改進的巖體屈服準則在地下廠房穩定性分析中的應用

肖子豪,肖　明,陳俊濤

(1.武漢大學水資源與水電工程科學國家重點實驗室,湖北武漢430072；2.武漢大學水工巖石力學教育部重點實驗室,湖北武漢430072)

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改進的巖體屈服準則在地下廠房穩定性分析中的應用

肖子豪1,2,肖明1,2,陳俊濤1,2

(1.武漢大學水資源與水電工程科學國家重點實驗室,湖北武漢430072；2.武漢大學水工巖石力學教育部重點實驗室,湖北武漢430072)

摘要：改進的巖體屈服準則集合了德魯克-普拉格(D-P)屈服準則和摩爾-庫倫(M-C)屈服準則的優點,計算結果更加符合實際,同時還避免了角點缺陷。將此改進準則開發進有限元程序中,通過一個小的三維有限元模型計算分析對比發現,改進的巖體屈服準則計算結果和理論規律相一致,說明了程序開發的正確性,在工程數值模擬計算中具有一定的實際應用意義。

關鍵詞：屈服準則；角點缺陷；π平面；有限元

0引言

屈服函數的應用是巖土工程中最基礎和重要的問題,前人已經做了大量的研究工作并且取得了很多成果。摩爾-庫倫(M-C)準則應用最廣,但在三維應力空間中的屈服面存在尖頂和棱角的不連續點,導致數值計算不收斂[1]；德魯克-普拉格(D-P)屈服函數屈服面在主應力空間上是一個圓錐面,雖然克服了角點缺陷,但計算結果偏于保守,因而沒有得到廣泛的應用[2]。辛克維支-播德(Z-P)進一步提出在子午平面上為二次曲線的改進屈服準則,克服了屈服面的尖點缺陷,應用比較廣泛,但是它的屈服函數并不總是外凸的。為此,楊光華教授提出了一個既能保證屈服面外凸性,在π平面又不存在角點的新函數,比德魯克-普拉格準則更加接近摩爾-庫倫準則,又能同時具備這2個準則的優點。

1改進的巖體屈服準則

改進的巖體屈服準則的表達式為

(1)

式中,F為屈服函數；θ為洛德角；σm為平均主應力；J2為應力偏張量的第二不變量；α、k為系數；c、φ分別為粘聚力和內摩擦角。

f(θ)的函數表達式則由以下6個條件來確定：

(1)K≤f(θ)≤1,K=(3-sinφ)/(3+sinφ),K為參數。

(2)f(-π/6)=1,改進的巖體屈服準則以D-P準則為其下限。

(4)改進的準則在π平面上不存在棱角,即當θ=±π/6時,df(θ)/dθ=0。

(5)無論在什么條件下,要求屈服面都是外凸的,即f(θ)+f′(θ)≥0。

(6)π平面上洛德角θ=±π/6時所對應的徑長之比與φ的關系是反映材料拉壓強度差異程度的重要特征,最好與M-C準則一致。

基于以上6個條件,考慮到每個條件重要性的不同,并且要推導的公式簡單實用,從全局最優化的角度推出f(θ)公式為

f(θ)=((1+K)+1.125(1-K)2)-((1-K)-1.125(1-K)2)sin3θ)/2

(2)

由于推導過程比較復雜,在此省略。得到的f(θ)函數使得屈服面始終是保持外凸性的,并且滿足在π平面上光滑的條件[3]。

2改進屈服準則在有限元中的實現

屈服函數為F,由全微分法則可知,dF可以用下式表示為

dF=?F/?σ1×dσ1+?F/?σ2×dσ2+…+?F/?K×dK

(3)

式中,σ1、σ2分別為第一和第二主應力。

對屈服函數F求復合偏導數得

(4)

式中,J3為應力偏張量的第三不變量。

通過以上公式,可以求出?F/?(σ),從而計算得到塑性矩陣,即可進行塑性應力修正。

將以上改進后的屈服函數和各個系數編進有限元程序中[4]。同時，將M-C和D-P準則和各個系數相應地分別編寫進入有限元程序中進行計算。本文通過工程實例,分別采用3種屈服準則計算,并將結果進行對比分析[5-6]。

3工程實例

3.1模型建立

模型依據拉西瓦水電站地下廠房工程實例進行建模。該地下廠房洞室分9期開挖,網格模型模擬4～6號機組段。模型范圍：X方向為-154.0～367.9m,Y方向為133～198m,Z方向為2 012～2 481m。模型巖體主要為Ⅱ、Ⅲ類巖體,計算時取參數建議值的中間值,分別在不同的屈服條件下進行三維有限元計算分析。巖體物理力學參數建議值見表1。建立的三維有限元模型見圖1。

表1巖體物理力學參數建議值

圍巖類別抗拉強度/MPa變形模量/GPa抗剪斷強度f'c'/MPaⅡ0.5～1.515.0～25.01.2～1.41.5～2.5Ⅲ0.4～1.210.0～20.01.0～1.21.0～1.5

圖1　有限元模型

3.2對比分析

3.2.1塑性區

將地下洞室開挖卸載產生的塑性區的總體積作為對比3種屈服準則下圍巖破壞程度的指標。計算得到的塑性區體積見表2。塑性區體積變化曲線見圖2。從表2和圖2可知,D-P準則偏于保守,計算得到的破壞區會偏大很多[7- 8]；改進準則計算結果與M-C準則比較接近,稍稍大于M-C準則的結果。

3種屈服準則在π平面上的關系見圖3。從圖3可知,3種屈服條件在π平面的應力空間大小是：D-P準則<改進準則

表2　塑性區體積　105 m3

圖2　不同分期塑性區體積變化

圖3　3種屈服準則在π平面上的關系

3.2.2主應力

取不同分期頂拱和邊墻單元的主應力大小進行對比,主應力大小分別見表3、4,主應力變化曲線見圖4。

從主廠房頂拱和邊墻的主應力變化來看,在不同的屈服條件下,應力變化的趨勢比較接近。M-C和D-P屈服條件下所得的第一主應力值接近。D-P屈服條件下的第一主應力值最小,而改進屈服條件下的第一主應力最大,應力值明顯比其他2個屈服條件大。

表3　主廠房頂拱第一主應力　MPa

表4　主廠房邊墻第一主應力　MPa

圖4　不同分期主廠房第一主應力變化

從圖3可知,隨著加載的增加,D-P準則下的單元最先進入屈服狀態,其次是M-C準則,最后是改進準則。在理想的塑性理論情況下,單元進入塑性后應力狀態點只能在屈服面上流動。故得到單元的應力狀態呈現出D-P準則

3.2.3洞周位移

通過對比主廠房洞周相對位移量,分析討論3種屈服準則對洞室圍巖穩定性的影響,將3種準則計算的位移結果進行對比。計算得到的位移值見表5、6。位移變化曲線見圖5。

表5　主廠房頂拱位移　mm

表6　主廠房邊墻位移　mm

從頂拱和邊墻的位移變化規律可以看出,3種屈服條件下的位移變化規律基本相同,位移都在第4或5期有所起伏,之后繼續出現回彈的趨勢[11-12]。頂拱和邊墻最終位移大?。篋-P屈服條件所得的位移最大,M-C屈服條件次之,改進屈服條件最小。由3種屈服曲線在應力空間的相對位置可以看出,隨著荷載的增加,最先進入屈服的發生的塑性應變會越大,出現上述的結果是符合規律的[13-14]。

綜上分析,計算結果在理論上是合理的,說明所編寫的計算程序是正確的。

4結語

圖5　不同分期主廠房位移變化

本文將一種改進的巖體屈服準則開發進有限元程序中,采用改進準則與M-C準則和D-P準則分別對拉西瓦水電站地下廠房三維小模型進行計算驗證。得到的塑性區、應力、位移對比發現,計算結果和理論規律符合,說明開發的改進巖體屈服準則是正確的。

改進準則屈服函數的推導過程可以克服M-C準則存在的6個角點缺陷問題,計算更加方便。由于D-P準則偏于保守,計算結果偏大。對比塑性區的大小和分布可以看出,改進準則計算結果與M-C準則比較接近,能更好地反映巖體在不同應力狀態下的強度特征,且同時具備M-C準則和D-P準則的優點,在實際工程中有一定的應用價值。

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(責任編輯楊健)

收稿日期：2016- 01- 13

基金項目：國家自然科學基金資助項目(51579191,51209164)

作者簡介：肖子豪(1992—),男,湖北鄂州人,碩士研究生,研究方向為地下洞室圍巖穩定；肖明(通訊作者)．

中圖分類號：TV223.1

文獻標識碼：A

文章編號：0559- 9342(2016)04- 0041- 04

ApplicationofImprovedYieldCriterionofRockMassinStabilityAnalysisofUndergroundPowerhouse

XIAOZihao1,2,XIAOMing1,2,CHENJuntao1,2

(1.StateKeyLaboratoryofWaterResourcesandHydropowerEngineeringScience,WuhanUniversity,Wuhan430072,Hubei,China; 2.KeyLaboratoryofRockMechanicsinHydraulicStructuralEngineering,MinistryofEducation,WuhanUniversity,Wuhan430072,Hubei,China)

Abstract:The improved yield criterion of rock mass combines the advantages of Drucker-Prager yield function and Mohr-Coulomb yield criterion, which can get more realistic calculation results and avoid the angular point defects. The finite element program of improved yield criterion is developed and a case is calculated by a small three dimensional finite element model. The comparison between calculation results show that the calculation results of improved yield criterion are in line with the theoretical analyses, which proves the validity of program development. The finite element program of improved yield criterion has a certain practical significance in engineering numerical simulation．

Key Words:yield criterion; angular point defect; π plane; finite element