淺析類比思想在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

米思榮

（湖南師范大學(xué)附屬中學(xué) 湖南長沙 410000）

淺析類比思想在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

米思榮

（湖南師范大學(xué)附屬中學(xué) 湖南長沙 410000）

類比思維能夠培養(yǎng)創(chuàng)新性思維能力，其具有較強的探索、預(yù)測效用。對于數(shù)學(xué)題目的解答，通過運用類比思想，不僅能夠突出問題的本質(zhì)，還可提升學(xué)習(xí)質(zhì)量，增強我們認識問題與解決問題的能力。對此，本文首先分析了類比與類比思想的相關(guān)內(nèi)容，其次對類比思想在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用進行了相應(yīng)的闡述。

類比思想；數(shù)學(xué)；題目；應(yīng)用

1 引言

當(dāng)兩個對象或是兩類事物的某些屬性相同或是相似時，猜想這兩者的另一些屬性也有可能相同或是相似的思考方式即為類比。目前，類比在數(shù)學(xué)中有較為廣泛的應(yīng)用，例如數(shù)與式之間、平面與立體之間、一維與多維之間、相等與不等之間、有限與無限之間等，均能夠運用類比思想。對此，為了促進其在數(shù)學(xué)中的更好運用，有必要對類比思想在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用進行深入的分析研究。

2 類比級類比思想分析

2.1 類比

2.1.1 類比的定義

所謂類比，即為由兩個對象的某些相同或相似的性質(zhì)，推斷它們在其他性質(zhì)上也有可能相同或相似的一種推理形式。類比是一種主觀的不充分的似真推理，所以，如果要確認其猜想的正確性，必須經(jīng)過嚴(yán)格的邏輯論證。

2.1.2 類比的分類

類比的本質(zhì)在于對象間的相似性，而相似對象具備諸多屬性，這些屬性之間又存在各式各樣的關(guān)系，人們認識這些關(guān)系的過程，是從簡單到復(fù)雜的過程。隨著對這些關(guān)系認識的不斷深化，人們所運用的類比方法也就出現(xiàn)了不同的類型。

（1）質(zhì)料類比

所謂質(zhì)料類比，即為根據(jù)類比物的性質(zhì)與應(yīng)當(dāng)給予解釋的系統(tǒng)性質(zhì)間的類似性所進行的類比。質(zhì)料類比是類比方法中比較簡單的類型，這種類比僅以類比物與應(yīng)予解釋的系統(tǒng)兩者的性質(zhì)相似為依據(jù)，較膚淺，且還沒有確定各相似性質(zhì)之間的必然性聯(lián)系，這使得其類推所得的結(jié)論具有很大的偶然性。為了更加深入的認識對象，大多數(shù)科學(xué)人員均需要從對象的屬性之間找到必然性的聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)規(guī)律性的東西，以進一步提升類比的水平，從而提高推理結(jié)論的可靠性。依據(jù)因果關(guān)系進行類比便可實現(xiàn)此目的，推動了類比向新的類型發(fā)展。

（2）形式類比

所謂形式類比，即為根據(jù)類比物與應(yīng)當(dāng)給予解釋的系統(tǒng)兩個領(lǐng)域的因果關(guān)系或是規(guī)律性相似而進行的類比，例如聲音與光的縱向關(guān)系的類比。此外，由于形式類比是以相似的因果關(guān)系成規(guī)律性為依據(jù)的，這大大提升了此種類比結(jié)論的可靠性程度。

（3）綜合類比

所謂綜合類比，即為應(yīng)用綜合法建立數(shù)學(xué)模型，然后再根據(jù)數(shù)學(xué)模型間的相似性進行的類比。例如仿生學(xué)中設(shè)計模擬生物器官的技術(shù)裝置，都是應(yīng)用綜合類比的成果，其主要以數(shù)學(xué)模型的相似性為根據(jù)。

2.1.3 類比在數(shù)學(xué)中的價值

（1）可激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣

通過類比，能夠探索出更多新的知識與方法，尋求不同的解題思路，探索數(shù)學(xué)規(guī)律。由于類比是從特殊到特殊的一種猜測推力，從一個已知的領(lǐng)域去探索另外一個領(lǐng)域，可極大的激發(fā)我們的興趣，更加主動的探索、研究新的知識。

（2）可提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力

當(dāng)我們學(xué)生遇到一個陌生的問題時，由于自身的類比思想，會聯(lián)想一個在形式或者是方法上較為熟悉的問題進行類比，發(fā)現(xiàn)其內(nèi)在聯(lián)系，溝通知識與知識、方法與方法之間的聯(lián)系，激活學(xué)生的思維，從而提升學(xué)生的思維能力。

2.2 類比思維

2.2.1 類比思維的定義

類比思維是解答化學(xué)競賽題目的基本方法，對于類比思維，其主要涉及以下兩方面的含義：①聯(lián)想，主要指由新信息引起的對已有知識的回憶。②類比，在新、舊信息間找相似和相異的地方，即異中求同或同中求異，通過類比思維，在類比中聯(lián)想，從而升華思維，既有模仿又有創(chuàng)新。

2.2.2 類比思維的原理

類比是一種十分重要的思維方法與推理方法，在數(shù)學(xué)發(fā)展過程中具有至關(guān)重要的作用，在數(shù)學(xué)題目解答中，應(yīng)對其進行認真的審視與對待。其基本模式為：若 A 對象具有屬性 a、b、c、d，且 B 對象具有屬性 a、b、c，猜想：B對象具有屬性d。類比推理的過程，是從特殊到特殊，由此及彼的過程，可謂“他山之石，可以攻玉”。從兩個或兩類對象具有某些相似或相同的屬性事實出發(fā)，推出其中一個對象可能是有另一個或另一類對象已經(jīng)具有的其他屬性的思維方法。該方法是古今中外許多知名人士最常運用的一種解決問題的方法，由這種方法所得出的結(jié)論，不一定具有較高的可靠性與精確度，但富有創(chuàng)造性，往往能將人們帶入完全陌生的領(lǐng)域，并且還能夠給予許多啟發(fā)。

3 類比思想在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

3.1 數(shù)列中的類比

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們應(yīng)對習(xí)題進行充分的類比、聯(lián)想、想象，激發(fā)自身的創(chuàng)造熱情與探索欲望，例如和—積、差—商、算數(shù)平均數(shù)-幾何平均數(shù)的類比等。

在等差數(shù)列{an}中，如果a10=0，

則等式a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n（n＜19，n∈N+）成立；

類比上述性質(zhì)，在等差數(shù)列{bn}中，如果b9=1，則等式_______成立。

3.2 幾何中的類比

3.2.1 平面到空間的類比

例如：在平面幾何中，由勾股定理：“設(shè)△ABC的兩邊AB，AC互相垂直，則AB2+AC2=BC2。”拓展至空間，類比平面幾何的勾股定理，研究三棱錐的側(cè)面面積與底面面積間的關(guān)系，可以得出的正確結(jié)論為：“設(shè)三棱錐A—BCD的三個側(cè)面ABC，ACD，ADB兩兩相互垂直，則_______。”

分析：關(guān)于空間問題與平面問題的類比，通常可抓住幾何要素的如下對應(yīng)關(guān)系：點—線、線—面、面—體（圓—球、三角形—四面體、平行四邊形—平行六面體、二面角—平面角）、平面向量—空間向量等。

3.2.2 解析幾何中的類比

圓錐曲線包括圓在內(nèi)都是平面截圓錐所得的曲線形式，從定義、方程推導(dǎo)、性質(zhì)到題型、方法都存在共性，通過類比，降低解題難度，使類比思維方法潛移默化地滲透到我們學(xué)生的日常學(xué)習(xí)中。

例如：在以原點為圓心，半徑為r的圓上有一點P（x0，y0），則過此點的圓的切線方程為x0x+y0y=r2，而在橢圓中，當(dāng)離心率 e趨近于0時，短半軸b就趨近于長半軸a，此時橢圓就趨近于圓.類比圓的面積公式，在橢圓中，S橢_______。類比過圓上一點P（x0，y0）的圓的切線方程，則過橢圓上一點 P（x1，y1）的橢圓的切線方程為_______。

3.3 定義、運算中的類比

數(shù)學(xué)教育家波利亞說過：“類比就是一種相似。”將兩個數(shù)學(xué)對象進行比較，找出兩者相似的地方，然后加以應(yīng)用，類比思維常用于概念、性質(zhì)方面數(shù)學(xué)題目的解答。

解析本題可采用“方法類比”。由于等比數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)方法是倒序相加，通過經(jīng)類比可得出以下結(jié)論：

4 結(jié)語

綜上所述，類比是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造的一種思維方式，尤其是在已知事物的性質(zhì)推廣到類似事物方面，其具備非常重要的作用。在數(shù)學(xué)發(fā)展歷程中，類比發(fā)揮了較為關(guān)鍵的作用。在數(shù)學(xué)習(xí)題解答中，通過恰當(dāng)?shù)倪\用類比方法，可在輕松愉快的環(huán)境中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，使得學(xué)習(xí)由被動變?yōu)橹鲃印４送猓瑢︻惐鹊贸龅慕Y(jié)果進行分析論證，去偽存真，還有助于培養(yǎng)學(xué)生自身的創(chuàng)新意識。

[1]梁根明.以2009年高考一題為例談類比思想在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2014（11）：84～85.

[2]韓鍇.高中數(shù)學(xué)教學(xué)中類比思想的價值探究[J].中學(xué)生數(shù)理化：教與學(xué)，2014（09）：12～13.

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