數(shù)學(xué)是一門求簡(jiǎn)的學(xué)問

向利平

數(shù)學(xué)是一門求簡(jiǎn)的學(xué)問

向利平

道家哲學(xué)中有一個(gè)大道至簡(jiǎn)的大道理。所謂大道至簡(jiǎn)，就是大道理是極其簡(jiǎn)單的，簡(jiǎn)單到一句話、幾個(gè)字就能說明白。

數(shù)學(xué)所追求的就是至簡(jiǎn)，力求用最簡(jiǎn)單的方法研究數(shù)量關(guān)系和空間形式，力求用最簡(jiǎn)潔的方式詮釋數(shù)量關(guān)系和空間形式。

現(xiàn)實(shí)世界中有形態(tài)各異、豐富多彩的物體，它們構(gòu)成了我們的生活空間，也給我們帶來了很多值得研究的問題。各種各樣的物體除了具有顏色、質(zhì)量、材質(zhì)等性質(zhì)外，還具有形狀、大小和位置關(guān)系。如何用最簡(jiǎn)單的方式簡(jiǎn)潔地表示物體的形狀、大小、位置關(guān)系這些本質(zhì)的事情呢？于是，數(shù)學(xué)便拋開顏色、質(zhì)量、材質(zhì)等屬性，用虛擬的點(diǎn)、線、面將具體的物體抽象成幾何體，數(shù)學(xué)也隨之有了一片廣闊的天地。

為了表示數(shù)量關(guān)系，數(shù)學(xué)引入了字母，用字母表示數(shù)，并輔之相應(yīng)的表示關(guān)系的符號(hào)。于是，復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系便可用簡(jiǎn)單明了的數(shù)學(xué)表達(dá)式來描述。于是，簡(jiǎn)單的a=b×c具有了普遍性意義，包含了更豐富的實(shí)際背景。數(shù)學(xué)就是力求用簡(jiǎn)潔的表達(dá)式表示一般性規(guī)律。

簡(jiǎn)單的一句“兩點(diǎn)之間，線段最短”背后蘊(yùn)含著大道理。“兩數(shù)相乘，同號(hào)得正、異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相乘”，加一個(gè)字顯得多余，少一個(gè)字便不嚴(yán)謹(jǐn)。數(shù)學(xué)的文字語言講究的就是簡(jiǎn)潔，簡(jiǎn)潔中又不失嚴(yán)謹(jǐn)，簡(jiǎn)潔中描述具有普遍意義的規(guī)律，簡(jiǎn)潔中詮釋數(shù)學(xué)中的大道理。

數(shù)學(xué)研究中常常會(huì)遇到一類特殊的問題，1× 2×3×…×n、1+2+3+…+n，書寫起來很不方便，于是我們引入了階乘符號(hào)！和求和符號(hào)∑，用簡(jiǎn)潔的符號(hào)表達(dá)復(fù)雜的數(shù)學(xué)式子。用Rt△表示直角三角，用//表示平行，用≌表示形狀相同、大小相等的全等。數(shù)學(xué)符號(hào)產(chǎn)生和發(fā)展的歷史就是一部數(shù)學(xué)求簡(jiǎn)的歷史。

三個(gè)角、三條邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形當(dāng)然全等，但是這里的條件太多了，顯得有些復(fù)雜，能不能將條件減少一些呢？于是，我們嘗試找最少的條件。為了使找的工作簡(jiǎn)單些，既要保證不遺漏，又要不做重復(fù)勞動(dòng)，我們便對(duì)三條邊、三個(gè)角這6個(gè)條件進(jìn)行有序分類。先把一邊對(duì)應(yīng)相等，兩邊對(duì)應(yīng)相等，三邊對(duì)應(yīng)相等，兩邊、一角對(duì)應(yīng)相等，一邊、兩角對(duì)應(yīng)相等，三角對(duì)應(yīng)相等一一列出來，然后逐條否定或肯定，最終得出了全等三角形判定的方法“邊邊邊”“邊角邊”“角邊角”和“角角邊”。

北宋詩人蘇軾的《題西林壁》有一句“橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同”告訴我們，不論是看一件事情還是認(rèn)識(shí)一個(gè)物體，從一方面看往往是不全面的，很有可能發(fā)生誤判。數(shù)學(xué)中認(rèn)識(shí)幾何體也一樣，僅從一個(gè)方向看（比如說正面），你往往看不到這個(gè)幾何體的全面。當(dāng)然，我們可以從上、下、左、右各個(gè)方向去看，甚至可從更多的方向去看。數(shù)學(xué)求簡(jiǎn)的特點(diǎn)自然引出了這樣的話題——能否既使所看的方向最少又能準(zhǔn)確地認(rèn)識(shí)幾何體呢？順著這一求簡(jiǎn)的思路，數(shù)學(xué)中提出了主視圖、左視圖和俯視圖。數(shù)學(xué)就是這樣追求用最少的條件認(rèn)識(shí)所研究的對(duì)象。

為了求解方程ax2+bx+c=0（a≠0），我們想到了配方法——將方程左邊配成含有未知數(shù)的平方式，常數(shù)項(xiàng)放在方程的右邊，根據(jù)平方根的意義可以得到方程的兩個(gè)根但每次都這樣配方顯得麻煩，于是便將這個(gè)具有普遍意義的結(jié)論作為一元二次方程的求根公式，使求解變得簡(jiǎn)單易行。在進(jìn)行多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)運(yùn)算結(jié)論簡(jiǎn)潔易記。為了減少再次運(yùn)算時(shí)各項(xiàng)都相乘的麻煩，便有了平方差、立方和（差）公式。有了這些公式，將類似的多項(xiàng)式分解成兩個(gè)因式的乘積形式便呼之即出了。數(shù)學(xué)中之所以規(guī)定一些公式、定理，用一些公式和定理推導(dǎo)得出新的公式和定理，本質(zhì)上是為了減少推導(dǎo)過程中的機(jī)械重復(fù)勞動(dòng)，也就是求簡(jiǎn)。

為了求得兩堆物體的總量有多少個(gè)，最原始的辦法是一個(gè)一個(gè)往下數(shù)，直至全部數(shù)完。是不是可以將數(shù)的過程簡(jiǎn)化呢？我們引入了加法運(yùn)算——求兩個(gè)數(shù)的和。

在進(jìn)行加法運(yùn)算時(shí)，有時(shí)我們會(huì)遇到一類特殊的問題——已知和，求其中一個(gè)加數(shù)。為此，我們必須倒過來思考，反過來尋找要求的加數(shù)，總是這樣做是比較麻煩的，為此我們定義了減法。因?yàn)闇p法是已知和去求加數(shù)的運(yùn)算，我們也就將減法叫做加法的逆運(yùn)算。

在進(jìn)行加法運(yùn)算時(shí)，我們經(jīng)常會(huì)遇到一類特殊的問題，如2+2+2+2+2+2+…+2這樣求很多個(gè)相同加數(shù)的和。當(dāng)然，我們可以一個(gè)一個(gè)不斷地相加，但這樣做實(shí)在是太麻煩，書寫起來也不方便。能不能簡(jiǎn)單一點(diǎn)呢？為此，我們定義了乘法——幾個(gè)相同加數(shù)的和的運(yùn)算，并引入相應(yīng)的運(yùn)算符號(hào)×，隨后經(jīng)過不斷總結(jié)和歸納，得出了既簡(jiǎn)潔又讀起來朗朗上口的乘法口訣。

在進(jìn)行乘法運(yùn)算時(shí)，有時(shí)我們會(huì)遇到一類特殊的問題——已知積，求其中一個(gè)因數(shù)。為此，我們必須倒過來思考，反過來尋找要求的因數(shù)，總是這樣做是比較麻煩的，為此我們定義了除法——已知積，求其中一個(gè)因數(shù)。因?yàn)槌ㄊ且阎e求因數(shù)的運(yùn)算，我們也就將除法叫做乘法的逆運(yùn)算。

在進(jìn)行乘法運(yùn)算時(shí)，我們經(jīng)常會(huì)遇到一類特殊的問題，如2×2×2×2×2×2×…×2這樣求很多個(gè)相同因數(shù)的積。當(dāng)然，我們可以一個(gè)一個(gè)不斷地相乘，但這樣做太麻煩，書寫起來也不方便。為了求簡(jiǎn)，我們定義了乘方運(yùn)算。

加法、乘法都有相應(yīng)的逆運(yùn)算，乘方有沒有逆運(yùn)算呢？已知冪與指數(shù)求底數(shù)，已知冪與底數(shù)求指數(shù)都可以看成是乘方的逆運(yùn)算。為了解決這兩個(gè)逆運(yùn)算問題，數(shù)學(xué)便引入了開方運(yùn)算和對(duì)數(shù)運(yùn)算。

方程、函數(shù)、集合模型的建立，微積分、概率論等數(shù)學(xué)領(lǐng)域的形成和發(fā)展，無一不體現(xiàn)求簡(jiǎn)的思維方式。

數(shù)學(xué)就是這樣一門不斷求簡(jiǎn)的學(xué)問，在不懈地求簡(jiǎn)中孕育出一片又一片廣闊而神奇的新領(lǐng)域。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們是否可以花點(diǎn)時(shí)間，讓學(xué)生體會(huì)體會(huì)數(shù)學(xué)求簡(jiǎn)的魅力呢？

（作者單位：長(zhǎng)沙市岳麓區(qū)教研室）