研讀教材“二次根式的乘除法”之感觸

王勇

“二次根式的乘除法”這節內容是八年級數學下冊第16章16.3節，在研究教材和教學這一內容時，對這部分內容的設計及其體現的課程理念深有感觸，現將我的體會看法與各位同仁分享。

感觸一：“二次根式的乘除法”編寫意圖和地位

從2011年版義務教育課程標準（初中數學）對“數與代數”這一主線從五個角度去落實：一是要幫助學生搞清楚運算的對象是什么？二是要不斷地理解和認識運算的背景，為什么要做加、減、乘、除？三是運算法則。四是學會這么多的運算，到底有什么用？在哪兒發揮作用？五是在運算中既有精準的運算，也有進似的運算。從教材參考書看，二次根式這章的核心是以二次根式這一特殊的“式”為載體，進一步引導學生體會運算在代數中的核心地位，學習用運算法則進行運算，體會運算法則的邏輯關系，體會運算在代數中的基礎地位。做好：1.一以貫之地進行代數基本思想和方法的教學；2.以運算為核心，加強運算能力的培養。從教材看，二次根式的乘除法是在掌握、理解算術平方根的基礎上并利用二次根式的性質進行計算和化簡，同時也是學生學習二次根式加減法的基礎，也是學生后續學習必備的基礎。重點是二次根式乘除法則的探究和運用。二次根式的乘除涵蓋了初中階段的所有運算，學會了二次根式的運算，也就基本掌握了所有的運算。二次根式的運算更進一步的體現數學發展從“數”到“式”的過程，也讓學生不斷地形成完整的知識體系。所以，二次根式這一章在初中數學中地位和作用尤其重要。

感觸二：二次根式乘除運算的引入

從運算的角度提出了二次根式也是一個實數，這類實數將滿足怎樣的運算法則，該如何進行四則運算的研究任務。引入內容看似沒什么？但其中蘊含太多的哲理，是學生數學思維的開啟，也是拋磚引玉，是學生思考接下來要思考什么？解決什么問題的導向。所以，教師要做好引入的導學。

感觸三：二次根式乘除法法則探究

問題探究是引導學生從特殊到一般歸納二次根式的乘除法則。從條件“計算下列各式，觀察計算結果，你能發現什么規律”看，學生應從三個維度去進行探究：一是計算，憑學生已有的數學知識進行；二是觀察，要從算式的結構、運算方法、運算結果、形式變化等方面觀察；三是發現規律，是在觀察的基礎上，總結歸納得出一般的結論。從編者設置的問題看，學生是很容易從這些特例中發現，即培養了學生動手、動腦的能力，也讓學生體會法則的生成過程，并且對法則的理解更有深意。

感觸四：二次根式乘除法則的應用

二次根式乘除法則是 學生用已有的知識基礎和經驗是完全能運用法則進行計算——只需要將被開方數相乘（除）即可。但法則反過來運用更多的是對計算結果的化簡，這是學生思維的難點，也是學生逆向思維培養的著力點，也是本節內容的教學核心。比如：計算，學生很容易按照法則計算得出，從而利用二次根式的性質又可以將二次根式進行化簡。特別是對這類二次根式的化簡，還要考慮“分數（式）”的性質——分子分母同時乘以一個不為零的數（式），所以在二次根式的乘除運算中，要讓學生體驗“先算后化，先化后算”，怎樣做才會使計算較簡便，從而讓學生全面掌握、理解二次根式的乘除運算。如計算，學生就可以先算再化更容易做。

感觸五：最簡二次根式

二次根式學生先從“形”上認識——含有二次根號，再從“質”上理解——被開方數為非負數，如，但學生又可以利用二次根式的乘除法則進行化簡，由此引出最簡二次根式：（1）被開方數不含分母；（2）被開方數不含開得盡方的因數或因式。這二者必須同時滿足，這樣的二次根式才是最簡二次根式，但從給出的兩個條件中不難看出，學生理解有難度：（1）不含分母；（2）不含開得盡方的因數或因式。從這兩個條件中告知學生什么樣的二次根式是最簡二次根式，同時也告知了化二次根式為最簡二次根式的方法：（1）把被開方數中含有的分母化“掉”，不含分母；（2）把被開方數中開得盡方的因數或因式開方出來。這又回到了二次根式的運算本質上來。同時要提醒學生是“因數或因式”，不要錯將這樣的被開方數開方出來：這里的x2，y2不是被開方數的因數或因式。

感觸六：二次根式的計算結果

教材中有這樣一句話：在二次根式的運算中，一般要把最后結果化為最簡二次根式，并且分母中不含二次根式。這句話揭示了數學運算的“規矩”——所有計算結果都力求最簡。同時，既要使結果是最簡二次根式也要使分母不含二次根式，這又是要將分母中的二次根式化“掉”。化二次根式為最簡二次根式方法已有了，要將分母含有二次根式的二次根式化“掉”的方法又是學生需要類比掌握的。化含有二次根式的分母的方法實際就是運用“分式”的性質——分子分母同時乘以一個適當的二次根式，使其分母所含的二次根式形成2”的形式，利用二次根式的性質即可將分母中所含的二次根式化“掉”。從而實現有關二次根式的計算結果是最簡二次根式并且分母不含二次根式。

總之，這一節內容是本章的核心和重點，二次根式的乘除法掌握好了，接下來學習二次根式的加減法就很容易了。但不管是關于什么樣的“式”的計算，學生始終要把握一個原則——一定符號二計算，這樣就不會出現=（-2）×（-3）=6這樣的錯誤。對于運算學生總會出現這樣或那樣的問題，就其原因是學生對法則的生成和運用理解不夠導致的，在教學中，教師要積極的讓學生參與探究，與同學分享探究成果，真正吃透法則的“精髓”，能更好地運用法則解決數學問題。