含有勢壘的一維無限深方勢阱的矩陣解法

朱昌勇

（韶關學院 物理與機電工程學院， 廣東 韶關 512005）

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含有勢壘的一維無限深方勢阱的矩陣解法

朱昌勇

（韶關學院 物理與機電工程學院， 廣東 韶關 512005）

摘要：無限深方勢阱是量子力學中一個非常重要的模型，采用矩陣力學的方法解出了含有勢壘的一維無限深方勢阱的歸一化波函數和能級，并且討論了勢壘趨于?勢壘時能級的情況.

關鍵詞：無限深勢阱；波函數；勢壘

一維對稱無限深方勢阱是量子力學中最基本的問題之一，大部分的量子力學都有講述，而且可以通過奇偶性求得其解析解［1-3］.但是對于含有方勢壘的一維無限深方勢阱的討論就比較少，本文通過矩陣力學的方法求得其歸一化波函數和能級，并且對一種極限情況：即方勢壘趨于勢壘時粒子的能級進行了討論.

1 含有勢壘的一維無限深方勢阱模型及求解

設質量為m的粒子在一個含有方勢壘的一維無限深勢阱中運動，設勢能為：

其中，E為粒子的能量.利用該方程可以求出粒子的能級和波函數.下面就兩種情況（）進行求解.

圖1 含有勢壘的一維無限深方勢阱

所以，滿足邊界條件（2）的勢阱波函數的通解可分別寫為：

即：

即：

將式（4a）、（4b）、（5a）、（5b）表示為矩陣方程的形式：

方程有非零解的條件是式（6）系數矩陣的行列式等于零，進而可以得到：

其解為：

由此可以求出粒子的能級.

所以粒子滿足的波函數為：

由歸一化條件，可知：

將式（9a）～（9c）代入式（10）可得：

則粒子滿足的波函數為：

將式（12a）～（12c）代入式（10），可得：

滿足邊界條件（2）的勢阱波函數的通解可分別寫為：

將式（16a）、（16b）、（16c）、（16d）表示為矩陣方程的形式：

方程有非零解的條件是式（17）系數矩陣的行列式等于零，進而可以得到：

其解為：

由此可以求出粒子的能級.

所以粒子滿足的波函數為：

將式（20a）～（20c）代入式（10）可得：

則粒子波函數為：

將式（22a）～（22c）代入式（10）可得：

2 討論一種極限情況

此時，對于式（8a），其右邊：

所以式（8a）可變為：

對于式（8b），其右邊：

此種情況與無勢壘的一維無限深方勢阱的能級相同，即相當于此時勢壘不起作用.

3 結語

參考文獻:

［1］ 周世勛. 量子力學教程［M］.2版.北京：高等教育出版社，2009：26-29.

［2］ 蘇汝鏗. 量子力學［M］. 上海：復旦大學出版社，1997：37-40.

［3］ 曾謹言. 量子力學：卷Ⅰ［M］. 3版.北京：科學出版社，2001：88-92.

（責任編輯：邵曉軍）

中圖分類號：O413.1

文獻標識碼：A

文章編號：1007-5348（2016）02-0001-06

［收稿日期］2015-10-28

［基金項目］韶關學院科研基金項目（314-140640）.

［作者簡介］朱昌勇（1985-），男，河南虞城人，韶關學院物理與機電工程學院講師，碩士；研究方向：理論物理.

A Matrix Solution of One-dimensional Infinite Square Potential Well with Barrier

ZHU Chang-yong
（Institute of Physics and Mechanical & Electrical Engineering， Shaoguan University， Shaoguan 512005， Guangdong， China）

Abstract:Infinite square potential well is an important model of quantum mechanics. With the methods of the matrix mechanics， the normalized wave functions and energy levels are given for the particle in one-dimensional infinite square potential wells with barrier. And the energy level has been discussed when the barrier tends to the barrier.

Key words:infinite potential well； wave functions； barrier