含參數的一元二次不等式的解法

劉艷玲（山西省呂梁市離石區江陰高級中學）

含參數的一元二次不等式的解法

劉艷玲
（山西省呂梁市離石區江陰高級中學）

含參數不等式的求解問題一直是高中數學的一個難點，求解這類問題，需要學生具有一定的分析能力和掌握相應的解題技巧。

含參數的不等式；分類討論；解法

所謂含參數的不等式，就是指除含未知數之外還含有參數的不等式。此類不等式，往往因參數的取值范圍不同，解集也不同。這類問題是中學數學的難點之一，學生對其常常難以駕馭，因此有必要研究其解法。本文重點討論形如ax2+bx+c〉0（或ax2+bx+c＜0）的一元二次不等式模型，談談分類討論思想在解不等式中的簡單應用。

一、根據對應方程根的大小進行分類

例1.解關于x的不等式x2-（a2+a）x+a3〉0。

分析：先利用因式分解確定對應方程的兩根，對兩根的大小進行分類討論。

解：原不等式可化解為（x-a2）（x-a）〉0。

（1）當a2〉a，即a〉1或a＜0時，原不等式的解集為｛x|x＜a或x〉a2｝。

（2）當a2=a，即a=1或a=0時，原不等式的解集為R。

（3）當a2＜a，即0＜a＜1時，原不等式的解集為｛x|x＜a2或x〉a｝。

綜上所述，當a〉1或a＜0時，原不等式的解集為｛x|x＜a或x〉a2｝。

當a=1或a=0時，原不等式的解集為R。

當0＜a＜1時，原不等式的解集為｛x|x＜a2或x〉a｝。

規律總結：當不等式對應方程根的大小不確定時，必須討論根的大小，以確定不等式的解集。

二、根據二次項系數的符號進行分類

例2.解關于x的不等式ax2+（1-a）x-1〉0。

分析：先利用因式分解對不等式進行因式分解。因為二次項系數含有參數，因此需要對a與0進行分類，若a≠0，則需要比較兩根的大小。

解：原不等式可化解為（x-1）（ax+1）〉0。

1.當a=0時，原不等式為x-1〉0，則x〉1。

∴原不等式的解集為｛x|x〉｝1。

當a=-1時，原不等式的解集為?。

規律總結：解二次項含參數的一元二次不等式一定要對參數大于0，等于0和小于0展開討論。

三、根據對應方程判別式的符號進行分類

例3.解關于x的不等式2x2+ax+2=0。

分析：二次系數為2，判別式Δ=a2-16不為完全平方式，故不能確定根，因此需要對判別式Δ的符號進行討論，確定根的個數。

解：Δ=a2-16=（a+4）（a-4）。

（1）當a〉4或a＜-4時，Δ〉0，方程2x2+ax+2=0的兩根為

（3）當-4＜a＜4時，Δ＜0，方程無根，原不等式的解集為R。

綜上所述，

當a〉4或a＜-4時，原不等式的解集為

當-4＜a＜4時，原不等式的解集為R。

規律總結：若一元二次方程判別式符號不確定，應分Δ〉0，Δ= 0，Δ＜0討論。

本文由淺入深地介紹了含有參數的一元二次不等式模型的幾種基礎解法。我們可以發現，在求解此類問題時，應正確認識問題中的參數，確定不等式的類型，按相應類型不等式的解題方法進行求解，希望能對大家學習含參數一元二次不等式有所幫助。

·編輯 謝尾合