淺談高中數學的等價轉換

徐君紅（浙江省杭州市建德市梅城嚴州中學梅城校區）

淺談高中數學的等價轉換

徐君紅
（浙江省杭州市建德市梅城嚴州中學梅城校區）

等價轉換是高中數學的重要解題思想，其通常是根據數學知識間的相互聯系，把未知解的問題轉換到學生的已有知識范圍內，變為可解的問題，通過不斷轉換，把那些學生不熟悉、不規范、復雜的問題轉化為熟悉、規范、簡單的問題，從而簡化解題思路與過程，提高解題效率。在歷年的高考題中，利用等價轉換的思想進行解題也是重要的考點，因此要不斷培養和訓練學生自覺轉換意識，強化學生解決數學問題的應變能力，提高學生的思維能力與技能、技巧。主要說明等價轉換在高中數學中的靈活運用。

高中數學；等價轉換；思維

高中數學的知識點繁多，數學問題復雜多變，如果學生只是注重數學知識的學習，注重解題的結果，而忽視了對數學問題的解題技巧與方法的分析探索，他們很難學好高中數學。在高中數學的學習過程中，最常見的學習方式就是采用“題海戰術”，學生通過多做題來鞏固知識點，這種方法對于數學學習基礎薄弱的學生比較適用，能夠在一段時間內提高他們的數學成績，但是對于那些學習成績中等或是優秀的學生卻沒什么太大的幫助，大量的數學題反而會促使他們盡量采用最短的時間來完成每一道題，這就減少了學生在做題時思考的時間，有些學生在做題時幾乎沒有思考分析，只是按照慣性思維來解題，而使得解題過程煩瑣復雜，造成學習效果不理想，同時也限制了學生思維能力的發展。這就要求學生在數學學習中不能一味地注重知識的學習，還要能夠掌握數學問題的解題技巧與方法，并逐漸形成數學思維，從而提高學生的數學學習能力。而等價轉換作為數學問題的一種重要解題思路，不僅能讓學生將所學的知識進行靈活運用，鞏固數學知識，還能夠鍛煉學生的思維敏捷性，有效地提高學生的思維能力。下面我就通過一些例子來分析等價轉換在高中數學解題中的靈活應用。

一、掌握轉換思想，提高轉換的自覺性

高中數學問題中的轉化思想都是師生在長期的數學教與學的實踐過程中，在知識與方法的不斷運用中總結出來的。如在立體幾何中將空間問題轉化為平面問題來求解等。通過對題目中的式子進行等價轉換，可以將復雜的數學問題簡單化，從而簡化解題過程。因此，教師在課堂教學時要積極引導學生進行轉換，使學生掌握等價轉換的思想，提高轉換的自覺性。

（1）求sin x－cos x的值。

【分析】由于該題已知條件較少，教師在進行例題講解時，就要引導學生將三角函數部分的其他公式進行運用。通過對題目與所求問題式子進行觀察，我們發現可以對該題中的原式進行平方，就可以得到我們熟悉的三角函數關系式，即sin2x+cos2x=1。然后通過自變量的取值范圍，得到所求式子的值。

小結：三角函數的求值問題是幾年來高考的重要考點之一，為了讓學生熟練掌握并將其運用，教師在進行課堂教學時就要讓學生積極動腦思考，并進行總結。由于三角函數部分的公式較多，對于這些公式，學生不能只知其一，不知其二。所謂“授人以魚，不如授人以漁”，教師要將公式的推導過程向學生演示，或是讓學生根據已知的公式自己進行推導，一方面可以加深學生對所學知識的印象，并將其進行鞏固，另一方面，在推導過程中學生能逐漸提高邏輯性思維能力，并且若是學生沒有記住這些公式，在需要用的時候，他們也可以自行推導，而不會覺得解題毫無頭緒。

【分析】很多學生在初看到這道題時，覺得很簡單，只是直觀地認為該題考查的主要知識就是tanθ與sinθ、cosθ之間的關系，即tanθ=，便匆匆得出答案A。但在我們仔細分析過后，發現答案A是錯解，正解應為答案C。三角函數問題還有一個重要的已知條件，即sin2θ+cos2θ=1，而很多學生做錯就是因為忽略了這個隱藏的條件，而解不出m的值。

小結：由上題可知，教師在教學時不僅要讓學生記住做題的思路，還要讓他們能夠將公式靈活進行運用。

結合我的教學經驗，我覺得高中數學教師，尤其是高三數學教師，最好將數學的各部分知識以專題的形式進行講解，以便于學生對每部分知識的整體掌握，并且由于數學知識的關聯性，我們在講解一道例題時，涉及的知識點會有很多，逐漸讓學生對數學知識進行綜合運用，使學生掌握轉換的思想，提高轉換的自覺性。另外，數學問題的靈活多變，使得每道題的解法不一，學生就可以開拓思路進行解題，并在不斷思考中培養自己的數學思維，提高數學能力。

二、注重轉化研究，實行轉換的多樣性

高中數學問題的靈活多變與各知識點間的相互聯系，使得利用等價轉換思想進行解題也具有相應的靈活性與多樣性。利用等價轉換解決高中數學問題，沒有統一固定的一個解決模式，學生可以根據自己對所學數學知識的掌握與運用情況，選擇適合自己的轉換方法，從而使學生的解題效率大大提高。教師在進行課堂教學時，可以將一道題利用多種不同的轉換思想來講解，既將數學知識建立了聯系，綜合運用，又開拓了學生的解題思路，培養了學生的發散性思維，使他們能夠從不同的角度、不同的方面出發，去解決問題，并在這個過程中逐漸提升自己的能力。

例3.設x、y∈R且3x2＋2y2＝6x，求x2＋y2的范圍。

【分析1】該題要直接求值比較復雜，但是通過變量替代，就能將復雜的問題簡化。通過設k＝x2＋y2，再代入消去y，轉化為“關于x的方程有實數解時，求參數k范圍”的問題，該題就變得簡單多了。在做題時要尤其注意其中的隱含條件，即x取值范圍的確定。

【分析2】分析原題中的方程式，我們發現經過變形后的方程式可以表示橢圓的方程。因此，我們就可以采用數形結合法，將該問題轉換為解析幾何問題來求解。

【解法2】由3x2＋2y2＝6x得（x－1）2＋＝1，即表示如圖所示橢圓，其一個頂點在坐標原點。x2＋y2的范圍就是橢圓上的點到坐標原點的距離的平方。由圖可知最小值是0，距離最大的點是以原點為圓心的圓與橢圓相切的切點。設圓方程為x2＋y2＝k，代入橢圓中消y得x2－6x＋2k＝0。由判別式Δ＝36－8k＝0得k＝4，所以x2＋y2的范圍是：0≤x2＋y2≤4。

【分析3】該題中含有兩個未知數，而且最高次項為二次，且所求的式子與已知條件變量前的系數都不相同，若是采用純代數的方法，該題的解題過程可能會有些繁瑣，那么我們就可以將已知條件進行變形，然后采用三角代換的方法來解題。即將已知條件與所求式子都進行轉化，將代數問題轉化為三角問題來解決。

所以x2＋y2的范圍是：0≤x2＋y2≤4。

小結：利用適當的三角函數進行代換，把代數問題轉化為三角問題，再充分利用三角函數的性質解決問題。可以大大簡化解題的過程，并容易幫助學生理清思路，使學生將三角函數的知識與方程知識進行有機融合，有助于學生整體掌握數學知識，并開拓學生的思路，通過對各種轉換思想的講解與運用，學生能夠將數學知識融會貫通，使其能夠學會從不同的方面去思考并解決問題，從而提高學生的思維能力，提高數學分析與學習的能力，促進學生自身的發展與進步。

【分析】分析所求值的式子，估計兩條途徑：一是將函數名化為相同，二是將非特殊角化為特殊角。這兩種解題思路可以有如下三種解法。

（基本過程：切化弦→通分→化同名→拆項→差化積→化同名→差化積）

（基本過程：切化弦→通分→化同名→特值代入→積化和→差化積）

（基本過程：切化弦→通分→化同名→拆角80°→和差角公式）

小結：由于等價轉換時采用的思路相同，即將函數名化為同名，但是不同的轉換過程與步驟，使得轉換時采用的公式不同，實現了轉換過程的多樣性。

三角函數部分是高中數學學習的主要內容之一，其具有眾多的公式，其中常用的有兩角和與差、和差化積、積化和差、和差化積、萬能公式等。利用三角函數的等價轉換解題的關鍵是通過適當的三角代換，將代數表達轉化為三角函數表達，進而把代數式的證明或解答轉化為三角函數式的證明或解答，從而起到理順思路、簡化題目的作用。三角函數除了公式多之外，還有另外一個特點，就是三角函數值可以與實數值相聯系，充分利用他們之間的等價關系，可以給我們解題帶來方便，尤其是在遇到一些難以求值的三角函數時，利用特殊的三角函數值進行巧妙代換，能夠大大地簡化我們的解題過程。

以上兩道例題都利用了數學知識之間的相互聯系，以及轉換思想的多樣性，通過將題目進行不同的轉化，開拓了不同的解題思路與方法。教師在教學時一定要著重培養學生的發散性思維，使其將轉換思想靈活運用，提高學習能力。

三、遵循轉換的原則性，做到解題的簡捷性

在利用等價轉換思想解高中數學題時，我們要注意轉換的原則性，即將我們感覺陌生、復雜的數學問題轉換為熟悉、簡單的問題來處理，然后通過對數學知識的整體掌握和靈活運用，做到解題的簡捷性。下面我舉兩個例子來簡單說明一下。

分析：本題主要考查三角公式的記憶及熟練運用三角公式計算求值。通過對上題解法二的分析，采用的特值代入方法，學生能夠很容易就想到將該題中一些數與特殊三角函數相聯系，從而能夠快速地解答此題。其解題過程如下：

小結：三角函數問題的解題方法不能拘泥于一種，學生在學習時要注意靈活運用。我們在求三角函數的問題時，有如下三個原則，我將其簡稱為“三看”，即一看角，盡量把角向特殊角或可計算的角轉化；二看名稱，盡量把一道等式化成同一名稱或相近的名稱，例如把所有的切通過公式都轉化為相應的弦，或把所有的弦都轉化為相應的切；三看式子，看式子是否滿足三角函數的某些公式，如果滿足則可以直接使用，如果不滿足則需要轉化一下角或轉換一下名稱，再進行使用。

運用三角函數的特殊值代入的等價轉換，能將復雜的問題簡單化，并有助于明確解題思路，簡化解題過程。要想讓學生將其熟練運用，教師在進行數學題目的講解時，就要注意將各部分的知識點串聯起來，讓學生對數學知識在腦中形成整體的框架，并能夠根據題目的不同變化，選取合適的解題思路與方法，從而提高解題效率，提高學生對數學學習的興趣，并更好地發散思維，進行研究探索。

例6.若x、y、z∈R+，且x＋y＋z＝1，求的最小值。

【分析】由已知x＋y＋z＝1而聯想到，只有將所求式變形為含代數式x＋y＋z，或者運用均值不等式后變成含xyz的形式。所以，關鍵是將所求式進行合理變形，即通過等價轉化，簡化所求式子，從而明確解題思路，簡化解題過程。

【注】對所求式進行等價變換，該解題過程為：先通分，再整理分子，最后拆分。將問題轉化為求的最小值，則不難由平均值不等式而進行解決。此題屬于代數恒等變形題型，即代數式在變形中保持其值不變。

小結：在我們求代數式的最值時有多種方法，如利用函數的單調性、數形結合等方法，以及運用不等式的定理公式。通過對題目的觀察與分析，采用合適的解題方法，可以有效地簡化解題過程，通過等價轉換，將復雜的問題轉換為簡單易解的問題來解決。

運用等價轉換進行解題的關鍵一點就是盡可能將復雜問題簡單化，通過對題目進行分析觀察與思考，學生要能夠采用最合適的轉化思想，利用最短的時間解決問題，從而實現解題效率的最優化。我們都知道高中生的時間是很緊迫的，但正是由于學生的學習時間有限，精力有限，學生更要在做題時勤動腦思考，以達到舉一反三，而不必通過大量的練習題來提高成績。教師在課堂教學中要不斷滲透數學解題的技巧與方法，從而使學生掌握解題的思路，并在練習與總結中實現解題的簡捷性與準確性，有效地提高數學思維與學習能力。

四、重視轉換的等價性，提高解題的正確性

等價轉換最重要的一點就是要保證轉換前后所表示的意義是一樣的，即轉換前后的式子互為重要條件。很多學生在進行轉換時，由于對數學知識點的掌握不透徹，經常會造成轉換后的結論與原式不相等，從而造成解題的錯誤。下面我們來看一道例題。

很多學生在做這道題時都會這樣做，但實際上這樣解題是錯誤的。

【分析】事實上，由已知可得0≤x≤1，0≤y≤1，而上題假設將原函數的定義域擴大了，且條件中沒有x2+y2=1，就導致了錯解，正確的解法是重新換元，再求x+y。

小結：該題的錯解告訴我們，在進行轉換時，一定要進行等價轉換，如果將原題中自變量的取值擴大或縮小，都會造成解題錯誤。因此，等價轉換的最基本也是最重要的一點，就是在進行轉換時，一定要保證轉換條件的等價性。

等價轉換的前提條件就是等價，在進行轉換時只有保證了轉換的等價，才能保證做題的準確性，否則很容易因為開始轉換的失誤而使得解題結果錯誤。因此，學生在做題時，教師要進行指導，強調學生對轉換的等價性引起注意，避免出現類似的錯誤，進而有效地提高數學學習成績，提高對數學學習的熱情與興趣。

在高中數學的學習中，等價轉換不僅僅是一種解題方法，還是一種重要的解題思想。利用等價轉換對題目進行轉化，可以有效地簡化運算過程，而且能夠幫助學生分析解題思路，培養學生的發散思維能力。在解高中數學題的過程中，學生通過靈活運用多種不同形式的等價轉換，能夠將復雜繁瑣的數學問題進行有效簡化計算，收到良好的學習效果，進而使學生不再畏懼數學的學習。所以教師在進行課堂教學時，要綜合運用等價轉換的各種解題思想與技巧，將數學知識進行有機結合，使學生能夠將所學的知識熟練掌握，并能夠融會貫通，將其綜合運用，從而提高學生的學習興趣與思維能力，促進學生數學學習能力的有效提升。

［1］張奠宙，鄭振出.“四基”數學模塊教學的構件：兼談數學思想方法的教學［J］.數學教育學報，2011（5）.

［2］張軍旗.新課程背景下高中數學有效教學研究［D］.信陽師范學院，2014.

［3］季素月.數學技能教與學的若干思考［J］.數學教育學報，2003（2）.

［4］史亮.高中歸納課程教學研究［D］.東北師范大學，2011.

·編輯 孫玲娟