b-度量空間中三次方型壓縮映象的一個新的公共不動點定理

李何東，谷　峰

(杭州師范大學理學院，浙江 杭州 310036)

?

b-度量空間中三次方型壓縮映象的一個新的公共不動點定理

李何東，谷峰

(杭州師范大學理學院，浙江 杭州 310036)

摘要：在b-度量空間中引入了(P)型相容映象對的概念，討論了一個新的三次方型的壓縮條件，并利用自映象對(P)型相容和弱相容的條件，證明了一個新的公共不動點定理，所得結果推廣和改進了度量空間中的已有結論.

關鍵詞：b-度量空間；公共不動點；(P)型相容映象；弱相容映象；三次方型壓縮映象

1引言和預備知識

自從Czerwik[1]提出b-度量空間的概念以來，眾多學者深入研究了b-度量空間中的不動點和公共不動點問題，獲得了許多有意義的研究結果[1-7]. 關于度量空間中公共不動點問題的研究，Jungck[8]在1976年提出了可交換映象的概念，成為學者們對映象對的公共不動點問題廣泛研究的開始. Sessa[9]在1982年提出了弱交換映象的概念，Jungck[10]在1986年提出相容映象的概念，隨后Pathak等[11]引入了(P)型相容映象的概念.2011年，Akkouchi[5]把相容映象和弱相容映象的概念引入到b-度量空間中，得到了一些公共不動點結果.

2002年，谷峰等[12，定理2.10.5] 在度量空間中研究了如下壓縮條件：

其中a∈(0,1),b∈[0,1), 在兩對映象弱交換的條件下，證明了一個公共不動點定理.

本文受上述文獻的啟發，把上述問題放在b-度量空間的框架中加以考慮，同時把壓縮映象推廣成更一般的四項和的形式，并在b-度量空間中引入(P)型相容映象的概念，利用映象對(P)型相容和弱相容的條件，證明了4個映象的一個新的公共不動點定理.

定義1[1]設X是一個非空集合，k≥1是一個給定的實數. 稱函數d:X×X→R+是集合X上的一個b-度量，若?x,y,z∈X，有以下條件被滿足：

(i)d(x,y)=0?x=y；

(ii)d(x,y)=d(y,x)；

(iii)d(x,y)≤k[d(x,z)+d(z,y)] .

這時我們稱(X,d)是一個b-度量空間，實數k≥1稱為該b-度量空間的系數.

注1顯然，當k=1時，b-度量空間即為通常的度量空間，但是b-度量空間不一定是度量空間. 下面僅舉一例加以說明.

例1[3]設X=R,定義d(x,y)=(x-y)2,那么它是一個系數k=2的b-度量空間，但顯然不滿足度量空間的三角不等式.

定義2[4]若{xn}是b-度量空間(X,d)上的點列，存在x∈X,使得d(xn,x)→0(n→∞),那么我們稱點列{xn}收斂于x，記做xn→x(n→∞).

定義3[4]若{xn}是b-度量空間(X,d)上的點列，如果d(xn,xm)→0(n,m→∞),那么我們稱點列{xn}為X上的柯西列.

注2[4]收斂點列只有一個極限，且每一個收斂點列都是柯西列.

定義4[4]若b-度量空間(X,d)上所有的柯西列都收斂，則稱這個b-度量空間為完備b-度量空間.

定義5[5]b-度量空間(X,d)上的自映象對(f,g)稱為是相容的，如果?{xn}?X,只要fxn→x, gxn→x(n→∞),x∈X，就有d(fgxn,gfxn)→0(n→∞).

定義6b-度量空間(X,d)上的自映象對(f,g)稱為(P)型相容的，如果?{xn}?X,只要fxn→x,gxn→x(n→∞),x∈X，就有d(f2xn,g2xn)→0(n→∞).

注3由定義易知，(P)型相容映象對不一定是相容映象對，而相容映象對也不一定是(P)型相容映象對，見例2、例3.

例2設X=[0,1] ,d(x,y)=(x-y)2,定義X上的自映象f,g分別為

故映象對(f,g)是相容的，但是

故映象對(f,g)非(P)型相容.

例3設X=[0,1] ,d(x,y)=(x-y)2,定義X上的自映象f,g分別為

故為映象對(f,g)是(P)型相容的，但是

故映象對(f,g)是非相容的.

定義7[5]b-度量空間(X,d)上的自映象對(f,g)稱為弱相容的，如果

{t∈X:f(t)=g(t)}?{t∈X:fg(t)=gf(t)}.

注4由定義易知，(P)型相容映象對必是弱相容映象對，但反之不真，反例見例4.

例4設X=[2,20] ,定義b-度量如例1，定義X上的自映象f,g分別為

要使fx=gx,則x=2，顯然fg(2)=gf(2)=2,故映象對(f,g)是弱相容的，但對于數列xn→5,xn>5,我們有fxn=xn-3→2,gxn≡2→2,但是d(f2xn,g2xn)=[f(xn-3)-g(2)]2=(12+xn-3-2)2→144(n→∞),故映象對(f,g)不是(P)型相容的.

注5與度量空間不同，b-度量空間不一定連續，例子可見文獻[3]. 但我們有以下引理.

2主要結論

定理1設S,T,A,B是完備b-度量空間(X,d)上的4個自映象，滿足SX?BX,TX?AX，且?x,y∈X，有

cd(Ax,Sx)d(By,Ty)d(Ax,Ty)+dd(Ax,Sx)d(By,Ty)d(Sx,By).

(1)

(i)A,S之一連續，且(S,A)是(P)型相容的，(T,B)是弱相容的；

(ii)B,T之一連續，且(T,B)是(P)型相容的，(S,A)弱相容的；

(iii)A,B之一為滿射，且(S,A)和(T,B)都是弱相容的.

證明因為SX?BX,TX?AX,故?x0∈X,?x1∈X,使得Sx0=Bx1=y0;?x2∈X,使得Tx1=Ax2=y1;…;?x2n+1∈X,Sx2n=Bx2n+1=y2n;?x2n+2∈X,Tx2n+1=Ax2n+2=y2n+1;由此得序列{xn}和{yn}. 下證{yn}為柯西列. 由式(1)和三角不等式得

d3(y2n,y2n+1)=d3(Sx2n,Tx2n+1)≤ad(Ax2n,Bx2n+1)d(Ax2n,Sx2n)d(Bx2n+1,Tx2n+1)+

cd(Ax2n,Sx2n)d(Bx2n+1,Tx2n+1)d(Ax2n,Tx2n+1)+dd(Ax2n,Sx2n)d(Bx2n+1,Tx2n+1)d(Sx2n,Bx2n+1)=

ad(y2n-1,y2n)d(y2n-1,y2n)d(y2n,y2n+1)+bmax{d2(y2n-1,y2n+1)d(y2n,y2n),d(y2n-1,y2n+1)d2(y2n,y2n)}+

cd(y2n-1,y2n)d(y2n,y2n+1)d(y2n-1,y2n+1)+dd(y2n-1,y2n)d(y2n,y2n+1)d(y2n,y2n)=

ad2(y2n-1,y2n)d(y2n,y2n+1)+cd(y2n-1,y2n)d(y2n,y2n+1)d(y2n-1,y2n+1)≤

ad2(y2n-1,y2n)d(y2n,y2n+1)+ck[d2(y2n-1,y2n)d(y2n,y2n+1)+d(y2n-1,y2n)d2(y2n,y2n+1)].

(2)

d(yn,yn+1)≤λd(yn-1,yn)≤…≤λnd(y0,y1)，?n∈N.

(3)

對于?n>m, 由三角不等式有

d(yn,ym)≤kd(ym,ym+1)+k2d(ym+1,ym+2)+…+kn-m-1d(yn-2,yn-1)+kn-m-1d(yn-1,yn)≤

kd(ym,ym+1)+k2d(ym+1,ym+2)+…+kn-m-1d(yn-2,yn-1)+kn-md(yn-1,yn).

(4)

所以d(yn,ym)→0(n,m→∞),故{yn}為柯西列. 由X完備知，存在z∈X,使得yn→z(n→∞). 由于序列{Sx2n}={Bx2n+1}={y2n}和{Tx2n+1}={Ax2n+2}={y2n+1}是序列{yn}的子列，故Sx2n→z,Bx2n+1→z,Tx2n+1→z,Ax2n→z(n→∞).

下證z是S,T,A,B的公共不動點.

(i)若A連續，且(S,A)是(P)型相容的，(T,B)是弱相容的. 則由A的連續性可得A2x2n→Az,ASx2n→Az(n→∞),，又由(S,A)是(P)型相容的，故有d(A2xn,S2xn)→0(n→∞),由引理1可得S2x2n→Az(n→∞).

下證Az=z. 事實上，若Az≠z，由式(1)得

d3(S2x2n,Tx2n+1)≤ad(ASx2n,Bx2n+1)d(ASx2n,S2x2n)d(Bx2n+1,Tx2n+1)+bmax{d2(ASx2n,Tx2n+1)d(S2x2n,Bx2n+1),d(ASx2n,Tx2n+1)d2(S2x2n,Bx2n+1)}+

cd(ASx2n,S2x2n)d(Bx2n+1,Tx2n+1)d(ASx2n,Tx2n+1)+

dd(ASx2n,S2x2n)d(Bx2n+1,Tx2n+1)d(S2x2n,Bx2n+1).

ck6d(Az,Az)d(z,z)d(Az,z)+dk6d(Az,Az)d(z,z)d(Az,z)=

此為矛盾，故Az=z.

下證Sz=z，否則，若Sz≠z，由壓縮條件(1)得

d3(Sz,Tx2n+1)≤ad(Az,Bx2n+1)d(Az,Sz)d(Bx2n+1,Tx2n+1)+

bmax{d2(Az,Tx2n+1)d(Sz,Bx2n+1),d(Az,Tx2n+1)d2(Sz,Bx2n+1)}+cd(Az,Sz)d(Bx2n+1,Tx2n+1)d(Az,Tx2n+1)+dd(Az,Sz)d(Bx2n+1,Tx2n+1)d(Sz,Bx2n+1).

利用引理2對上式兩邊同取上極限，并注意到Az=z可得

ck3d(Az,Sz)d(z,z)d(Az,z)+dk3d(Az,Sz)d(z,z)d(Sz,z)=0.

所以d3(Sz,z)=0,故Sz=z.

由z=Sz∈SX?BX，存在u∈X，使得Az=z=Sz=Bu，下證Bu=Tu. 事實上，由式(1)可得

d3(Bu,Tu)=d3(Sz,Tu)≤ad(Az,Bu)d(Az,Sz)d(Bu,Tu)+

cd(Az,Sz)d(Bu,Tu)d(Az,Tu)+dd(Az,Sz)d(Bu,Tu)d(Sz,Bu)=0.

所以d3(Bu,Tu)=0,故Bu=Tu=z. 由于(T,B)弱相容，故Bz=BTu=TBu=Tz. 再由式(1)可得

d3(z,Tz)=d3(Sz,Tz)≤ad(Az,Bz)d(Az,Sz)d(Bz,Tz)+

cd(Az,Sz)d(Bz,Tz)d(Az,Tz)+dd(Az,Sz)d(Bz,Tz)d(Sz,Bz)=bd3(z,Tz).

若S連續，則SAx2n→Sz,S2x2n→Sz(n→∞). 由(S,A)是(P)型相容的，故有d(A2xn,S2xn)→0 (n→∞),于是由引理1可得A2x2n→Sz(n→∞).

下證Sz=z. 若Sz≠z,由式(1)得

d3(SAx2n,Tx2n+1)≤ad(A2x2n,Bx2n+1)d(A2x2n,SAx2n)d(Bx2n+1,Tx2n+1)+bmax{d2(A2x2n,Tx2n+1)d(SAx2n,Bx2n+1),d(A2x2n,Tx2n+1)d2(SAx2n,Bx2n+1)}+

cd(A2x2n,SAx2n)d(Bx2n+1,Tx2n+1)d(A2x2n,Tx2n+1)+

dd(A2x2n,SAx2n)d(Bx2n+1,Tx2n+1)d(SAx2n,Bx2n+1).

此為矛盾，所以Sz=z.

由z=Sz∈SX?BX，存在u∈X，使得z=Sz=Bu. 下證Sz=Tu. 事實上由式(1)可得

d3(SAx2n,Tu)≤ad(A2x2n,Bu)d(A2x2n,SAx2n)d(Bu,Tu)+

bmax{d2(A2x2n,Tu)d(SAx2n,Bu),d(A2x2n,Tu)d2(SAx2n,Bu)}+cd(A2x2n,SAx2n)d(Bu,Tu)d(A2x2n,Tu)+dd(A2x2n,SAx2n)d(Bu,Tu)d(SAx2n,Bu).

ck3d(Sz,Sz)d(Bu,Tu)d(Sz,Tu)+dk3d(Sz,Sz)d(Bu,Tu)d(Sz,Bu)=0.

所以d3(z,Tu)=0,故z=Sz=Tu=Bu. 由于(T,B)弱相容，故Bz=BTu=TBu=Tz.

下證Sz=Tz.事實上，若Sz≠Tz,由式(1)可得

d3(Sx2n,Tz)≤ad(Ax2n,Bz)d(Ax2n,Sx2n)d(Bz,Tz)+

cd(Ax2n,Sx2n)d(Bz,Tz)d(Ax2n,Tz)+dd(Ax2n,Sx2n)d(Bz,Tz)d(Sx2n,Bz).

ck3d(z,z)d(Bz,Tz)d(z,Tz)+dk3d(z,z)d(Bz,Tz)d(z,Bz)=

此為矛盾，所以d3(z,Tz)=0,故z=Tz,所以z=Tz=Bz=Sz.

由于z=Tz∈TX?AX,存在v∈X，使得z=Tz=Bz=Sz=Av. 下證z=Sv,由式(1)并注意到z=Tz=Bz=Sz=Av,可得

d3(Sv,z)=d3(Sv,Tz)≤ad(Av,Bz)d(Av,Sv)d(Bz,Tz)+

cd(Av,Sv)d(Bz,Tz)d(Av,Tz)+dd(Av,Sv)d(Bz,Tz)d(Sv,Bz)=0.

所以d3(Sv,z)=0,即z=Sv,由(S,A)的弱相容性得Az=ASv=SAv=Sz,所以z=Tz=Bz=Sz=Az. 即當S連續時，z是S,T,A,B的公共不動點. 唯一性同理易證.

(ii)當B,T之一連續，且(T,B)是(P)型相容的，(S,A)弱相容時，這種情況與情況(i)類似可證.

(iii)當A,B之一為滿射，且(S,A)和(T,B)都是弱相容時.

不妨設A為滿射，則對z∈X,存在t∈X,使At=z. 利用式(1)有

d3(St,Tx2n+1)≤ad(At,Bx2n+1)d(At,St)d(Bx2n+1,Tx2n+1)+

對上式兩邊同取上極限，由引理2可得

ck3d(At,St)d(z,z)d(At,z)+dd(At,St)d(z,z)d(St,z)=0.

所以d3(St,z)=0,故St=z. 又由于(S,A)弱相容，所以Sz=SAt=ASt=Az. 再由式(1)可得

d3(Sz,Tx2n+1)≤ad(Az,Bx2n+1)d(Az,Sz)d(Bx2n+1,Tx2n+1)+

對上式兩邊同取上極限，由引理2可得

ck3d(Az,Sz)d(z,z)d(Az,z)+dd(Az,Sz)d(z,z)d(Sz,z)=0.

所以d3(Sz,z)=0,故Sz=z. 由SX?BX,存在v∈X使得z=Az=Sz=Bv. 根據(i)中相同部分的證明同理可證z=Tz=Bz=Az=Sz.

若B為滿射，同理易證z=Tz=Bz=Az=Sz.

最后證明公共不動點的唯一性. 設另有公共不動點w，由式(1)可得

d3(z,w)=d3(Sz,Tw)≤ad(Az,Bw)d(Az,Sz)d(Bw,Tw)+

cd(Az,Sz)d(Bw,Tw)d(Az,Tw)+dd(Az,Sz)d(Bw,Tw)d(Sz,Bw)=bd3(z,w).

注6如果在定理1中取k=1，則得度量空間中三次方壓縮映象的一個新結果. 如果在定理1中取c=d=0，則得文[12] 中的壓縮映象類型，可見定理1不僅映象類型比文[12] 中廣泛，而且還將結果擴展到更一般的b-度量空間之中.

推論1設(X,d)是完備b-度量空間，{Ti}i∈I(I是指標集，I的勢不小于2)是X上的自映象族，A,B是X上的自映象，若A,B,{Ti}i∈I滿足TiX?BX,TiX?AX(?i∈I), 且?x,y∈X，?i,j∈I，有

d3(Tix,Tjy)≤ad(Ax,By)d(Ax,Tix)d(By,Tjy)+

cd(Ax,Tix)d(By,Tjy)d(Ax,Tjy)+dd(Ax,Tix)d(By,Tjy)d(Tix,By).

(i)Ti,A之一連續，且(Ti,A)是(P)型相容的，(Ti,B)是弱相容的(?i∈I)；

(ii)Ti,B之一連續，且(Ti,A)是弱相容的，(Ti,B)是(P)型相容的(?i∈I)；

(iii)A,B之一為滿射，且(Ti,A)和(Ti,B)都是次相容的(?i∈I).

證明對任意的i,j,m∈I,i≠j≠m，由定理1知A,B,Ti,Tj存在唯一的公共不動點zij，A,B,Ti,Tm存在唯一的公共不動點zim，而由壓縮條件我們知道

d3(zij,zim)=d3(Tjzij,Tmzim)≤ad(Azij,Bzim)d(Azij,Tjzij)d(By,Tmzim)+

bd3(zij,zim).

注7如果在定理1和定理2中取：1)S=T；2)A=B；3) S=T且A=B，我們均可得到新的結果.

參考文獻:

[1]CZERWIKS.Contractionmappingsinb-metricspace[J].ActaMathInformUnivOstraviensis,1993(1):5-11.

[2]CZERWIKS.Nonlinearset-valuedcontractionmappingsinb-metricspace[J].AttiSemMatFisUnivModena,1998,46(2):263-276.

[3]ROSHANJR,SHOBKOLAEIN,SEDGHIS,etal.Commonfixedpointoffourmapsinb-metricspaces[J].HacettepeJournalofMathematicsandStatistics,2014,43(4):613-624.

[4]BORICEANUM,BOTAM,PETRUSELA.Multivaluedfractalsinb-metricspaces[J].CentralEuropeanJournalofMathematics,2010,8(2):367-377.

[5]AKKOUCHIM.Acommonfixedpointtheoremsforexpansivemappingsunderstrictimplicitconditionsonb-metricspaces[J].ActaUnivPalackOlomucFacRerumNaturMath,2011,50(1):5-15.

[6]AKKOUCHIM.Commonfixedpointtheoremsfortwoselfmappingsofab-metricspaceunderanimplicitrelation[J].HacettepeJournalofMathematicsandStatistics,2011,40(6):805-810.

[7] AYDI H, BOTA M F, KARAPINAR E, et al. A Common fixed point for weak phi-contractions onb-metric spaces[J]. Fixed Point Theory,2012,13(2):337-346.

[8] JUNGCK G. Commuting mappings and fixed points[J]. Amer Math Monthly,1976,83:261-263.

[9] SESSA S. On a weakly commutativity condition in a fixed point considerations[J]. Publ Inst Math,1982,32(46):149-153.

[10] JUNGCK G. Compatible mappings and common fixed points[J]. Int J Math Sci,1986,9(4):771-779.

[11] PATHAK H K, CHANG S S, CHO Y J. Fixed point theorems for compatible mappings of type(P)[J]. Indian J Math,1994,36(2):151-166.

[12] 谷峰，高偉，田魏.不動點定理及非線性算子的迭代收斂性[M].哈爾濱：黑龍江科學技術出版社，2002：93-104.

收稿日期：2015-06-26

基金項目：國家自然科學基金項目(11071169)；浙江省自然科學基金項目(Y6110287).

通信作者：谷峰(1960—)，男，教授，主要從事非線性分析及應用研究.E-mail：gufeng99@sohu.com

doi:10.3969/j.issn.1674-232X.2016.04.012

中圖分類號:O177.91MSC2010：47H10；54H25

文獻標志碼:A

文章編號:1674-232X(2016)04-0401-07

A New Common Fixed Point Theorem for Third Power Type Contractive Mapping inb-metric Spaces

LI Hedong， GU Feng

(College of Science， Hangzhou Normal University， Hangzhou 310036， China)

Abstract:This paper introduced compatible mappings of type(P) in b-metric spaces，and discussed a new third power type contractive condition. By using the compatible mappings of type(P) and weakly compatible mappings，it proved a new common fixed point theorem. Meanwhile, the existing conclusions in metric spaces were generalized and improved.

Key words:b-metric spaces；common fixed point；compatible mappings of type(P)；weakly compatible mappings；third power type contractive mapping