一類多線性Calderón-Zygmund算子交換子的估計

王光慶，　周　疆

(新疆大學 數學與系統科學學院，新疆 烏魯木齊　830046)

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一類多線性Calderón-Zygmund算子交換子的估計

王光慶，周疆

(新疆大學 數學與系統科學學院，新疆 烏魯木齊830046)

摘要：本文研究了由奇異積分算子T與Lipschitz函數bj(j=1,…,l)和BMO函數Bi(i=1，…,m)生成的混合多線性交換子在Lebesgue空間和Hardy空間上的有界性.得到了該多線性交換子是Lp(Rn)到Lq(Rn)和到有界的.

關鍵詞：奇異積分算子；多線性交換子；Lipschitz函數；BMO函數

引言

眾所周知，奇異積分算子理論在解決Possion方程解的正則性中起到了很重要的作用，交換子的有界性在調和分析中也扮演很重要的角色([1-8]).交換子的研究由來已久，在976年，Coifman,Rochberg,Weiss在文獻[1]引入函數b與Calderón-Zygmund算子T生成的交換子

[b,T]f=bT(f)-T(bf),

多線性交換子是交換的一個自然推廣，它由Pérez和Trujillo-González在[3]首先定義，即

其中T為奇異積分算子

Tf(x)=∫RnK(x,y)f(y)dy,

這里K(x,y)為定義在Rn×Rn{(x,y):x≠y}上的局部可積函數，它滿足對所有的x,y,z∈Rn，有

(1)|K(x,y)|≤C|x-y|-n,x≠y，

(1)

存在0<ε≤1，當2|x-z|≤|x-y|時，有

(2)

(3)

在給出本文相關結果之前，我們先給出該多線性交換子的定義及相關記號.

(4)

1相關定義和主要結果

定義1.1稱函數f(x)屬于Lipshitz空間Lipβ(Rn)，0<β≤1，是指函數f(x)滿足

定義1.2設f∈Lloc(Rn),Sharp極大函數M#f(x)定義為

定義1.3設0<α

(i) suppa?Q=Q(x0,r)={x∈Rn:|x-x0|

(ii) ‖a‖∞≤|Q|-1；

現在我們給出本文的主要結果.

2主要結果證明

定理1.1的證明思路是借用變形的Fefferman和Stein的Sharp極大函數估計，這種思想被許多學者所借鑒(見文獻[10-12]).類似地我們先給出Sharp極大函數的估計及相關引理.在以下證明過程中，為書寫方便，不妨設‖bj‖Lipβ(Rn)=‖Bi‖BMO(Rn)=1.

引理2.1(見[6])如果0

對所有上式左邊有限的函數f成立.

現固定x，設Q是以x為中心，R為半徑的球，取λj=(bj)2Q(j=1,2,…,l),Λi=(Bi)2Q(i=1,2,…,m).由于0<δ<1，因而對于任意的α,β∈R，‖α|δ-|β|δ≤|α-β|δ都成立，我們有

=I+II+III.

≤CMα,ε(Tf)(x).

對于II，令f=f1+f2,f1=fχ2Q，則

=II1+II2.

≤CMα,p1f(x).

×f(w)(K(y,w)-K(z,w))dw)dz|dy

對于III的估計，類似于I，

定理1.1的證明由于BMO函數和Lipshitz函數都可以由有界函數來逼近[3]，因此只需證明定理1.1對bj(x)和Bi(x)都是L∞中的函數成立即可.與文獻[3]的推理類擬，由引理2.1，引理2.2及Lebegsue微分定理可得，

-[b1,T]((B1(·)-Λ1,j)f(·))(x)

=J1+J2+J3.

對于J2，即當|x-xj|>2rj時，由原子aj的尺寸條件(ii)及消失性(iii)可得

|[b1,T]aj(x)|=|∫Qj(b1(x)-b1(y))K(x,y)aj(y)dy|

≤|∫Qj(b1(x)-b1(xj))(K(x,y)-K(x,xj))aj(y)dy|+|∫Qj(b1(xj)-b1(y))K(x,y)aj(y)dy|

所以，由上式可得

對于J3，由H?lder不等式，考慮到

‖(B1-Λ1,j)f‖1

即(B1(x)-Λ1,j)f(x)∈L1(Rn).對于b1∈Lipα1(Rn)，顯然有|[b1，T]((B1(·)-Λ1,j)f(·))(x)|≤CTα1(|(B1(·)-Λ1,j)f(·)|)(x),所以由分數次積分算子Tα1的弱(1，q)有界性知

綜上所述，有

再對f的所有的原子分解取下確界，即得結論.

=M1+M2.

則，由上式可得

倒數第三個不等號的估計類似于對引理2.2中II2的估計，最后一個不等號是因為α′<α是顯然的，至此定理1.3證明完畢.

參考文獻：

[1]COIFMANR，ROCHBERGR，WEISSG.FactorizationtheoremsforHardySpacesinseveralvariables[J]. Ann of Math, 1976,103:611-635.

[2]PéREZ C. Endpoint estmates for commutators of singular operators[J]. Funct Anal, 1995,128:163-158.

[3]PéREZ C, TRUJILLO-GONZéLEZ R. Sharp weighted estimates for multilinear commutators[J]. London Math Soc, 2002,65(3):672-692.

[4]JANSON S. Mean oscillation and commutators of singular integral operator[J]. Ark Math 1978,16:263-270.

[5]CHEN Wengu, HU Guoen. Weak tpye (H1,L1) estimate for a multilinear singular integral operator[J]. Adv in Math(China), 2001,30(1):63-69.

[6]徐景實.多重奇異積分的多線性交換子[J].數學學報，2008，51(5)：1021-1034.

[7]黃政，黃愛武，徐景實.多重奇異積分與Lipschitz函數生成的多線性交換子[J].數學雜志，2011，31(4)：738-748.

[8]STEIN E M. On the functions of littlewood-paley, lusin, and marcinkiewicz[J]. Trans Amer Math Soc, 1958,88(2):430-466.

[9]GENEBASHVILI I, GOGATISHVILI A, KOKILASHVILI, KRBEC M. Weighted theory for integral transforms on spaces of homoogeneous type[J]. Piman Monogr and Surveys in Pure and Appl Math, 92, Longman: Addison-Wesley, 1998.

[10]PéREZ C, TORRES R. Sharp maximal function estimates for multilinear singular integrals[J]. Harmonic Analysis at Mount Holyoke, Contemporary Mathematics, 2003,320:323-311.

[11]PéREZ C, TURJILLO-GONZALEZ R. Sharp weighted estimates for vector-valued singular integral operators and commutators[J]. Tohoku Math, 2003,55(1):109-129.

[12]STEIN E. Harmonic analysis[M]. Princeton NJ: Princeton University Press, 2003.

DOI：10.14182/J.cnki.1001-2443.2016.04.005

收稿日期：2015-10-20

基金項目：國家自然科學基金資助項目(11261055)；新疆自然科學基金項目(2011211A005).

作者簡介：王光慶(1987-)，男，安徽阜南人，碩士研究生，主要研究方向：調和分析；通訊作者：周疆(1968-)，男，博士，副教授，碩士研究生導師.

中圖分類號：O174.2

文獻標志碼：A

文章編號：1001-2443(2016)04-0331-07

Estimates for a Class of Multilinear Commutators of Calderón-Zygmund Operators

WANG Guang-qing,ZHOU Jiang

(College of Mathermatics and System Sciences, Xinjiang University, Urumqi 830046, China)

Abstract:In this paper, the authors study the boundedness of mixed multilinear commutators ,T]] generated by the BMO functions Bi(i=1,…,m) and Lipschitz functions bj(j=1,…,l) on the Lebesgue space and Hadry space. Then the authors obtain that the multilinear commutators are bounded from Lp(Rn) to Lq(Rn) and (Rn) to (Rn). Furthermore, the authors also prove that when m=1, the multilinear commutators are bounded from H1(Rn) to (Rn).

Key words:singular integral; multilinear commutators; Lipschitz function; BMO function

引用格式：王光慶，周疆.一類多線性Calderón-Zygmund算子交換子的估計[J].安徽師范大學學報：自然科學版，2016，39(4)：331-337.