關于兩類拉伸桿的斜截面應力分布的探究

王金城，王柳菁

（大連理工大學運載工程與力學學部，遼寧大連 116024）

關于兩類拉伸桿的斜截面應力分布的探究

王金城，王柳菁

（大連理工大學運載工程與力學學部，遼寧大連 116024）

在大多數工程實踐中，細長桿件都是忽略自重的，但是某些特殊情況下，桿件的自重是不可忽略的，其自重給桿內應力帶來的影響直接關乎該桿件的強度校核。為了使工程中桿件的設計與應用更加安全可靠，本論文研究了拉伸桿件的在考慮自重和不考慮自重兩類情況下的桿內各點應力的分布情況，運用局部化思想解決桿件截面受力不均勻的難題，并得出兩類桿的各點應力準確計算公式。

局部化思想；應力分布；應力不均

1 問題描述

以下兩種情況下：（1）忽略桿件自重并將與自重等大的軸力施加于桿件末端（2）考慮桿件自重。如何確定同一桿件同一斜截面上同一點的應力。

2 問題分析

2.1 受軸向集中載荷無自重桿

針對第一種情況，由于Fp是施加在桿件軸線上的，結合材料力學的均勻、連續、各向同性的基本假設，可知桿內的內力是均勻分布的，且斜截面上應力是處處相等的。

假設斜截面與桿件橫向成α角度，則截開后的面上軸向方向的內力是相同的，將這些內力都向軸線簡化，可α得到總的軸力也為Fp?，F以平行于斜截面方向為x軸，垂直于斜截面為y軸建立直角坐標系，將力Fp分別投影到兩坐標軸上，分別記為FN和FQ。

其中

切應力為

故分析公式可知任意斜截面上的任意點的應力只與斜截面和桿件橫向方向之間的夾角a有關，而與斜截面的位置、點在斜截面上的位置無關。

當α=0°時，正應力σα最大，最大值為

當α=45°時，切應力最大，最大值為

2.2 自重不可忽略桿

針對第二種情況，已知均布載荷為p kN/m3，故斜截面上軸線方向上的應力不是均勻分布的，故對斜截面上應力計算帶來了不便。換個思路，我們可以運用局部化分析思想來解決這個問題。

在斜截面處沿橫截面方向、縱截面方向切出一個小立方體微元，沿長度方向的長度為δx，設立方體微元上表面A的橫坐標為xo，下表面B的橫坐標為xo+δx。由于A、B面都是沿橫截面切下的，故面內只有正應力，下面對A、B面正應力進行計算。設桿件長為L，橫截面長為a，寬為b?，F對A面進行受力分析，設A面所在橫截面受力為Fxo，方向為正方向，則A’面所在橫截面受力Fx′o與Fxo互為相反力，求出Fx′o相當于求出Fxo。則首先對整根桿做受力分析得桿的最上端受力

方向為x軸負方向。對A’面列平衡方程

解得

則

同理，對B面列平衡方程

解得

由于δx足夠小，故

故微元的上下表面所受力大小可近似看做相等，那么微元體內內力可看做均勻分布。此時，可在微元體內任意用假想平面切分，進而研究截面內的應力分布。下面采用和第一種情況相類似的斜面切割法，用與橫截面成α角斜截面將微元體切分為兩半，任取一半進行分析。方法與第一種情況完全類似，唯一區別為將第一種情況里的Fp替換為Fxo。則由式（2）得斜截面正應力

由式（3）得斜截面切應力

由公式（13）可知，在考慮自重的情況下斜截面上一點的正應力和切應力的大小不僅與斜截面和桿件橫向方向的夾角α有關，還與點所在位置的橫坐標xo有關，當α大小確定時，xo越大應力越??；xo越小，即越接近桿的根部，應力越大。

當xo=0，α=45°時，截面內正應力最大，最大值為

當xo=0，α=45°時，該點處的切應力最大，最大值為

3 結論

對比兩種情況最終的應力公式（2）（3）（13）（14）發現，同一斜截面上的各點的應力分布是不同的，不考慮自重情況下，同一斜截面上的點的應力分布相同，即在其他條件不變的情況下，應力大小只與斜截面角度α有關。也就是說桿件任意與軸線成確定角度的斜截面上的點的應力是相等的，且將斜截面沿軸線平移到任何位置，應力大小都不變化，因此由公式（5）可計算最大切應力。

桿件自身重力不可忽略時，同一斜截面上的點的應力分布是不均勻的，即桿件內一點處的應力大小不僅與斜截面角度α有關，還與點所在位置的沿桿長度方向的坐標x有關。

通過以上分析，可以清楚地認識到考慮自重與忽略自重兩種情況下，斜截面應力分布的計算方法的異同，該結論可以應用到工程實際中。

[1]季順迎.材料力學[M].北京：科學出版社，2013.

Explore the Oblique Section on Types of Ttress Distribution in the Stretch Rod

Wang Jin-cheng，Wang Liu-qing

In most cases，people are learning and research are ignored rod weight，but in some special cases，the weight of the rod is not negligible，its weight to the impact of stress caused by the inner rod may be directly related to the strength check rods，in order to make the design and application engineering rod is more secure and reliable，this thesis studied a stretch considering the weight of the rod and does not consider the weight of the various types of stress at the inner rod in case of distribution，as long as the use of a localized thinking to solve a cross-section rods discontinuity problem，the conclusion that the two types of stem stress points to accurately calculate the formula.

localized thinking；Uneven stress；Stress distribution

U448.213

A

1003–6490（2016）04–0246–02

2016–04–08

王金城（1994—），男，四川江油人，本科在讀生，主要從事工程力學學習與研究工作。