水利部水工程安全與病害防治工程技術研究中心； 2. 長江科學院 材料與結構研究所， 武漢　430010)

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基于流形思想的有限條法初步研究

祁勇峰1，2蘇海東1，2頡志強1，2龔亞琦1，2

(1. 長江科學院 水利部水工程安全與病害防治工程技術研究中心； 2. 長江科學院 材料與結構研究所， 武漢430010)

摘要：針對梁、板等結構，有限條法是一種高效的計算方法，但一直以來只能分析規則形狀的結構，從而限制了其應用范圍．應用流形法數學網格與物理網格分離的特性，提出基于流形思想的有限條法，將以往只能用于規則形狀的有限條法擴展到分析復雜形狀．在計算域采用長條形的矩形數學網格覆蓋，在長條方向通過結點的強制約束實現條向的高階多項式級數分布，而垂直于條向為常規的有限元插值方式，并推導相應計算公式．最后，應用深梁、重力壩算例驗證了此方法的有效性．

關鍵詞：有限條法；流形；復雜形狀

有限條法[1]在20世紀60年代末由張佑啟(YK.Cheung)博士創立．該方法將連續體離散為條元，在不同方向采用不同的離散方式，類似于求解微分方程時的分離變量法．其中比較簡單的一種離散方式是：在一個方向上采用有限元低階多項式，在其他方向采用連續可微光滑的級數或樣條函數．有限條法是解決板、殼、梁問題的半解析有限元法，除了位移函數的選擇有所不同外，其它方面和有限單元法完全類似．基于上述特點，有限條法作為一種結構分析的有效方法在彈性小變形領域得到了廣泛的應用．國內外關于有限條法的研究也比較深入，但大多只是用來研究較為規則的形狀(如矩形板、梁、殼等)[2-4]，僅少數文獻采用樣條有限條法分析其他形狀(通過映射到一個矩形區域)的板問題，其應用范圍受到了一定限制．

留美學者石根華博士提出了一種全新的數值分析方法—數值流形方法[5](以下簡稱流形法)．流形法采用兩套網格，即物理網格和數學網格，兩套網格相互獨立，數學網格用來定義插值域，物理網格用來定義結構邊界和積分區域，物理網格與數學網格的交集，稱為流形元，可具有任意的形狀．流形法的一個獨特之處在于，在數學網格保持不變的前提下，可通過覆蓋函數升階或在覆蓋上構造特殊的覆蓋函數來提高插值域內的求解精度，自適應相對靈活．為此，利用流形法數學網格與物理網格分離的特性以及上述優勢，并結合石根華博士提出基于流形的有限條法思想，可將有限條法推廣到任意形狀，本文將對這種全新的思想進行初步研究．

1有限條法的力學模型

有限條法可看作是有限元的一種特殊形式，是一種半解析法，適應于比較規則的結構．有限條法也需將連續體離散化，但不能像有限元那樣可沿任意方向離散，而只能沿某一方向離散．如圖1所示矩形深梁，用有限條分析(矩形長條單元)的網格劃分如圖1所示，結構沿x方向等分成若干條帶．

圖1　有限條的離散方式

2基于流形思想的有限條法

如圖2(a)所示的條狀網格，如果數學網格與物理網格一致，在水平向采用有限元的離散方式，而在垂直向使用強制約束信息(括號中的數據)，使之采用同一個覆蓋函數(比如通常有限條中為滿足邊界條件而采用的三角類級數)，則流形法就成為通常的有限條法．如圖2(b)所示，不規則形狀的結構(如重力壩)也用條狀的數學網格覆蓋．由于流形法具有物理網格和數學網格分離的特性，當采用多項式覆蓋函數時，單純形積分可以保證不規則形狀積分的準確性，因此流形法可以將有限條法推廣到任意形狀．

圖2　條狀覆蓋系統

筆者在文獻[6]中實現了在流形法網格內的結點采用不同的覆蓋函數，其矩形網格的位移函數表達式如下

(1)

式中，Wi(x，y)為權函數，uij，vij為覆蓋函數的系數；m(i)為定義在結點i上的多項式覆蓋函數項數，根據不同的結點i，m(i)取不同的項數；tj(x，y)是多項式基底，一般采用如1，x，y等的全局覆蓋函數形式，表示為xn-kyk(其中n=0～p，p為最高階數，k=0～n)．

在式(1)基礎上，進一步改進流形元的計算公式，使不同方向可以采用不同的多項式函數，即局部多項式覆蓋函數xn-kyk中取n=k，從而實現x向為0階的重疊覆蓋流形元，y向為高階多項式覆蓋函數，在結線上為

(2)

式中，p為最高階數，結線j1和j2之間的條形內部用權函數連接

(3)

其中wj1、wj2為一維權函數．

在y向采用多項式級數，一般不能保證滿足本質邊界條件，因此本文仍然采用一般流形法的罰函數方式引入邊界條件．

基于流形思想的有限條法具有獨特的覆蓋形式和表示方式，本文應采用一套新的計算公式，考慮到文獻[6]中基于部分重疊流形法思想，已推導出一套成熟的單元矩陣分析公式，其公式可用于本文，只是位移覆蓋函數表達式(式2、3)不同而已．因此，本文相關單元矩陣公式從略．

3算例分析

3.1深梁受分布荷載作用算例

首先計算規則的有限條．如圖3所示的深梁，幾何尺寸為1 m×1 m，兩端固定約束，頂部作用有P=1 000 kN/m的分布荷載．彈性模量E=0.3 GPa，泊松比μ=0.1．圖4為數學網格，劃分8個矩形條(數學網格)，圖5為流形元網格，圖6的稠密有限元網格作為對比，共計256個有限單元．分別采用3階、4階、5階覆蓋函數的流形法進行計算．流形法與有限元法的計算結果如圖7～8所示．

圖3　深梁示意圖　　　　　圖4　數學網格

圖5　流形元　　　　　　圖6　有限單元

圖7　流形法與有限元法的各條中心點y向位移比較

圖8　流形法與有限元法的各條中心點y向正應力比較

由圖可知，3階流形法與有限元法的計算結果已比較接近，4階、5階流形法與有限元的計算結果基本吻合．這表明基于流形思想的有限條法可以很好地計算通常的規則形狀的有限條．

3.2重力壩受水壓作用算例

如圖9所示的重力壩，壩高100 m，壩底長為60 m，壩頂寬度20 m，庫水深80 m．壩體彈性模量為30 GPa，泊松比為0.167．其中x向為順水流向，y向為豎直向．計算上游面承受庫水壓力情況下的應力和變形．采用矩形條的數學網格(如圖10所示)計算壩體變形，采用稠密網格的有限元計算結果(如圖11所示)作為對比，劃分1 080個4結點等參元．

圖9　深梁示意圖　　圖10　數學網格

圖11　有限元網格　　　圖12　流形元

由圖13～15計算成果對比可知，3階流形法與有限元法的位移計算結果已經比較接近．而上游面的應力在采用5階流形法時，靠近壩踵附近部位由于約束的影響難以獲得較好的結果．因此，將覆蓋升階至7階甚至9階后，應力有了很大改善，與有限元解很接近．以上重力壩算例說明，基于流形思想的有限條法也可以較好地計算非規則形狀的結構．這樣就將通常只能計算規則形狀的有限條法擴展為計算一般的形狀．對于某些計算結果不理想的區域，通過提高該覆蓋中的多項式階數也可以提高計算精度．

圖13　上游面不同高程特征點x向位移

圖14　特征點x向應力結果對比

圖15　特征點y向應力結果對比

4結論與展望

為了與以往的常規有限條保持一定的相似性，本文在垂直于條形的方向采用了有限元的插值方式，即完全重疊的0階多項式覆蓋，而垂直于條向為常規的有限元插值方式，形成了基于流形思想的有限條分析方法，將以往只能用于規則形狀的有限條法擴展到分析復雜形狀，并應用深梁、重力壩算例驗證了這種方法的有效性．進一步可以在條形方向采用相對高階多項式覆蓋函數，從而提高此方向的計算精度或相應地減少條的數目，也可嘗試其它類型的級數，如有限條法經常采用的三角類級數，但應注意數值積分的精度問題．

在此基礎上，可以研究三維有限條，而在另一方向上采用低階插值方式．針對梁、板等結構，有限條法是一種高效的計算方法，但一直以來只能分析規則形狀，從而限制了其應用范圍，研究趨于停滯．本文將其擴展到分析不規則形狀，有望使這種沉寂多年的高效數值方法煥發新的活力．

參考文獻：

[1](英)張佑啟．結構分析的有限條法[M]．謝秀松，等譯．北京：人民交通出版社，1985．

[2]程遠勝，張佑啟，區達光．有限條法分析板在移動車載作用下的動響應[J]．應用數學與力學，2002，23(5)：453-458．

[3]馮侃，徐吉峰．基于升階譜有限條法的復合材料壁板結構穩定性分析[J]．固體力學學報，2015，36(4)：346-352．

[4]Lezin S. Minsili， 夏禾，等．混凝土板梁的有限條法簡化分析(英文)[J]．北京交通大學學報，2009，33(6)：61-69．

[5]石根華．數值流形方法與非連續變形分析[M]．裴覺民，譯．北京：清華大學出版社，1997．

[6]祁勇峰，蘇海東．部分重疊覆蓋的流形法研究報告[R]．武漢：長江科學院，2012．

[責任編輯王康平]

DOI：10.13393/j.cnki.issn.1672-948X.2016.03.004

收稿日期：2016-01-13

基金項目：國家自然科學基金青年基金項目(51409012)；中央級公益性科研院所基本科研業務費項目(CKSF2014054/CL、CKSF2016022/CL)

通信作者：祁勇峰(1978-)，男，高級工程師，主要從事水工結構研究．E-mail：qiyf@mail.crsri.cn

中圖分類號：TV64

文獻標識碼：A

文章編號：1672-948X(2016)03-0015-04

Preliminary Study of Finite Strip Method Based on Manifold

Qi Yongfeng1,2Su Haidong1,2Jie Zhiqiang1,2Gong Yaqi1,2

(1. Research Center on Water Engineering Safety & Disaster Prevention of Mimistry of Water Resources，Yangtze River Scientific Research Institute，Wuhan 430010，China；2．Material & Engineering Structure Department，Yangtze River Scientific Research Institute，Wuhan 430010，China)

AbstractThe finite strip method is an efficient calculation method for beams or plates and other structures; but it is only used for analyzing regular shape, so as to limit its application scope. Based on separation characteristics of mathematical meshes and physical meshes of numerical manifold method, a finite strip method based on the manifold is proposed, which can be used for analyzing complex shape but not limited to regular shape.` In Calculation domain, rectangle mathematical cover of strip shape is adopted, in which the high order polynomial is carried out by forced node constraints in strip direction and the interpolation function for conventional finite element method in vertical direction; and then a corresponding formula is also derived. Finally, the validity of new method is demonstrated by case studies of deep beams and gravity dam．

Keywordsfinite strip method；manifold；complex shape